专题04 等式性质与不等式性质、基本不等式（核心素养练习） 高一数学新教材知识讲学（人教A版必修第一册）

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考点一 逻辑推理-利用不等式的性质证明不等式
例题9. 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：eq \f(e,a－c2)＞eq \f(e,b－d2).
【证明】 ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
两边同乘以eq \f(1,a－c2b－d2)，得eq \f(1,a－c2)＜eq \f(1,b－d2).
又e＜0，∴eq \f(e,a－c2)＞eq \f(e,b－d2).
考点二 数学运算-利用基本不等式求条件最值
例题10.已知x＞0，y＞0，且满足eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1.求x＋2y的最小值．
【解析】∵x＞0，y＞0，eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1，
∴x＋2y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(1,y)))(x＋2y)＝10＋eq \f(x,y)＋eq \f(16y,x)≥10＋2eq \r(\f(x,y)·\f(16y,x))＝18，
当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(1,y)＝1，,\f(x,y)＝\f(16y,x)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝12，,y＝3))时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.
考点三 数学建模素养-利用基本不等式解决实际问题
例题11、如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
【解析】设每间虎笼长x m，宽y m，
则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
法一：由于2x＋3y≥2eq \r(2x·3y)＝2eq \r(6xy)，
所以2eq \r(6xy)≤18，得xy≤eq \f(27,2)，
即Smax＝eq \f(27,2)，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝18，,2x＝3y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4.5，,y＝3.))
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－eq \f(3,2)y.
∵x>0，∴0∵00.
∴S≤eq \f(3,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(6－y＋y,2)))2＝eq \f(27,2).
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
二、学业质量测评
一、选择题
1．（2019·全国高一课时练习）若，则下列不等式成立的是 （ )
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】特殊值法：令
作差法：，又均值不等式，所以正确选项为B
2．（2019·全国高一课时练习）已知实数，记，则( )
A．B．C．D．大小不确定
【答案】B
【解析】作差比较，，所以，
故选： B
3．（2019·全国高一课时练习）已知正数满足，则的最小值是 ( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为：C.
4．（2019·全国高一课时练习）已知，则的最小值为
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】由题意，因为，则，
所以，
当且仅当时，即时取等号，
所以的最小值为5，故选C．
5．（2019·全国高一课时练习）已知，，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】设，，解得，
，
，，，
由不等式的性质可得，即，
因此，的取值范围是，故选：D.
6．（2019·全国高一课时练习）盐水溶液的浓度公式为，向盐水中再加入克盐，那么盐水将变得更咸，下面哪一个式子可以说明这一事实（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】向盐水溶液中加入克盐，盐水的浓度变为，此时浓度变大，盐水更咸，即，
故选：A.
二、填空题
7．（2019·全国高一课时练习）已知实数、，满足，则的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】由题意得出，，且，.
由不等式的可加性可得出，，，
因此，的取值范围是，故答案为：.
8．（2019·全国高一课时练习）设，，则的大小关系为 ．
【答案】
【解析】
9．（2019·全国高一课时练习）周长为12的矩形，其面积的最大值为____________；
【答案】9
【解析】设矩形的长、宽分别为，则，即，矩形面积为，当时，面积的最大值为9，所以答案为9
10．（2019·全国高一课时练习）已知，，则的最小值为_______________；
【答案】
【解析】采用常数1的替换，，当即时等号成立，所以答案为。
三、解答题
11．（2019·全国高一课时练习）已知，，试比较与的大小．
【答案】当时，；当时，.
【解析】
.
因为，，所以，，得
当时，；当时，.
12．（2019·全国高一课时练习）(1)已知，求的最大值；
(2)已知，求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】(1)因为，所以，
所以，
所以当且仅当，即，函数的最大值为.
(2)因为，所以，
所以，
当且仅当，
即时，的最大值为
13．（2018·全国高二课时练习）某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和矩形EFGH构成的面积是200 m2的十字形区域，现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.
(1)设总造价为S元，AD的边长为x m，试建立S关于x的函数解析式；
(2)计划至少要投多少万元才能建造这个休闲小区？
【答案】（1）S＝38 000＋4 000x2＋ (0＜x＜10)；（2）至少要投入11.8万元。
【解析】(1)设DQ＝y m，则x2＋4xy＝200，即y＝.
所以S＝4 200x2＋210×4xy＋80×4×y2
＝38 000＋4 000x2＋ (0＜x＜10)．
(2)由(1)，得S＝38 000＋4 000x2＋
≥38 000＋2＝118 000，
当且仅当4 000x2＝，即x＝时取等号．
因为118 000元＝11.8万元，
所以计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．