专题09 幂函数、函数的应用（核心素养练习） 高一数学新教材知识讲学（人教A版必修第一册）

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考点一 逻辑推理-幂函数的性质
例题9.比较下列各组数的大小：
(1)3eq \s\up15(－\f(5,2))与3.1eq \s\up15(－\f(5,2))；
(2)4.1eq \s\up5(\f(2,5))，3.8eq \s\up15(－\f(2,3))，(－1.9)eq \s\up15(－\f(3,5)).
【解析】 (1)因为函数y＝xeq \s\up15(－\f(5,2))在(0，＋∞)上为减函数，
又3<3.1，所以3eq \s\up15(－\f(5,2))>3.1eq \s\up15(－\f(5,2)).
(2)4.1eq \s\up5(\f(2,5))>1eq \s\up5(\f(2,5))＝1,0<3.8eq \s\up15(－\f(2,3))<1eq \s\up15(－\f(2,3))＝1，而(－1.9) eq \s\up15(－\f(3,5))<0，所以4.1eq \s\up5(\f(2,5))>3.8eq \s\up15(－\f(2,3))>(－1.9)eq \s\up15(－\f(3,5)).
考点二 数学运算-函数最值
例题10.某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．
【答案】60
【解析】设涨价x元，销售的利润为y元，
则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250
＝－2(x－10)2＋450，
所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．
考点三 数学建模-函数应用
例题11、如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象．根据图象填空：
①通话2分钟，需要付电话费________元；
②通话5分钟，需要付电话费________元；
③如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________．
【答案】①3.6 ②6 ③y＝1.2t(t≥3)
【解析】①由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．
②由图象可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．
③易知当t≥3时，图象过点(3,3.6)，(5,6)，待定系数求得y＝1.2t(t≥3)．
考点四 直观想象-幂函数的图象
例题12.函数y＝xeq \s\up5(\f(1,2))－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
A B C D
【答案】B
【解析】y＝xeq \s\up5(\f(1,2))的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝xeq \s\up5(\f(1,2))－1的图象可看作由y＝xeq \s\up5(\f(1,2))的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝xeq \s\up5(\f(1,2))－1的图象关于x轴对称后即为选项B.
二、学业质量测评
一、选择题
1．（2018·江西高一单元测试）已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则满足f(x)＝27的x的值为( )
A.3B. C.27D.
【答案】D
【解析】因为幂函数的图象经过点，所以 ，所以 .又因为，所以，x－3＝27，所以.
故选D.
2．（2017·全国高一单元测试）函数y＝(m2＋2m－2)是幂函数，则m＝( )
A.1B.－3
C.－3或1D.2
【答案】B
【解析】
由题意，，解得，故选B。
3．（2017·全国高一课时练习）某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A.310元B.300元C.290元D.280元
【答案】B
【解析】
设函数解析式为，
函数图象过点(1，800)，(2，1 300)，则 解得
所以，当x＝0时，y＝300.所以营销人员没有销售量时的收入是300元．
答案：B
4．（2018·全国高一课时练习）下列关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为是单调递减函数，，所以，
因为幂函数在上递增，；所以，
即，故选D.
5．（2014·全国高三课时练习（理））如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图象，已知α取－2，－，，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为( )
A．－2，－，，2B．2，，－，－2
C．－，－2,2，D．2，，－2，－
【答案】B
【解析】令x＝2，由图知C1，C2，C3，C4对应纵坐标依次减小，而故选B.
6．（2016·青海平安一中高一课时练习）某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：
,其中,代表拟录用人数，代表面试人数，若应聘的面试人数为60人，则该公司拟录用人数为
A.15B.40C.25D.130
【答案】C
【解析】
若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40＜100不合题意.故拟录用人数为25人.
故选C.
二、填空题
7．（2017·全国高一课时练习） 已知幂函数f(x)＝x (m∈Z)的图像与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．
【答案】f(x)＝x－1
【解析】
∵函数的图像与x轴，y轴都无交点，
∴m2－1<0，解得－1∵图像关于原点对称，且m∈Z，
∴m＝0，∴f(x)＝x－1.
8．（2017·全国高一课时练习）某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(单位：年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；
②前三年产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
【答案】②③
【解析】
由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xα(0<α<1)，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．
9．（2017·全国高一课时练习）若幂函数y＝xα的图像经过点(8，4)，则函数y＝xα的值域是________.
【答案】[0，＋∞)
【解析】
幂函数图象经过点，解得函数的值域为.
10．（2012·全国高一课时练习）国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元的14％纳税；超过4000元的按全稿酬的11％纳税.某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为＿＿＿＿元.
【答案】3800
【解析】
若稿费为4000元，则纳税元，设此人的稿费为元，则纳税元.
三、解答题
11．（2017·全国高一课时练习） 比较下列各题中两个幂的值的大小：
(1)2.3，2.4；
(2)，；
(3)(－0.31)，0.35.
【答案】(1)2.3<2.4.(2) >；(3)(－0.31) <0.35.
【解析】(1)∵y＝为R上的增函数，
又2.3<2.4，
∴2.3<2.4.
(2)∵y＝为(0，＋∞)上的减函数，又<，
∴()>().
(3)∵y＝为R上的偶函数，
∴＝.
又函数y＝为[0，＋∞)上的增函数，
且0.31<0.35，
∴0.31<0.35，即(－0.31) <0.35.
12．（2017·全国高一课时练习） 已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：
(1)是幂函数；
(2)是正比例函数；
(3)是反比例函数；
(4)是二次函数．
【答案】(1)m＝2或m＝－1.(2)m＝－ .(3)m＝－ .(4) m＝－1.
【解析】(1)∵f(x)是幂函数，
故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
(2)若f(x)是正比例函数，
则－5m－3＝1，解得m＝－.
此时m2－m－1≠0，故m＝－.
(3)若f(x)是反比例函数，
则－5m－3＝－1，
则m＝－，此时m2－m－1≠0，
故m＝－.
(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，
即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.
13．（2017·全国高一课时练习）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
【答案】（1）
（2）甲户用水量为5x＝7.5吨，
付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；
乙户用水量为3x＝4.5吨，
付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．
【解析】（1）当，即时，，所以.
当,,
即,.
当,即时,
,
综上:
(2)由(1)知:当时,;当时,;当时,.所以若甲、乙两户共交水费26.4元时,
所以,解得:；
所以甲户用水量为7.5吨,应缴水费元;乙户用水量为4.5吨，应缴水费元。