期末测试卷（B卷 能力提升）-2022年秋季高二上精品讲义（新教材人教A版）

高二（上）期末测试卷（B卷 能力提升）

考试时间：120分钟   满分：150分

一、选择题（每小题5分，共8小题40分）

1．双曲线的渐近线方程为（  ）

A. B. C. D.

【答案】 C．

【解析】由题意得,,故选C.

2．在空间直角坐标系中中，轴上一点到点和的距离相等，则的坐标为（  ）

    A.         B.         C.           D.

【答案】B．

【解析】

 由题意设，则，故选B

3．圆与圆的位置关系为（  ）

    A．相离             B.内切               C.外切              D.相交

【答案】 D．

【解析】

由题设知此两圆的圆心分别为 和，半径分别为4和2，所以圆心距5大于它们的半径之差且小于它们的半径之和，所以它们的位置关系是相交，故选D.

4.若为实数，则“”是“曲线：表示双曲线”的

（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件

【答案】 A．

【解析】

由题可得，表示双曲线，则，解得.所以“”是“表示双曲线”的充分不必要条件.

5．设点，抛物线的焦点为，为抛物线上与直线不共线的一点，则周长的最小值为（   ）

A．18 B．13 C．12 D．7

【答案】 C．

【解析】

由抛物线方程知焦点坐标为，

准线方程，由抛物线性质知，到焦点的距离等于到准线的距离，

如图所示，过 作 垂直于 于，则，

∴的周长为，

过作垂直于于，易知，当、、三点共线时取等号，

∴的周长最小值为．故选C．

6．已知直线与直线互相垂直，垂足为，则的值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】  B．

【解析】∵直线与直线互相垂直，∴

解得：，∴直线

∵在直线上，∴ 解得：

又∵也在直线上，∴，解得：

∴，故选B．

7．若圆关于直线对称，则由点 向圆C所作的切线长的最小值是（   ）

 A. B. C. D.

【答案】B

【解析】圆可化标准方程为，

可知圆心C为，半径 

圆  关于直线 对称，

则圆心C在直线上，即

圆心C到直线 的距离为

则由点 向圆C所作的切线长的最小值是，故选B

8．设椭圆的左右焦点分别为

,,经过点的直线与椭圆相交于,两点,若且,则椭圆的短轴长为

A. B. C. D.

【答案】 D．

【解析】

由题意得,设,则,       

,,由椭圆第一定义易得

,又因为

  即:

  ,整理得:,,

  又因为,即,,

  故选D.

二、多选题（每小题5分，共4小题20分）

9．已知双曲线（，）满足条件：（1）焦点为，；（2）离心率为，求得双曲线的方程为.若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线的方程仍为，则下列四个条件中，符合添加的条件可以为（   ）

 A.双曲线上的任意点都满足

 B.双曲线的虚轴长为

 C.双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合

 D.双曲线的渐近线方程为

【答案】 AD．

【解析】

由条件（1）可知，由（2）知，，则， 去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线的方程仍为，则若双曲线上的任意点都满足时，即，∴，则A可行；若双曲线的虚轴长为，即，即，则B不行；若双曲线的一个顶点与抛物线的焦点重合，且的焦点为，∴，则C不行；若双曲线的渐近线方程为，即，∴，则D可行.故选择AD．

10．设有一组圆，给出下列四个命题正确的是（   ）

A．存在，使圆与轴相切          B．存在一条直线与所有的圆均相切

C．存在一条直线与所有的圆均不相交  D．所有的圆均不经过原点

【答案】ABD．

【解析】根据题意可得：圆的圆心，半径为，对于A，当，即时，圆，圆与轴相切；对于B，直线与所有的圆相交；对于D,可以将点带入圆的方程，化简得：，不存在整数，使等式成立，所以，所有的圆均不经过原点；对于C，当取无穷大的正数时，半径也无穷大，因此所有直线与圆均相交；综上所述，ABD是正确的命题，C是错误的命题．

11、已知直线与圆：相交于，两点，若为正三角形，则实数的值为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】 由题意得，圆的圆心坐标为，半径.

因为为正三角形，则圆心到直线的距离为，

 即，解得或，故选BD.

12、已知抛物线的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点、两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】如下图所示：

分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.

抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为，

轴，，由抛物线的定义可知，，则为等边三角形，

，则，，得，

A选项正确；

，又，为的中点，则，B选项正确；

，，（抛物线定义），C选项正确；

，，D选项错误.

故选：ABC.

三．填空题：本大题共4小题，共计20分．

13．两条平行直线与之间的距离为________．

【答案】 ．

【解析】：由，代入整理可得：．

由平行线距离公式可得：．

14．已知直线与圆相交于，两点，且线段的中点坐标为，则直线的方程为________.

【答案】.

