专题04 用空间向量研究直线、平面的位置关系 核心素养练习-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）

专题四    用空间向量研究直线、平面的位置关系

一、核心素养聚焦

考点一  数学运算-求平面的法向量

例题9.．已知三点A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量．

【解析】设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，

由题意得＝(－1,1,0)，＝(1,0，－1)．

因为n⊥，n⊥，

所以

令x＝1，得y＝z＝1，所以平面ABC的一个法向量n＝(1,1,1).

考点二   逻辑推理-证明线线平行

例题10如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．

【证明】以点D为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E，C1(0,1,1)，F，

∴＝，

＝，＝，＝，

∴＝，＝，

∴∥，∥，

又∵F∉AE，F∉EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，

∴四边形AEC1F是平行四边形.

二、学业质量测评

一、选择题

1．已知两不重合直线和的方向向量分别为，，则与的位置关系是（    ）

A．平行 B．相交 C．垂直 D．不确定

【答案】A

【详解】

因为，，

所以，

所以，

故选：A

2．若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

∵平面，∴平面的一个法向量与平面的法向量垂直，即它们的数量积为0.

对于A：，故A错误；

对于B：，故B错误；

对于C：，故C正确；

对于D：，故D错误.

故选：C.

3．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【详解】

对于选项A：，故选项A不正确；

对于选项B：，故选项B不正确；

对于选项C：，所以，所以，故选项C 正确；

对于选项D：，故选项D不正确；

故选：C

4．若是平面的一个法向量，且，与平面都平行，则向量等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

因为，，所以，，解得，，所以.

故选：D

5．设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】

由，得：，则“”是“”的必要条件，

而不一定有，也可能，则“”不是“”的充分条件.

故选：B.

6．已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，.对于结论：①；②；③是平面的法向量；④.其中正确的是（    ）

A．②④ B．②③ C．①③ D．①②

【答案】B

【详解】

由，，，，2，，，2，，知：

在①中，，故①不正确；

在②中，，，，故②正确；

在③中，， ，又因为，，知是平面的法向量，故③正确；

在④中，，3，，假设存在使得，则，无解，故④不正确；

综上可得：②③正确．

故选：B．

7．（多选题）已知为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中，正确的是（    ）

A．∥⇔α∥β B．⊥⇔α⊥β

C．∥⇔l∥α D．⊥⇔l∥α

【答案】AB

【详解】

解：为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），

则∥⇔α∥β，⊥⇔α⊥β，∥⇔l⊥α，⊥⇔l∥α或l⊂α.

因此AB正确.

故选：AB.

8．（多选题）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（    ）

A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则

B．直线的方向向量，平面的法向量是，则

C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则

D．直线的方向向量，平面的法向量是，则

【答案】AC

【详解】

对于A，两条不重合直线，的方向向量分别是，,且，所以，选项正确；

对于B，直线l的方向向量，平面的法向量是且

，所以或，选项错误；

对于C，两个不同的平面α，β的法向量分别是，，且

，所以，选项C正确；

对于D，直线l的方向向量，平面的法向量是且，

所以，选项D错误.

故选：AC

二、填空题

9．已知两个不同的平面，的法向量分别是和，则平面，的位置关系是________.

【答案】

【详解】

，，

，，

.

故答案为：.

10．如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.平面的法向量________.

【答案】（答案不唯一）

【详解】

是正方形，且，

，

，

，，

，

，

，，

，

故，

故，

∵向量是平面OCB1的法向量，

，

，

故，，取，故，

平面的法向量

故答案为：（答案不唯一）

11．已知A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),点P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为_____.

【答案】(-1,0,2)

【详解】

由题意得=(-x,1,-z),=(-1,-1,-1),=(2,0,1),由,得=x-1+z=0,

由,得=-2x-z=0,解得故点P的坐标为(-1,0,2).

12．若两条直线的方向向量分别是，，且两条直线平行，则x=___，y=___.

【答案】    15   

【详解】

解：因为两条直线平行，且两条直线的方向向量分别是，，

所以∥.

所以令，则

所以，解得，

故答案为：；15

三、解答题

13．已知，，.

（1）求平面的一个法向量；

（2）证明:向量与平面平行.

【答案】（1）平面的一个法向量为（答案不唯一）；（2）证明见解析.

【详解】

（1）因为，，，

所以，，

设为平面的一个法向量，

则有，所以，不妨令，

则，

所以平面ABC的一个法向量为；

（2）若存在实数，，使，

即，

则，解得，

所以，即向量与平面平行.

14．已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点.

（1）用向量法证明，，，四点共面；

（2）用向量法证明：平面；

（3）设是和的交点，求证：对空间任一点，有.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【详解】

（1）如图，连接，

因为，，，分别是空间四边形的边，，，的中点，

则，，

则，

由共面向量定理的推论知，，，四点共面；

（2）因为.

所以，又平面，平面，

所以平面；

（3）连接，，，，，，，

由（2）知，同理，

所以，，，

所以､交于一点且被平分，

所以.

15．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，是的中点，已知，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面平面．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.

【详解】

证明：以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，．

（Ⅰ）因为是的中点，所以的坐标为，

所以，

又因为，

所以，

所以，即有；

（Ⅱ）因为底面是正方形，所以，

因为底面，平面，

所以，

因为，

所以平面，

所以平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，，，

由，取，，，

所以平面的一个法向量为，

因为，

所以，所以平面平面.