2022届山西省太原市第五中学高三上学期11月月考试题数学理试题PDF版含答案

 数学（理）答案

考查时间：120 分钟        满分：150 分      

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）

1．C   2．C   3.C   4.C   5.D   6.D   7.D   8.B   9.A   10.D   11.D   12.C

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）

13.

14．

15.

16.

三、 解答题 (共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17解：(1)由题得，所以函数的最小正周期为．

，所以,

因，所以，所以，

∴，

∴，

∴，

∴或．

当；当，时．

由正弦定理得或．

18．已知，，且．

（1）求的最小值；

（2）若恒成立，求实数的取值范围．

解：（1）因为，，所以，

当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为9．

（2）因为，，所以，所以．

因为恒成立，所以，解得，所以的取值范围为．

19. 在中，，，分别为角，，的对边，已知，若以，为边向外分别作正，正，记，的中心分别为，，求的最大值．

解：，又，所以BAC=，则，由正，正可得、、共线，
记，的中心分别为，，，
因为，得，
又，所以，
由得，所以，当且仅当等号成立，所以的最大值为.

20.在，，这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目．

设首项为的数列的前项和为，前项积为，且____．

求数列的通项公式；

设，求数列的前项和．

【答案】解：选：因为，得，所以数列是等差数列，首项为，公差为， 则，所以．选：因为，当时，，则，即， 所以，所以．当时，也满足，所以  
选：因为，即，所以，即，
所以数列是常数列，     所以 ，即 
因为，当为偶数时，
　　
　　．
当为奇数时，　　．所以

21. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，平面平面，是的中点.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

解：（1）证明：在正中，为的中点，∴，

∵平面平面，平面平面，且

∴平面

又∵平面

∴

又∵，且.

∴平面.

（2）如图，取的中点为，连接，在正中，，平面平面，

平面平面，∴平面，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨取，则有，，，，，，

∴，

设面的一个法向量为，则由，

令，则，又因为面，

取作为面的一个法向量，设二面角为,

∴，

∴，因此二面角的正弦值为.

 22．设函数，

求函数的单调增区间；

当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由参考数据：，

【答案】解：因为，所以，   
当时，由，解得；当时，由，解得；
当时，由，解得；当时，由，解得；
当时，由，解得，综上所述，当时，的增区间为；当时，的增区间为；时，的增区间为；
当时，，所以，由得，当时，不等式有解，下证：当时，恒成立，即证恒成立，
显然当时，不等式恒成立，
只需证明当时，恒成立，即证明，
令，所以，由，得，   
当，；当，；
所以，
所以当时，恒成立，
综上所述，存在整数满足题意，且的最小值为