【解析】因为圆的圆心坐标为，又点坐标为，

所以直线的斜率为；又因为是圆的一条弦，为的中点，

所以，故，即直线的斜率为，

因此，直线的方程为，即.故答案为

15．如图，，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为2，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则_______．

【答案】

【解析】

连结，可得是边长为2的等边三角形，所以，

可得直线的斜率，直线的斜率为，

因此，直线的方程为，直线的方程为，

设，

由解得，

因为圆与直线相切于点，所以，因此，

故直线的斜率，因此直线的方程为，代入椭圆方程，消去得，解得或，

因为直线交椭圆于与点，设，可得，

由此可得.

故答案为

16．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且，点是内一点，且满足（表示三角的面积），的角平分线与直线相交于点，且，则双曲线的离心率为           .

【答案】 2．

【解析】

由知：点是的重心，不妨设，

则，又，所以//,又是的角

平分线与直线交点，故是的内心，因此的内切圆半径为，从而有：

，又因为，由双曲线的定义知，所以有：

，故答案为2.

四．解答题：本大题共6小题，共计70分．

17．已知动点到点的距离是点到坐标原点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线．

 （Ⅰ）求曲线的方程；

 （Ⅱ）若直线与曲线相交于，两点，求的值．

【答案】 （Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）设．由题，知，∴．

∴．∴曲线的方程为．

（Ⅱ）由题，曲线的圆心到直线的距离为，

∴．

18．已知椭圆的左,右焦点分别为 ，，，经过点的直线（不与轴重合）与椭圆相交于 ，两点，△的周长为8.

（1）求椭圆的方程；

（2）经过椭圆上的一点作斜率为，（，）的两条直线分别与椭圆相交于异于点的，两点.若，关于坐标原点对称，求的值

【答案】 （1） （2）.

【解析】(I)∵，∴.∵△的周长为8，∴，.

∵，∴∴椭圆的方程为.

（2）设，.∴，，.

∴，两式相减，得

∵，，∴

19.已知椭圆的离心率为，是椭圆上的一点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线与椭圆交于不同两点，点关于轴的对称点为，问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

【答案】 （1） （2）直线BD过定点

【解析】

（1）∵，∴，则有

将代入椭圆,∴，∴椭圆的方程为：.

（2）由题意，显然直线的斜率存在，设：，

又直线与椭圆交于不同两点，

∴，且有∴，

设 ∴，

∵直线

∴时

∴直线BD过定点

20．在平面直角坐标系中，已知，，为三个不同的定点.以原点为圆心的圆与线段，，都相切.

（1）求圆的方程及，的值；

（2）若直线：（）与圆相交于两点，且，求的值；

（3）在直线上是否存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有（为常数）？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）圆的方程为，，；（2）；（3），.

【解析】（1）由于圆与线段相切，所以半径.

即圆的方程为 ，又由题意与线段相切，

所以线段方程为.即   故直线的方程为.

由直线和圆相切可得：，

解得或.由于，为不同的点，所以.

（2）设，，则.由可得，

，解得.所以，.

故.

所以.所以.故.

（3）设，，

则，.若在直线上存在异于的定点，使得

对圆上任意一点，都有（为常数）等价于对圆上任意点恒成立.即

整理得，

因为点在直线上，所以.由于在圆上，所以.

故对任意恒成立.

所以显然，所以，故，

因为，解得或

当时，，此时，重合，舍去.当时，，

综上，存在满足条件的定点，此时.

21.已知动圆与直线相切，且与圆外切，记动圆的圆心轨迹为曲线.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，且（为坐标原点），证明直线经过定点，并求出点坐标.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由题意得：动圆的圆心到点的距离与动圆的圆心到直线的距离相等.

所以，动圆的圆心的轨迹是以为焦点的抛物线.所以曲线的方程.

（Ⅱ因为直线与曲线相交于两点，所以直线的斜率不为0 .

设，，直线的方程为.

由消去，得，

所以，Δ，化简得：，

根据韦达定理，可以推导出：，

因为，所以即，解之得：，

所以直线的方程为，所以直线过定点

22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为中心，以坐标轴为对称轴的椭圆经过点,.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）经过点作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆相交于异于点的两点，当面积取得最大值时，求直线的方程.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或

【解析】

（Ⅰ）根据题意，设椭圆的方程为.

又和在椭圆上，且代入椭圆方程中有:，解得.

所以椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）因为点为椭圆相交于异于的两点，且直线的倾斜角互补，

所以直线的斜率存在.设它们的斜率分别为.

设，且直线的方程为.

所以.

所以.

，消去，得.

由，得.所以.

所以.则有.

所以.因为点为椭圆上异于的两点，

所以当时，直线的方程为，不合题意，应舍去.所以直线的斜率为.

因为，点M到直线的距离为，

所以的面积为.

当且仅当时，的面积取得最大值，此时.

因为满足.

所以直线的方程为或.