专题20 抛物线的简单几何性质（核心素养练习）-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）

专题二十   抛物线的简单几何性质  

一、核心素养聚焦

考点一  数学运算-抛物线几何性质的运用

例题6.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为________．

【答案】y2＝3x或y2＝－3x　

【解析】根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，)或(－1，)，设抛物线方程为

y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，

则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x

考点二   直观想象-直线与抛物线相交问题

例题7已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线l被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．

【解析】　当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点F，直线l的方程为y＝x－.设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝＋＝x1＋x2＋p＝6，

∴x1＋x2＝6－p.①

由消去y，得＝2px，即x2－3px＋＝0.∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝.

∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x.

当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2＝－3x.

二、学业质量测评

一、选择题

1．抛物线焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的倾斜角等于，那么等于(    )

A． B． C． D．3

【答案】C

【解析】根据题意，可得抛物线及直线的线段关系如下图所示：

抛物线焦点为F，则，准线方程为，

直线的倾斜角等于，即，

而，所以，

由抛物线定义可知，

因而，

作于，则，，

所以，

所以在中，，

故选：C.

2．已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为

A． B．1 C．2 D．4

【答案】C

【解析】抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=-，

因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x-3）2+y2=16相切，

所以3+=4，p=2；

故选C．

3．已知抛物线的焦点为F，Q为抛物线上一点，连接并延长交抛物线的准线于点P，且点P的纵坐标为负数，若，则直线PF的方程为（     ）

A． B．

C．或 D．

【答案】D

【解析】由于的纵坐标为负数，所以直线斜率大于零，由此排除B,C选项.设直线的倾斜角为.作出抛物线和准线的图像如下图所示.作，交准线于点.根据抛物线的定义可知，且.依题意，故在直角三角形中，所以，故直线的斜率为，所以直线的方程为，化简得.

故选：D.

4．已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作于点A，当（O为坐标原点）时，（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【解析】

设l与y轴交于点B，在中，，

所以.

设，则，代入，

于是，从而.

故选：.

5．抛物线上的点到焦点的距离的最小值为（    ）

A．3 B．6 C． D．

【答案】C

【解析】将抛物线方程化为标准形式得，因为，所以.

所以抛物线上的点到焦点的距离的最小值为.

故选：C

6．已知是过抛物线的焦点的弦．若，则中点的纵坐标是（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】D

【解析】如图所示，设线段的中点为，

分别过A，P，B三点作准线l的垂线，

垂足分别为，Q，，由题意得

．

由得，所以抛物线的准线方程为，

又，∴，∴．

故选：D.

7．（多选题）设抛物线的准线与对称轴交于点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，则（    ）

A．点坐标为 B．直线的方程为

C． D．

【答案】ABC

【解析】由得，，则焦点．，

其准线方程为，A正确；

设切线方程为，由得，

令，解得．

∴切点，因此直线的方程为，B正确；

又，．

从而，即，C正确；

，D错误．

故选：ABC．

8．（多选题）已知抛物线：的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限）、与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（    ）

A． B．为中点 C． D．

【答案】ABC

【解析】如图所示：作准线于，轴于，准线于.

直线的斜率为，故，，，故，.

，代入抛物线得到；

，故，故为中点；

，故；

，，故；

故选：.

二、填空题

9．斜率为1，且过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的弦长为__________________．

【答案】8

【解析】由抛物线得，

所以焦点坐标为，

因为斜率为1，

所以过焦点的直线方程为，

由消去，得．

设该直线与抛物线的交点的坐标分别为，

则，

所以直线被抛物线截得的弦长为．

故答案为：8

10．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，且的长为10，设的中点为，则到轴的距离为______．

【答案】3

【解析】由抛物线方程可知，

，．

由线段的中点到轴的距离为，

故答案为3．

11．已知抛物线y2＝2px(p＞0)经过焦点的弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 的值为________.

【答案】－4

【解析】由抛物线y2＝2px(p＞0)，得其焦点坐标为.

设过焦点的弦AB所在直线方程为.

由消去x整理得.

所以y1y2＝－p2.

因为点A(x1，y1), B(x2，y2)在抛物线上，

所以，

所以．

故答案为－4．

12．设抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，点满足，过作轴的垂线与抛物线交于点，若，则点的横坐标为__________，__________．

【答案】1    8   

【解析】由于点满足，所以是线段的中点.抛物线的焦点坐标为，准线方程为.设，由于在抛物线上，且，根据抛物线的定义得，所以，则，不妨设.若直线斜率不存在，则，则，此时的纵坐标和的纵坐标不相同，不符合题意.所以直线的斜率存在.设，设直线的方程为，代入抛物线方程并化简得，则.由于是线段中点，所以，而，所以，即，即，解得.所以，所以，则到准线的距离为，根据抛物线的定义结合中位线的性质可知.

故答案为：(1). 1  (2). 8

三、解答题

13.已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若|AB|＝8，求k的值．

【解析】(1)抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，

由|PF|＝2得：1＋＝2，得p＝2.

所以抛物线的方程为y2＝4x.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由

可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0，

∴x1＋x2＝.

∵直线l经过抛物线C的焦点F，

∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，

解得k＝±1，所以k的值为1或－1.

14．设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点、，线段中点的横坐标为，且．

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）若直线（斜率存在）经过焦点，求直线的方程．

【答案】（I）；（II）.

【解析】（I）设点、，则线段中点横坐标为，

，又，解得.

因此，抛物线的标准方程为；

（II）由（I）知，抛物线的焦点为，

故可设直线的方程为，，联立方程组，消去，

得，，解得，

因此，直线的方程为．

15．已知动圆M与直线相切，且与圆外切，记动圆M的圆心轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且（O为坐标原点），证明直线l经过定点H，并求出H点的坐标.

【答案】（1）

（2）H（6,0），证明见解析

【解析】（1）因为已知动圆与直线相切，且与圆外切，

所以动圆的圆心到点的距离与动圆的圆心到直线的距离相等.   

∴动圆的圆心的轨迹是以为焦点的抛物线.  

∴曲线的方程.   

（2）∵直线l与曲线相交于A，B两点，∴直线l的斜率不为0.

设，，直线l的方程为.

由，消去，得.   

∴，即. 

∴，.

∵，∴.

∴.   

∴，满足.  

∴直线l的方程为.

∴直线l过定点H（6,0）.