专题03 空间向量及其运算的坐标表示（知识精讲）-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）学案

专题三    空间向量及其运算的坐标表示

一 知识结构图

二.学法指导

1．在空间直角坐标系中，确定点的坐标或求对称点坐标时，要记住规律：“在谁的轴上，谁属于R，其它为零；在谁的平面上，谁属于R，其它为零．”“关于谁对称谁不变，其余变成相反数．”

2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．

3．进行空间向量的数量积坐标运算的技巧

利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧．

(1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2等．

(2)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(2a)·(－b)，既可以利用运算律把它化成－2(a·b)，也可以求出2a，－b后，再求数量积；计算(a＋b)·(a－b)，既可以求出a＋b，a－b后，求数量积，也可以把(a＋b)·(a－b)写成a2－b2后计算．

4.判断空间向量垂直或平行的步骤

(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；

(2)向量关系代数化：写出向量的坐标；

(3)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据x1x2＋y1y2＋z1z2是否为0判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或＝＝(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行．

5.利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤

(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；

(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；

(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．

6．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤

(1)建立适当的空间直角坐标系；

(2)求出线段端点的坐标；

(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．

三.知识点贯通

知识点1  求空间点的坐标

例题1.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．

(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；

(2)求点N的坐标．

【解析】(1)显然D(0,0,0)，

因为点A在x轴的正半轴上，且|AD|＝3，

所以A(3,0,0)．同理，可得C(0,4,0)，D1(0,0,5)．

因为点B在坐标平面xOy内，BC⊥CD，BA⊥AD，所以B(3,4,0)．同理，可得A1(3,0,5)，C1(0,4,5)，与B的坐标相比，点B1的坐标中只有竖坐标不同，|BB1|＝|AA1|＝5，则B1(3,4,5)．

(2)由(1)知C(0,4,0)，C1(0,4,5)，

则C1C的中点N为，

即N.

知识点二   求对称点的坐标

在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下：

例题2：在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．

(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；

(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；

(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标

【解析】　(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．

(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．

(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点．由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．

知识点三   空间向量的坐标表示

若则。

例题3 .如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．

【解析】　法一：由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，如图所示．

∴＝－＝＋－＝－＋，∴的坐标为(1，－1,1)，

而＝－＝－＋，

∴的坐标为(1，－1,2)．

又∵＝－，∴的坐标为(－1,1，－2)．

法二：建系同法一，则B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1)，

∴＝(1，－1,1)，＝(1，－1,2)，＝(－1,1，－2)．

知识点四  空间向量的坐标运算

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：

例题4．已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)．

【解析】　a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)；

a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)；

a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；

(2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14；

(a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.

知识点五   空间向量的平行与垂直

空间向量的平行、垂直的坐标表示

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

例题5.(1)对于空间向量a＝(1,2,3)，b＝(λ，4,6)．若a∥b，则实数λ＝(　　)

A．－2  B．－1  C．1  D．2

(2)正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．

【解析】(1)因为空间向量a＝(1,2,3)，b＝(λ，4,6)，若a∥b，则＝＝＝，所以λ＝2，故选D.

(2)如图所示，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，

由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，

因为3＝，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，

所以3a－3＝－a，解得a＝，

所以点P的坐标为.

由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，

因为PQ⊥AE，所以·＝0，

所以·＝0，

即－－＝0，解得b＝，

所以点Q的坐标为，

因为＝λ，所以＝λ，

所以＝－1，故λ＝－4.

知识点六    空间向量的夹角与长度问题

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

例题6.如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．

(1)求BN的长；

(2)求A1B与B1C所成角的余弦值；

【解析】　(1)如图所示，建立空间直角坐标系C­xyz.

依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，

∴||＝＝，

∴线段BN的长为.

(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，

∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，

∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.

又||＝，||＝.

∴cos〈，〉＝＝.

故A1B与B1C所成角的余弦值为.

五 易错点分析

易错一 空间直角坐标系中求对称点的坐标

例题7.点P(－3,2，－1)关于平面xOz的对称点是________，关于z轴的对称点是________，关于M(1,2,1)的对称点是________．

【答案】(－3，－2，－1)　(3，－2，－1)　(5,2,3)　

【解析】点P(－3,2，－1)关于平面xOz的对称点是(－3，－2，－1)，关于z轴的对称点是(3，－2，－1)．设点P(－3,2，－1)关于M(1,2,1)的对称点为(x，y，z)．

则解得

故点P(－3,2，－1)关于点M(1,2,1)的对称点为(5,2,3)．

误区警示
在空间直角坐标系中，求点的对称点的坐标时，关于坐标平面对称时，注意应该变换哪个坐标。