专题05 用空间向量研究距离、夹角问题 核心素养练习-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）

专题五    用空间向量研究距离、夹角问题

一、核心素养聚焦

考点一  数学运算-求点到直线的距离

例题7.在长方体OABC­O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离．

【解析】法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，过O1作O1D⊥AC于点D，设D(x，y，0)，＝(x－2，y，0)，＝(x，y，－2)，

∵＝(－2,3,0)，⊥，

∥，∴

解得∴D，

∴||＝＝.

即O1到直线AC的距离为.

法二：建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)，

∴＝(－2,0,2)，

＝(－2,3,0)，

∴·＝(－2,0,2)·(－2,3,0)＝4，

∴在方向上的投影为

＝，∴O1到直线AC的距离

d＝＝.

二、学业质量测评

一、选择题

1．在三棱锥中，PA，PB，PC两两垂直，且，M，N分别为AC，AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

以点P为坐标原点，以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

令，则，，，

则，，

设异面直线PN和BM所成角为，则.

故选：D.

2．已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】C

【详解】

∵两平面的法向量分别为

则两平面所成的二面角与相等或互补
故.
故两平面所成的二面角为45°或135°
故选C．

3．    在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若F，G分别是棱AB，CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于(　　)

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

方法一　过F作BD的平行线交AC于M，则∠MGF即为直线FG与平面A1ACC1所成的角．

设正方体棱长为1，由,所以面A1ACC1，所以

则MF＝，GF＝，∴sin ∠MGF＝.

方法二　如图，分别以AB，AD，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

设正方体棱长为1，则易知平面A1ACC1的一个法向量为n＝(－1,1,0)．

∵F，G，∴＝.

设直线FG与平面A1ACC1所成角为θ，

则sin θ＝|cos〈n， 〉|＝＝.

答案：D.

4．把正方形沿对角线折起成直二面角，点，分别是，的中点，是正方形中心，则折起后，的大小为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为是正方形中心，所以，

为二面角的平面角，

又正方形沿对角线折起成直二面角，

即二面角是直二面角，所以，

因为点，分别是，的中点，

所以，，

所以.

又，

所以.

因为

所以，

故选：C.

5．在棱长为的正方体中，是的中点，则点到平面的距离是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

以为空间直角坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系.由于是中点，故，且，设是平面的法向量，故，故可设，故到平面的距离.故选A.

6．空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为平面的方程为，故其法向量为，

因为直线的方程为，故其方向向量为，

故直线与平面所成角的正弦值为，

故选：B.

7．（多选题）将正方形沿对角线折成直二面角，有如下四个结论：①；② 是等边三角形；③与平面所成的角为；④与所成的角为.其中正确的结论有（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】ABD

【详解】

解：取中点，由正方形的性质得：，

所以为二面角的平面角，

因为二面角是直二面角，

所以如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，

设正方形的边长为，

则

所以，，，，，

因为=0，故，①正确.

又，，，

所以为等边三角形，②正确.

对于③，为平面的一个法向量，

.

因为直线与平面所成的角的取值范围是，

所以与平面所成的角为，故③错误.

又，

因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以与所成的角为，故④正确.

故选：ABD

8．（多选题）正方形沿对角线折成直二面角，下列结论正确的有（ ）

A．与所成的角为

B．与所成的角为

C．与面所成角的正弦值为

D．平面与平面的夹角的正切值是

【答案】BD

【详解】

取的中点O，连接，则，

∵正方形沿对角线折成直二面角，故平面平面，

而平面平面，平面，故平面.

∴以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，∴，，，，.

∵，

因为，故，

∴异面直线与所成的角为60°，故A错误；

∵，∴，故B正确；

设平面的法向量为，

则取，得，

∴，

设与面所成角为，

则，故C错误；

易知平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，

则取

得，∴，设两个平面的夹角为（为锐角），则，故，故.

∴平面与平面的夹角的正切值是，故D正确.

故选：BD.

二、填空题

9．如图，在三棱锥中，顶点在空间直角坐标系的原点处，顶点，，分别在，， 轴上，是线段的中点，且，当时，异面直线与所成角的余弦值为________．

【答案】

【详解】

由题意，，，，，

当时，在中，，，，

∴，∴，

∴，

∴异面直线与所成角的余弦值为．

故答案为：

10．在正四棱锥中，为顶点在底面上的射影，为侧棱的中点，且，则直线与平面所成的角是________．

【答案】30°

【详解】

如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.

设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a(a＞0)，

则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，.

则，，．

设平面PAC的法向量为，则

即，得，令，则

,

则.

∴.

∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.

故答案为：.

11．在空间直角坐标系中，已知，，则向量与平面的法向量的夹角的正弦值为________.

【答案】

【详解】

平面的一个法向量为，，

所以.

∵，

∴.

故答案为：

12．如图，在底面边长均为2，高为1的长方体中，E、F分别为、的中点，则异面直线、所成角的大小为_______；平面与平面所成锐二面角的余弦值为__________.

【答案】       

【详解】

（1）以D为原点建立如图所示空间直角坐标系：

则，所以，

设异面直线、所成角的大小为，所以，

因为，所以；

（2），设平面的一个法向量为：，

则，即，令，则，

平面一个法向量为：，设平面与平面所成锐二面角为，

所以.

故答案为：①；②

三、解答题

13．如图，在直三棱柱中-A BC中，ABAC， AB=AC=2，=4，点D是BC的中点．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求平面与所成二面角的正弦值．

【答案】（1）；（2）.

【详解】

 (1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，

，，

，

异面直线与所成角的余弦值为．

（2）设平面的法向量为，

，

，即且，

令，则，是平面的一个法向量，

取平面的一个法向量为，

设平面与平面夹角的大小为，由，

得，故平面与平面夹角的正弦值为．

14．如图所示，四边形ABCD是直角梯形，，平面ABCD，，．

求SC与平面ASD所成的角余弦值；

求平面SAB和平面SCD所成角的余弦值．

【答案】（1）；（2）

【详解】

（1）建立如图所示的空间直角坐标系，S（0，0，2），C（2，2，0），D（1，0，0），＝（2，2，﹣2），∵AB⊥平面SAD，故平面ASD的一个法向量为＝（0，2，0），设SC与平面ASD所成的角为θ，则sinθ＝ = ＝，故cosθ＝，即SC与平面ASD所成的角余弦为：.

（2）平面SAB的一个法向量为：＝（1，0，0），∵＝（2，2，﹣2），＝（1，0，﹣2），设平面SCD的一个法向量为＝（x，y，z），由⇒，令z＝1可得平面SCD的一个法向量为＝（2，﹣1，1）显然，平面SAB和平面SCD所成角为锐角，不妨设为α，则cosα＝＝，即平面SAB和平面SCD所成角的余弦值为 .   

15．如图，已知四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，.

（1）求证：；

（2）求点到平面的距离.

【答案】（1）见解析（2）

【详解】

（1）证明：如图，连接.由题设可知，.

∵，

∴.

而，，

∴平面.

∵平面，

∴.                      

（2）如图，连接，.

∵，又，，

∴.

又，

∴平面，即平面.

∴，.

设点到平面的距离为，由，

得，解得.

∴点到平面的距离为.