期末测试卷（A卷 基础巩固）-2022年秋季高二上精品讲义（新教材人教A版）

高二（上）期末测试卷（A卷 基础巩固）

考试时间：120分钟   满分：150分

一、选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.双曲线的渐近线方程为（  ）

     A.          B.           C.            D.

【答案】C

【解析】

由题设知双曲线焦点在x轴上，且，所以的渐近线方程为,故选C.

2.圆与圆的公切线条数是　

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】 B．

【解析】

两圆圆心距为5，两圆半径，，∵，∴两圆相交，公切线条数为．故选B．

3.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是　　

A． B． C． D．

【答案】 A．

【解析】

设过点的直线与椭圆相交于两点，，，，，

由中点坐标公式可知：，则，两式相减得：，

∴，∴直线的斜率，

∴直线的方程为：，整理得：，故选A．

4.命题：“”是命题：“直线与直线垂直”成立的．

A.充要条件    B.充分非必要条件    C.必要非充分条件      D.既不充分也不必要条件

【答案】 A

【解析】

充分性：若，则直线为，所以有，充分性成立；

必要性：若直线与直线垂直，∴，必要性成立.

【点评】本题主要考查充分条件与必要条件和命题及其关系.

5.已知椭圆的两个焦点是、，点在椭圆上，若，则的面积是（  ）

 A．    B．   C．   D．

【答案】 C．

【解析】

由题意得，，又，所以，，又，则是直角三角形，所以，故选C.

6.已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，满足且，则的最小值为（   ）

 A． B． C． D．

【答案】 A．

【解析】

由题意得，在中，由勾股定理可得，，故要求，即求就好，而在椭圆中，所以故选A．

7.椭圆C：的左、右顶点分别为、，点P在C上且直线的斜率的取值范围是，那么直线的斜率的取值范围是（   ）

    A.            B.             C.             D.

【答案】C

【解析】

由，又，所以，故选C.

8. 若圆关于直线对称，则由点 向圆C所作的切线长的最小值是（   ）

 A. B. C. D.

【答案】：B

【解析】：圆可化标准方程为，

可知圆心C为，半径  圆  关于直线 对称，

则圆心C在直线上，即

圆心C到直线 的距离为

则由点 向圆C所作的切线长的最小值是，故选B

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

9．已知双曲线（，）满足条件：（1）焦点为，；（2）离心率为，求得双曲线的方程为.若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线的方程仍为，则下列四个条件中，符合添加的条件可以为（   ）

 A.双曲线上的任意点都满足

 B.双曲线的虚轴长为

 C.双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合

 D.双曲线的渐近线方程为

【答案】 AD．

【解析】

由条件（1）可知，由（2）知，，则， 去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线的方程仍为，则若双曲线上的任意点都满足时，即，∴，则A可行；若双曲线的虚轴长为，即，即，则B不行；若双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合，且的焦点为，∴，则C不行；若双曲线的渐近线方程为，即，∴，则D可行.故选择AD．

10、在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，的外角平分线交x轴于点Q，过Q作交的延长线于，作交线段于点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【解析】

由抛物线的定义，，A正确；

∵，是的平分线，∴，∴，B正确；

若，由是外角平分线，，得，从而有，于是有，这样就有，为等边三角形，，也即有，这只是在特殊位置才有可能，因此C错误；

连接，由A、B知，又，是平行四边形，∴，显然，∴，D正确．

11、过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（    ）

A．以线段为直径的圆与直线相离  B．以线段为直径的圆与轴相切

C．当时， D．的最小值为4

【答案】ACD

【解析】对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离：

对于选项B，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误.

对于选项C，D，设，，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得 ，，，若设，则，于是，最小值为4；当可得，

，所，.

故选:ACD.

12、已知抛物线的焦点为、准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则 （    ）

A．若，则

B．以为直径的圆与准线相切

C．设，则

D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条

【答案】ABC

【解析】对于选项A,因为,所以,则,故A正确；

对于选项B,设为中点,设点在上的射影为,点在上的射影为,则由梯形性质可得,故B正确；

对于选项C,因为,所以,故C正确；

对于选项D,显然直线,与抛物线只有一个公共点,设过的直线为,

联立,可得,令,则,所以直线与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故D错误；

故选：ABC

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.已知为双曲线的左焦点，、为上的点.若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为_______.

【答案】44．

【解析】

根据题意，双曲线的左焦点，所以点是双曲线的右焦点.

