第四讲 函数的概念-2022年新高二年级数学暑假精品课程（人教A版2019）练习题

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第四讲 函数的概念【基础知识】1.函数的概念设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2.函数的定义域、值域(1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数.(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. 【考点剖析】考点一　求函数的定义域【典例1-1】（2021·新沂市第一中学高三其他模拟）函数的定义域是（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意得解得或.所以原函数的定义域为.故选：C.【典例1-2】（2020·福建福州市·高三月考）函数的定义域为（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】函数有意义，则必有，解得且．函数的定义域为．故选：C【跟踪训练1】（2021·广东高三其他模拟）设函数的定义域为A，函数的定义域为B，则A∩B等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】函数的定义域为，即，函数的定义域为，则，所以，故选：C.【跟踪训练2】（2021·全国高三其他模拟）已知函数的定义域为，若有定义，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：由题意可得，解得．因为有定义，所以当时，由，得；当时，由，得；当时，，恒成立．综上，实数的取值范围是．故选：D．【跟踪训练3】（2021·浙江宁波市·镇海中学高三其他模拟）函数的图象大致为(    )A． B．C． D．【答案】A【详解】∵令g(x)=，x>0时，x2是递增的，cosx在(0,)上递减，则有g(x)在(0,)上单调递增，而，所以存在使得，中，排除C、D，∵时，排除B，所以选A. 考点二　求函数的解析式【典例2-1】（2021·贵州贵阳市·高三期末（文））函数可以表示为奇函数与偶函数的和，则等于（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【详解】是奇函数，，是偶函数，，由题可得①，则，即②，由①+②可得，，.故选：D.【典例2-2】（2020·河南高三月考（理））已知函数的定义域为，且，当时，，若，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，则，，因为，所以，，即当时，，取，则，，当时，，此时无解；当时，，此时无解；当时，，若，则，解得，故即，解得，实数的取值范围为，故选：B.【跟踪训练1】（2020·安徽马鞍山市·马鞍山二中高三期中（理））已知，则的值为（　　）A．15 B．7 C．31 D．17【答案】C【详解】令，则，所以即，所以.故选：C．【跟踪训练2】（2020·重庆巴蜀中学高三其他模拟）为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路（如图中虚线处），要求该道路与两条直线道路平滑连接（注：两直线道路：，分别与该曲线相切于，，已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分，则该解析式为（    ）．A．         B．C．           D．【答案】C【详解】由题意得三次函数过两点，，所以可设又，所以【跟踪训练3】（2020·全国高三专题练习）已知，则的解析式为（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】设，则，，所以，即. 考点三　分段函数【典例3-1】（2021·济南市·山东师范大学附中高三其他模拟）若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因函数在R上单调递增，则有在上递增，在上也递增，根据增函数图象特征知，点不能在点上方，于是得 ，解得，所以实数a的取值范围是.故选：A【典例3-2】（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（文））已知函数，则（    ）A．1 B．2 C． D．3【答案】D【详解】由题意．故选：D．【跟踪训练1】（2021·安徽高三其他模拟（文））已知函数，方程有两解，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以且，当时，在时单调递增，所以；又在时单调递增，且，因为方程有两解，所以，所以；当时，在时单调递减，；又在时单调递增，，因为方程要有两解，所以，此时不成立.综上可得，故选：B.【跟踪训练2】（2021·河南高三其他模拟（文））已知函数，且，则（    ）A．﹣16 B．16 C．26 D．27【答案】C【详解】解：若f(m)=3m﹣1﹣1=﹣2，则3m﹣1=﹣1，方程无解，故f(m)=﹣1﹣log3(m+5)=﹣2，可得log3(m+5)=1，解得m=﹣2，所以f(6+m)=f（4）=34﹣1﹣1=26.故选：C.【跟踪训练3】（2021·北京市十一学校高三其他模拟）已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则满足条件的整数的个数为（    ）A．2 B．3 C．4 D．无数【答案】C【详解】作出f（x）的函数图象如图所示：表示点和点所在直线的斜率，即曲线上只有一个点且是整数和点所在直线的斜率大于零.如图所示，动点在直线上运动.因为,当时，只有点这个点满足，当时，只有点这个点满足.所以.所以满足条件的整数有4个. 【真题演练】1．（2021·全国高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.2．（2021·全国高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.3．（2021·浙江高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C，，则，当时，，与图象不符，排除C.故选：D. 4．（2021·全国高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．①；②当时，；③是奇函数．【答案】（答案不唯一，均满足）【详解】取，则，满足①，，时有，满足②，的定义域为，又，故是奇函数，满足③.故答案为：（答案不唯一，均满足）5．（2021·浙江高考真题）已知，函数若，则___________.【答案】2【详解】，故，故答案为：2.   【过关检测】1．已知函数，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意，，所以.故选：A.2．已知，如果对应关系f将n对应到的小数点后第n位上的数字，则（    ）A．5 B．6 C．3 D．2【答案】C【详解】由题意，，所以．故选：C．3．函数的定义域是（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】根据题意可得，所以.故选：C.4．下列各组函数是同一函数的是（    ）A．与 B．与C．与 D．与【答案】C【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以两函数不是同一函数；对于B中，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以两函数不是同一函数；对于C中，函数与的定义域都是，且对应法则相同，所以两函数是同一函数；对于D中，函数与，两函数的对应法则不同，所以两函数不是同一函数.故选：C.5．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】，令，，则.故选：C.6．已知，则（    ）A． B． C．9 D．【答案】C【详解】由题意，函数，可得，所以.故选：C.7．函数的图象是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意的定义域为，由此排除CD选项.当时，，由此排除A选项.故选：B8．已知，则的值为（    ）A． B． C．-1 D．1【答案】D【详解】因为，，所以.9．若，，则的值为（    ）A．1 B．3 C． D．6【答案】B【详解】由题设，令，解得：，，，故选：B.10．已知函数，若，，则的取值范围是 （    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据图象有两个交点，，，，，时，，令，，故，所以；时，，令，，故，根据题意，所以所以，．11．设函数为偶函数，且当时，当时，则（    ）A． B． C． D．2【答案】B【详解】为偶函数，知：，而∴12．已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，曲线上存在点，使得，所以．记，若，则，所以，不满足，同理也不满足，所以，所以，所以，所以记，则，记，因为，所以在上单调递减，因为，所以时，，因为，所以，所以的最大值为13．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则函数的值域为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，，所以是上的奇函数.当时，，所以当时，，从而的值域为.故选：B14．已知函数的定义域为，满足，且当时，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，得，于是.又当时，，所以，所以.故选：D.15．定义函数，若函数，，且对任意的，都有成立，函数的图象与自左向右有四个交点、、、，则的范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由可得关于对称，因为，则关于对称，所以关于对称，且，得，．则图象如下图所示，则，，，所以，令，则，令，则，由得；由得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以．