专题15 三角函数的图象与性质（核心素养练习） 高一数学新教材知识讲学（人教A版必修第一册）

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专题十五    三角函数的图象与性质 核心素养练习一、核心素养聚焦考点一  逻辑推理-—三角函数奇偶性与周期性的综合运用例题13.定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f等于(　　)A．－　　　B.       C．－　　　D.【答案】D【解析】f＝f＝f＝f＝f＝f＝sin＝.考点二    数学运算-求三角函数的值域例题14、函数y＝cos2x＋sin x，x∈R的值域为________．【答案】【解析】y＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x＝－2＋.因为－1≤sin x≤1，所以－1≤y≤，所以函数y＝cos2x＋sin x，x∈R的值域为。考点三 直观想象-利用三角函数图象解三角不等式例题15.函数y＝的定义域为________．【答案】　　【解析】由2sin x－1≥0得sin x≥，画出y＝sin x的图象和直线y＝.可知sin x≥的解集为. 二、学业质量测评一、选择题1．（2012·全国高一课时练习）若函数的大致图像是(   )A． B．C．            D．【答案】D【解析】，在，为减函数，在，为增函数，并且函数值都大于等于0，只有符合，故答案为：2．（2018·全国高一课时练习）函数，是A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数【答案】A【解析】设 则 故函数函数，是奇函数，由 故函数，是最小正周期为的奇函数.故选A.3．（2018·全国高一课时练习）函数的定义域是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由⩾0得,∴，k∈Z.故选D.4．（2012·全国高一课时练习）下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得，函数的周期为，只有C,D满足题意，对于函数在上为增函数，函数在上为减函数，故选D.5．（2018·全国高一课时练习）函数的图像    （     ）A．关于轴对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称【答案】D【解析】当时，，函数值不为0，且无法取到最值，选项A,C错误；当时，，函数值不为0，且无法取到最值，选项B错误；当时，，函数值为0，关于点中心对称；本题选择D选项.6．（2016·全国课时练习）下列不等式中正确的是（    ）A．                      B．C．                   D．【答案】B【解析】，，所以A选项错误；因为，所以，故B选项正确；，正切函数在上单调递增，所以，C选项错误；， ，正切函数在上单调递增，所以，D错误. 7．（2016·全国课时练习）函数，则（   ）A．函数的最小正周期为，且在上是增函数B．函数的最小正周期为，且在上是减函数C．函数的最小正周期为，且在上是减函数D．函数的最小正周期为，且在上是增函数【答案】D【解析】对于函数，因为，所以它的最小正周期为，当时，，函数单调递增，故选D.8．（2016·全国课时练习）若，则的取值集合为（    ）A．         B．C．           D．【答案】C【解析】在这个周期内，所对应的区间是，故在上， 的解集为. 9．（2016·全国课时练习）函数的值域为（    ） A．        B．        C．        D．【答案】C【解析】，当时，当时，.所以值域为 .10．（2016·全国课时练习）下列关系式中正确的是（    ）A．            B．C．           D．【答案】A【解析】∵，，由正弦函数的单调性得，即.11．（2016·全国课时练习）当时，函数有  （   ）A．最大值为，最小值为           B．最大值为，最小值为C．最大值为，最小值为          D．最大值为，最小值为【答案】D【解析】∵，∴.∴，函数有最小值，最大值. 12．（2016·全国课时练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（  ）A．关于原点对称              B．关于轴对称C．关于轴对称              D．关于直线对称【答案】B【解析】由于与的图象关于轴对称，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象关于轴对称.二、填空题13．（2018·浙江省诸暨市牌头中学高一课时练习）函数（）的最大值是__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，可得，由，可得，当时，函数取得最大值1．14．（2016·辽宁高一课时练习（文））①函数y＝cos（x＋）是奇函数；②存在实数，使得sin＋cos＝2；③若、是第一象限角且<，则tan<tan；④x＝是函数y＝sin（2x＋）的一条对称轴方程；⑤函数y＝tan（2x＋）的图象关于点（，0）成中心对称图形．其中正确命题的序号为__________.【答案】①④⑤【解析】①函数，而是奇函数，故函数是奇函数，故①正确；②因为sinx，cosx不能同时取最大值1，所以不存在实数x使sinx+cosx=2成立，故②错误．③令 α=，β=，则tanα=，tanβ=tan=tan=，tanα＞tanβ，故③不成立．④把x=代入函数，得y=-1，为函数的最小值，故x＝是函数的一条对称轴，故④正确；⑤因为y=tan（2x+）图象的对称中心在图象上，而点（，0）在图象上，所以⑤成立15．（2016·全国课时练习）函数在区间上为增函数，则的取值范围是________．【答案】【解析】因为在上是增函数，在上是减函数，所以只有时满足条件，故．16．（2012·全国高一课时练习）函数的定义域是______．【答案】{x|kπ<x≤kπ＋，k∈Z}【解析】要使函数有意义，必须logtanx≥0，∴0<tanx≤1，∴kπ<x≤kπ＋，k∈Z，∴该函数的定义域是{x|kπ<x≤kπ＋，k∈Z}．三、解答题17．（2019·全国高一课时练习）已知函数f（x）＝2sin（2x）+a，a为常数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若x∈[0，]时，f（x）的最小值为﹣2，求a的值．【答案】（1）π；（2）a＝－1．【解析】（1）∵f（x）＝2sin（2x）+a，∴f（x）的最小正周期Tπ．（2）当x∈[0，]时，2x∈[，]，故当2x 时，函数f（x）取得最小值，即sin（），∴f（x）取得最小值为﹣1+a＝﹣2，∴a＝﹣1．18．（2018·全国高一课时练习）已知函数f(x)＝(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)在所给坐标系中画出函数f(x)在区间上的图象(只作图不写过程)．【答案】（1）π.，（2）见解析【解析】(1)T＝＝π.令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，则2kπ＋≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z，∴函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.(2)列表：2x＋ππ2ππxf(x)＝sin0－0  描点连线得图象如图：19．（2016·全国课时练习）判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）.【答案】（1）偶函数    （2）既是奇函数又是偶函数【解析】（1）函数的定义域为，，所以此函数是偶函数．（2）由且，得，从而，，此时，故该函数既是奇函数又是偶函数.20．（2016·全国课时练习）比较下列各组数的大小．（1）；（2）.【答案】（1）    （2）【解析】（1） ∵余弦函数在上是减函数，∴，即.（2）∵正弦函数在上是增函数，∴，即.21．（2012·全国高一课时练习）已知函数f(x)＝2asin＋b的定义域为，函数最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．【答案】a＝12－6，b＝－23＋12，或a＝－12＋6，b＝19－12.【解析】∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.∴－≤sin≤1.若a>0，则，解得，若a<0，则，解得，综上可知，a＝12－6，b＝－23＋12，或a＝－12＋6，b＝19－12.22．（2018·全国高一课时练习）已知函数的一系列对应值如下表： （1）根据表格提供的数据求函数的一个解析式；（2）根据（1）的结果，若函数周期为，当时，方程 恰有两个不同的解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】(1)绘制函数图象如图所示：设的最小正周期为，得．由得．又解得,令，即，，据此可得：，又，令可得．所以函数的解析式为．(2)因为函数的周期为，又，所以．令，因为，所以．在上有两个不同的解的条件是，所以方程在时恰好有两个不同的解的条件是，即实数的取值范围是．