不妨设点在第一象限，则①②

由得，又，

所以的周长为

故答案为：44

14.在平面直角坐标系中，曲线围成的图形的面积为          

【答案】

【解析】因为，所以（1）即，

得；（2）即，得；

（3）即，得；（4）

即，得，所以曲线围成的图形是四个半径为的圆，面积为。

15．已知点A(3,0)，B(0,4),点P在圆上上运动，则的最小值为           .

【答案】 17．

【解析】

由于点P在圆上，所以设P，则

，其中，所以当时，

故答案为：17

16.，且有四个子集，则的取值范围是_______．

【答案】 ．

【解析】

A集合中点所在方程为，即椭圆的上半部分

B集合中点所在方程为，即过定点的动直线

有四个子集即直线与半椭圆有两个交点

如图，临界情况为直线过椭圆右顶点和直线与椭圆相切，分别记为，，对应的斜率

分别为，，则，联立，得，

令可得，或（舍）

故直线应在，之间，即，．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知抛物线的焦点为.

 （1）求；

 （2）斜率为1的直线过点，且与抛物线交于两点，求线段的长.

【答案】 （1）  （2）.

【解析】

（1）由抛物线的定义可以得到焦点坐标，而，由此得到.

（2）法一：由题意可知点的直线方程为，与抛物线方程联立可得，消元可得，，设两个交点坐标分别为，由韦达定理可知，焦点弦长.

法二：由题意可知，焦点弦的倾斜角，由焦点弦长.

18.圆经过三点：，，.

（1）求圆的方程；

（2）求圆与圆:的公共弦的长.

【答案】（1） （2）．

【解析】

设圆方程为：.∵圆过，，，

∴解得，，，

∴圆方程为：.

（2）圆的一般方程为：，两圆方程相减，得相交弦所在直线为：.∴到直线距离，

∴相交弦长.

19.已知，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是3.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点与能否做一条直线与轨迹交于两点，，且点是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由.

【答案】（1） （2）不存在．

【解析】

（1）设，所以，，其中，∴，

整理得轨迹的方程为：．

（2）设，，∴，两式相减，得：，

所以，∴直线的方程：，

然后，直线m的方程与椭圆的方程联立，消去y,化简得：，，

所以，直线的方程不存在.

20.已知圆，

（1）求过点的圆的切线方程；

（2）直线过点且被圆截得的弦长最短时，求直线的方程；

（3）过点的直线与圆于不同的两点、，线段的中点的轨迹为，直线与曲线只有一个交点，求的值.

【答案】（1）（2）（3）或

【解析】

（1）由圆得，即表示以为圆心，以为半径的圆，当切线的斜率不存在时，切线方程为符合题意.

当切线的斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程为，即所以，圆心到切线的距离等于半径，即，

解得，，所以切线方程为，即.

综上可得，圆的切线方程为或

（2）当直线时，弦长最短，此时直线方程为.

（3）因为点在圆上，依题意，得，设点，且为线段的中点，所以，所以，所以化简得，，由于点在圆内，去除点，所以，

因为直线与曲线只有一个交点，所以圆心到直线的距离或，所以或.

21.已知动点与到点的距离和到直线的距离相等，记动圆的轨迹为曲线.

 （1）求曲线的方程；

 （2）若直线与曲线相交于两点，且（为坐标原点），证明直线经过定点，并求出点的坐标.

【答案】 （1），（2）定点.

【解析】

（1）由抛物线定义可得，抛物线开口向右，，则抛物线方程为.

（2）由题意可设直线的方程为，，，

直线的方程与抛物线方程组成方程组得

此时，，由韦达定理可得，则，

又，则，可解得，故直线的方程为，所以直线经过定点.

22.已知椭圆的两个焦点分别为，

，点在椭圆C上.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设椭圆C的左顶点为D，过点的直线与椭圆C交于异于D的不同两点A，B，求ABD的面积S的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由椭圆的定义，得，即

，得，两边平方得，所以………………2分

因为，且，所以，………………4分

所以椭圆C的方程为………………5分

（2）显然直线与重合时，ABD不存在，所以直线的斜率存在；………………6分

不妨设过点的直线的方程为，设，

联立直线与椭圆C的方程得

，整理得，，

得………………8分

因为

又因为,

，

所以，………………10分

因为，当且仅当，即时，取得最大值，

面积的最大值为.………………12分