专题06 第二章 复习与检测（知识精讲） 高一数学新教材知识讲学（人教A版必修第一册）学案

专题六  第二章 复习与检测 知识精讲

一 知识结构图

二.学法指导

1.不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对，不适合的一定错，故特例只能否定选择项。

2. 基本不等式的主要应用是求函数的最值或范围，既适用于一个变量的情况，也适用于两个变量的情况.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能.解答此类问题关键是创设应用不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立.

3．解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次函数图像、一元二次方程的解的关系.如果含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论.

4.对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下两种：

1变更主元法

根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.

2转化法求参数范围

三.知识点贯通

知识点1   不等式的性质

不等式的基本性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a.

(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.

(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.

(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.

(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.

(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．

例1.如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则以下列选项中不一定成立的是(　　)

A．ab＞ac　　 B．c(b－a)＞0

C．cb2＜ab2   D．ac(a－c)＜0

【答案】C

【解析】c＜b＜a，ac＜0⇒a＞0，c＜0.

对于A：⇒ab＞ac，A正确．

对于B：⇒c·(b－a)＞0，B正确．

对于C：⇒cb2≤ab2cb2＜ab2，C错，即C不一定成立．

对于D：ac＜0，a－c＞0⇒ac(a－c)＜0，D正确，故选C.

知识点二   基本不等式

1.重要不等式

∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

2.基本不等式

当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立．

3.已知x、y都是正数，

(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.

(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.

上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．

例题2：设x<－1，求y＝的最大值．

【答案】1

【解析】　∵x<－1，∴x＋1<0.∴－(x＋1)>0，

∴y＝＝＝＝(x＋1)＋＋5

＝－＋5≤－2＋5＝1，

当(x＋1)2＝4，即x＝－3时取“＝”．

知识点三 一元二次不等式的解法

1.三个“二次”的关系

例题3 .解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a＜0.

【解析】　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.

函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以

(1)当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；

(2)当a＝－1时，原不等式解集为∅；

(3)当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．

知识点四  不等式的恒成立

1.对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下两种：

1变更主元法

根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.

2转化法求参数范围

2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值的集合为B＝{y|m≤y≤n}，

则1y≥k恒成立⇒ymin≥k即m≥k；

2y≤k恒成立⇒ymax≤k即n≤k.

例题4．若不等式ax2－2x＋2>0对于满足1<x<4的一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．

【解析】　∵1<x<4，∴不等式ax2－2x＋2>0可化为a>.

令y＝，且1<x<4，

则y＝＝－22＋≤，

当且仅当＝，即x＝2时，函数y取得最大值，

∴a>即为所求．

五 易错点分析

易错一  基本不等式求最值满足“一正二定三相等”。

例题5.已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值；

【答案】-1

【解析】∵x<3，∴x－3<0，

∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3

＝－＋3

≤－2＋3＝－1，

当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号，

∴f(x)的最大值为－1.

误区警示
基本不等式求最值时，应满足“一正二定三相等”，不满足正值时，提取负号，转化为正值，不满足和定、积定时，将和或积凑成定值。

易错二   解一元二次不等式时易忽略两根大小

例题6.解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．

【解析】　原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，化简为(x＋1)(ax－2)≥0.

∵a<0，∴(x＋1)≤0.

当－2<a<0时，≤x≤－1；

当a＝－2时，x＝－1；

当a<－2时，－1≤x≤.

综上所述，

当－2<a<0时，解集为；

当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；

当a<－2时，解集为.

错误区警示

解一元二次不等式时，求出对应的一元二次方程的根后，两根大小不确定时，要讨论两根的大小，根据二次函数的图像写出不等式的解集。