专题17 第五章 复习与检测（知识精讲） 高一数学新教材知识讲学（人教A版必修第一册）学案

这是一份专题17 第五章 复习与检测（知识精讲） 高一数学新教材知识讲学（人教A版必修第一册）学案，文件包含专题17第五章复习与检测知识精讲解析版docx、专题17第五章复习与检测知识精讲原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共14页， 欢迎下载使用。

二.学法指导
1.牢记两个基本关系式sin2α＋cs2α＝1及eq \f(sin α,cs α)＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cs α的值，可求cs αsin α.注意应用(cs α±sin α)2＝1±2sin αcs α.
2．诱导公式可概括为k·eq \f(π,2)±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．
3．三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.
（）求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为y＝Asinωx＋φ＋k或y＝Acsωx＋φ＋k等形式，让角和三角函数名称尽量少，然后再根据正、余弦函数基本性质和相关原理进行求解.
（2）要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因，函数定义域往往会发生一些变化，所以一定要在变换前确定好原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题.
4.三角函数的实际应用多与最值有关，解决这类问题的一般步骤如下：
1审读题意，合理地选取“角”为自变量，建立三角函数关系式.
2利用和、差、倍、半角公式进行化简整理，通常要整理为y＝Asinωx＋φ＋b的形式.
3在符合实际问题意义的情形下求目标式的最值.
三.知识点贯通
知识点1 同角三角函数基本关系和诱导公式的应用
1.同角三角函数关系
sin2α＋cs2α＝1.
eq \f(sin α,cs α)＝tanα(α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z)．
2.公式一
公式二
sin(π＋α)＝－sin_α，
cs(π＋α)＝－cs_α，
tan(π＋α)＝tan_α.
公式三
sin(－α)＝－sin_α，
cs(－α)＝cs_α，
tan(－α)＝－tan_α.
公式四
sin(π－α)＝sin_α，
cs(π－α)＝－cs_α，
tan(π－α)＝－tan_α.
公式五
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs_α，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin_α.
公式六
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs_α，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin_α
例1.(1)已知sin(－π＋θ)＋2cs(3π－θ)＝0，则eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝________.
(2)已知f(α)＝eq \f(sin2π－α·cs2π－α·tan－π＋α,sin－π＋α·tan－α＋3π).
①化简f(α)；
②若f(α)＝eq \f(1,8)，且eq \f(π,4)＜α＜eq \f(π,2)，求cs α－sin α的值；
③若α＝－eq \f(47π,4)，求f(α)的值．
(1)【答案】eq \f(1,3)
【解析】由已知得－sin θ－2cs θ＝0，故tan θ＝－2，
则eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝eq \f(tan θ＋1,tan θ－1)＝eq \f(－2＋1,－2－1)＝eq \f(1,3).]
(2)【解析】 ①f(α)＝eq \f(sin2α·cs α·tan α,－sin α－tan α)＝sin α·cs α.
②由f(α)＝sin α·cs α＝eq \f(1,8)可知，
(cs α－sin α)2＝cs2α－2sin α·cs α＋sin2α＝1－2sin α·cs α＝1－2×eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)，
又∵eq \f(π,4)＜α＜eq \f(π,2)，∴cs α＜sin α，即cs α－sin α＜0，∴cs α－sin α＝－eq \f(\r(3),2).
③∵α＝－eq \f(47,4)π＝－6×2π＋eq \f(π,4)，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(47,4)π))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(47,4)π))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(47,4)π))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6×2π＋\f(π,4)))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6×2π＋\f(π,4)))
＝cseq \f(π,4)·sineq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,2).
知识点二 三角函数的图象变换问题
1.函数y＝sin x的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R图象的两种方法
2．对称变换
(1)y＝f(x)的图象eq \(――――→,\s\up11(关于),\s\d4(x轴对称))y＝－f(x)的图象．
(2)y＝f(x)的图象eq \(――――→,\s\up11(关于y轴),\s\d4(对称))y＝f(－x)的图象．
(3)y＝f(x)的图象eq \(――――→,\s\up11(关于0，0),\s\d4(对称))y＝－f(－x)的图象．
例题2：(1)已知曲线C1：y＝cs x，C2：y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线C2
(2)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移eq \f(π,8)个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,4)
C．0 D．－eq \f(π,4)
（1）【答案】D
【解析】(1)因为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)－\f(π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，所以曲线C1：y＝cs x上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cs 2x，再把得到的曲线y＝cs 2x向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线y＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
故选D.
（2）【答案】B
【解析】y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移eq \f(π,8)个单位后
得y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8)))＋φ))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)＋φ)).若该函数为偶函数，
则eq \f(π,4)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，故φ＝kπ＋eq \f(π,4).当k＝0时φ＝eq \f(π,4).故选B.
知识点三 三角函数的性质
例题3 . (1)若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
(2)已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋a＋1(其中a为常数)．
①求f(x)的单调区间；
②若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)的最大值为4，求a的值．
（1）【答案】B
【解析】因为函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，
所以θ＝eq \f(π,2)，f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝3cs 2x，
令2kπ－π≤2x≤2kπ，得kπ－eq \f(π,2)≤x≤kπ，可得函数f(x)的增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ))，k∈Z，
所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)).]
(2)【解析】 ①由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq \f(π,3)＋kπ≤x≤eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)＋kπ，\f(π,6)＋kπ))(k∈Z)，由eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，
解得eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(2π,3)＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋kπ，\f(2π,3)＋kπ))(k∈Z)．
②∵0≤x≤eq \f(π,2)，∴eq \f(π,6)≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(7π,6)，
∴－eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))≤1，
∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1.
知识点四 三角恒等变换的综合应用
例题4．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))sin x－eq \r(3)cs2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的单调性．
【解析】(1)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))sin x－eq \r(3)cs2x＝cs xsin x－eq \f(\r(3),2)(1＋cs 2x)
＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(\r(3),2)cs 2x－eq \f(\r(3),2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－eq \f(\r(3),2)，
因此f(x)的最小正周期为π，最大值为eq \f(2－\r(3),2).
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))时，0≤2x－eq \f(π,3)≤π，从而
当0≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)，即eq \f(π,6)≤x≤eq \f(5π,12)时，f(x)单调递增，
当eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,3)≤π，即eq \f(5π,12)≤x≤eq \f(2π,3)时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,12)))上单调递增；在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(2π,3)))上单调递减．
五 易错点分析
易错一 三角函数图象的平移
例题5.将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq \f(1,4)个周期后，所得图象对应的函数为( )
A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))) D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
【答案】D
【解析】函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的周期为π，将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq \f(1,4)个周期即eq \f(π,4)个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，故选D.
误区警示
函数图象的平移为“左加右减”，必须是相对于x本身加减。
内 容
考点
关注点
第五章 复习与检测
同角三角函数基本关系
求值、化简
诱导公式
求任意角的三角函数值
三角函数的图象与性质
求函数的单调区间、最值、对称轴、对称中心
三角恒等变换
三角函数公式的灵活运用