2022届高考数学沪教版一轮复习-讲义专题20排列组合复习与检测

学习目标
1.掌握加法原理
2.掌握乘法原理
3.排列数公式
4.组合数公式
知识梳理
1．分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类中有m1种有不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法……在第n类型有m3种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。
2．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有种不同的方法。

特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。
3．排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
4．排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号表示.
5．排列数公式：

特别提醒：
（1）规定0! = 1       
（2）含有可重元素的排列问题.
对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于.     
例如：已知数字3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数.  
6．组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 
7．组合数公式： 
8．两个公式：① ②
例题分析
例1．新冠防疫期间，某街道需要大量志愿者协助开展防疫工作.某学校有3名男教师、3名女教师申请成为志愿者，若安排这6名志愿者到3个社区协助防疫工作，每个社区男女教师各1名，则不同的安排方式种数是（    ）

A．18 B．36

C．48 D．72

【答案】B

【详解】

先安排男教师、再安排女教师，各有中安排方式，

故不同的安排方式共有种.

故选：B．

例2．第三方检测机构又称公正检验，指两个相互联系的主体之外的某个客体，我们把它叫做第三方.某县为创建文明城市，省里委托第三方检测机构对该县进行检测，现从名检测人员中选派人到该县甲、乙、丙三个单位检查，要求每个单位至少派人，甲单位人，则不同的选派方法总数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

分以下两种情况讨论：

①乙单位人，此时，不同的选派方法数为种；

②乙单位人，此时，不同的选派方法数为种.

综上所述，不同的选派方法数为种.

故选：B.
跟踪练习

1．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（    ）

A． B． C． D．

2．五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有（    ）

A．120种 B．96种 C．78种 D．72种

3．有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（    ）种

A．48 B．72 C．78 D．84

4．某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（    ）种．

A．5040 B．1260 C．210 D．630

5．从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（    ）

A． B． C． D．

6．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为4的概率为（    ）

A． B． C． D．

7．我们称元有序实数组为n维向量，为该向量的范数，已知n维向量，其中，，记范数为奇数的n维向量的个数为，这个向量的范数之和为.

（1）求和的值；

（2）求的值；

（3）当n为奇数时，证明：.

8．从5个男生和3个女生中选5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的选法种数．

（1）女生人数少于男生人数；

（2）某女生一定选中且担任语文课代表，某男生也必须选中且不担任数学课代表．

9．小平、老金、大魏、小刘、小张和小徐共6人要排成一排拍照．

（1）若小张和小徐必须相邻．则共有多少种排队种数？

（2）若大魏和小刘不能相邻，则共有多少种排队种数？

（3）若小张和小徐必须相邻，大魏和小刘不能相邻，小平和老金不能相邻，则共有多少种排队种数？

10．7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？
参考答案

1．D

【详解】

先把三种不同的画捆在一起，各看成整体，但水彩画不放在两端，

则油画与国画放在两端有种不同的排法

然后对4幅油画的排放有种不同的排法

对5幅国画的排放有种不同的排法，

所以不同的陈列方式有种不同的排法.

故选：D.

2．C

【详解】

由题意可先安排甲，并按其分类讨论：

1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有=24种排法；

2）若甲在第二，三，四位上，则乙不在排尾，也不在甲的位置，有3种，其余三人有种，所以共有=54种排法，

由分类计数原理，排法共有24+54=78种，

故选：C．

3．A

【详解】

五个小球全排列共有：种排法

当两个红色小球与两个黄色小球都相邻时，共有：种排法

当两个红色小球相邻，两个黄色小球不相邻时，共有：种排法

当两个红色小球不相邻，两个黄色小球相邻时，共有：种排法

颜色相同的小球不相邻的排法共有：种排法

故选

4．D

【详解】

把7天分成一组2天，一组2天，一组3天，3个人各选1组值班，共有种．

故选：D.

5．A

【详解】

从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种，

正方体表面四点共面不能构成四面体有种，

正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有种，

所以可得到的四面体的个数为种，

故选：A

6．C

【详解】

根据题意：从10个数中任取5个不同的数，

则基本事件为，

则这5个不同的数的中位数为4的有：，

故概率.

故选：C

7．（1），；（2）；（3）证明见解析.

【详解】

（1）范数为奇数的二元有序实数对有：

，，，，

它们的范数依次为1，1，1，1，

，.

（2）当n为偶数时，在向量的n个坐标中，

要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，

可按照含0个数为进行讨论：

的n个坐标中含1个0，其余坐标为1或-1，

共有个，每个的范数为；

的n个坐标中含3个0，其余坐标为1或-1，

共有个，每个的范数为；

的n个坐标中含个0，其余坐标为1或-1，

共有个，每个的范数为1；

，

①

②

得：，

.

（3）当n为奇数时，在向量的n个坐标中，

要使得范数为奇数，则0的个数一定是偶数，

可按照含0个数为进行讨论：

的n个坐标中含0个0，其余坐标为1或-1，

共有个，每个的范数为n；

的n个坐标中含2个0，其余坐标为1或-1，

共有个，每个的范数为；

的n个坐标中含个0，其余坐标为1或-1，

共有个，每个的范数为1；

，

，

，

两式相加除以2得：，

而，

，

.

8．（1）5520；（2）360．

【详解】

（1）从5个男生和3个女生中选5人担任5门不同学科的课代表，共有种情况，

若女生人数多于男生人数，则有3个女生和2个男生担任课代表，共有种情况，则女生人数少于男生人数的选法有：种；

（2）先从剩余的6人种选三人，共有种情况，

因为某女生一定选中且担任语文课代表，某男生也必须选中且不担任数学课代表，

所以该男生有种选择，

因此共有种选法.

9．（1）240；（2）480；（3）96．

【详解】

（1）若小张和小徐必须相邻．则共有种；

（2）先将除大魏和小刘外的四人全排，则有种情况，可产生个空，再将大魏和小刘插空，则共有种；

（3）因为小张和小徐必须相邻，则这两人有种情况；

若先排大魏和小刘，再排小平和老金，则有种情况；

若先排小平和老金，再排大魏和小刘，则有种情况；

因此共有种排队种数.

10．1440

【详解】

解:先将其余四人排好有种排法，

再在这些人之间及两端的5个“空”中选三个位置让甲乙丙插入，

则有种方法，

这样共有 种不同排法．