专题12 抽象函数及其应用-2022新高考高中数学技巧之函数专题汇编

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抽象函数及其应用一．选择题（共3小题） 1．（2017•新课标Ⅰ）函数在单调递减，且为奇函数．若（1），则满足的的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【解析】解：函数为奇函数．若（1），则，又函数在单调递减，，（1），，解得：，，故选：．2．（2016•新课标Ⅱ）已知函数满足，若函数与图象的交点为，，，，，，，则　　A．0 B． C． D．【解析】解：函数满足，即为，可得关于点对称，函数，即的图象关于点对称，即有，为交点，即有，也为交点，，为交点，即有，也为交点，则有．故选：．3．（2019•金牛区校级模拟）已知是定义域为的奇函数，满足．若（1），则（1）（2）（3）　　A．50 B．2 C．0 D．【解析】解：是定义域为的奇函数，可得，即有，即，进而得到，为周期为4的函数，若（1），可得（3）（1），（2），（4），则（1）（2）（3）（4），可得（1）（2）（3）．故选：．二．填空题（共13小题）4．（2015•福建）若函数满足，且在，上单调递增，则实数的最小值等于　1　．【解析】解：因为，所以，的图象关于直线轴对称，而，所以的图象关于直线轴对称，因此，，，且该函数在，上单调递减，在，上单调递增，又因为函数在，上单调递增，所以，，即实数的最小值为1．故答案为：1．5．（2019•南充模拟）定义域为的偶函数满足对，有（1），且当，时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是　　．【解析】解：（1），且是定义域为的偶函数，令可得（1），又（1），（1） 则有，是最小正周期为2的偶函数．当，时，，函数的图象为开口向下、顶点为的抛物线．函数在上至少有三个零点，令，则的图象和的图象至少有3个交点．，，可得，要使函数在上至少有三个零点，则有（2）（2），可得（2），即，，解得，又，，故答案为：．6．（2020•南通模拟）已知函数是定义在上的偶函数，且对于任意的都有（2），（1），则（3）的值为　4　．【解析】解：由（2），令，得（2）；又为偶函数，（2），（2）；，的周期为4；又（1），（3）（2）（1）（2）．故答案为：4．7．（2019•全国三模）已知定义在上的函数满足：①，②在，上为增函数；若时，成立，则实数的取值范围为　　．【解析】解：，的函数图象关于直线对称，在，上为增函数，在上为减函数，当时，成立，在，上恒成立，即在，上恒成立，在，上恒成立．设，，，，的最大值为（1），的最小值为（1）．．故答案为：．8．（2019秋•龙凤区校级期末）已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是　，　【解析】解：根据题意，函数，设，则有，且，则为奇函数，且在上为增函数，，即，则有，则有，解可得，即不等式的解集为，；故答案为：，．9．（2020•河南模拟）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当，时，，则　　【解析】解：根据题意，为奇函数，则函数关于点对称，则有，又由函数为偶函数，则，则有，变形可得，则函数是周期为4的周期函数，；故答案为：10．（2019春•南岗区校级月考）已知奇函数定义域为，且，则（1）（2）（3）　0　．【解析】解：根据题意，是定义域为的奇函数，则，又由满足，变形可得：，即函数为周期为4的周期函数；又由是定义域为的奇函数，则，则（2），（3）（1），（4），则（1）（2）（3）（4），则有（1）（2）（3）（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）；故答案为：0．11．（2019秋•西湖区校级期中）定义在上的函数满足，，，且当时，，则　　．【解析】解：令得（1），得（1），令，得，得，则，，，，①同时，令，得（1），令，得，，，，②由①②得，时，，当时，，，，故答案为：12．（2019•河北区一模）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，给出以下四个命题：①函数是周期函数；②函数的图象关于点，对称；③函数为上的偶函数；④函数为上的单调函数；其中真命题的序号为　①②③　（写出所有真命题的序号）【解析】解：对于①，，，，是周期为3的函数，故①正确；对于②，函数为奇函数，的图象关于点对称，的函数图象是由的图象向右平移个单位得到的，的函数图象关于点，对称，故②正确；对于③，，，即，又的周期为3，，，又是奇函数，，，令，则，是偶函数，即是偶函数，故③正确；对于④，由③知是偶函数，在和上的单调性相反，在上不单调，故④错误；故答案为①②③．13．（2019春•滁州期末）若函数是偶函数，且在，上是增函数，若（2），则满足的实数的取值范围是　　．【解析】解：根据题意，满足（2），则（2），又由函数是偶函数，且在，上是增函数，则有，变形可得：，解可得：或，即的取值范围为；故答案为：．14．（2020•东城区校级模拟）设函数的定义域为，满足，且当，时，．若对任意，，都有，则的取值范围是　，　．【解析】解：因为，，，时，，，，时，，，，；当，时，由解得或，若对任意，，都有，则．故答案为：，．15．（2019•北京模拟）已知函数对任意的，有．设函数，且在区间，上单调递增．若（a），则实数的取值范围为　，　．【解析】解：由得：，，在上是奇函数，又在区间，上单调递增，在上单调递增，（a），（a），，即．故答案为：，．16．（2019秋•琼山区校级期中）已知为定义在上的偶函数，，且当，时，单调递增，则不等式的解集为　，　．【解析】解：根据题意，为定义在上的偶函数，则，则，即为偶函数，又由当，时，单调递增，则在区间，上递减，，解可得：，即不等式的解集为，；故答案为：，．三．解答题（共7小题）17．（2019秋•洛南县期末）若是定义在上的增函数，且对一切，，满足．（1）求（1）的值；（2）若（6），解不等式．【解析】解：（1）在中，定义在，令，则有（1）（1）（1），（1）．（2）（6），（6）（6），（6）（6），即（6）．是上的增函数，解得．即不等式的解集为18．（2019秋•凯里市校级期末）已知：函数对一切实数，都有成立，且（1）．（1）求的值．（2）求的解析式．（3）已知，设：当时，不等式恒成立；：当，时，是单调函数．如果满足成立的的集合记为，满足成立的的集合记为，求为全集）．【解析】解：（1）令，，则由已知（1）（2）令，则又（3）不等式即也就是．由于当时，，又恒成立，故， 对称轴，又在，上是单调函数，故有，，或，．19．（2019春•抚顺期末）函数对任意的、，都有，并且时，恒有．（1）求证：在上是增函数；（2）若（3），解不等式．【解析】（1）证明：函数对任意的、，都有，设，，当时，，．，在上为增函数．（2）解：，，不妨设，（1）（1）（2）（1），（3）（2）（1）（1），（1），（2），（1），在上为增函数，即．20．（2019春•未央区校级期末）已知是定义在上的增函数，且满足，（2）．（1）求（8）的值；（2）求不等式的解集．【解析】解：（1）由题意得（8）（4）（2）（2）（2）（2）（2）（2）又（2），（8）；（2）不等式化为（8），（8）是上的增函数，，解得．不等式的解集为：．21．（2019秋•黑龙江期末）设函数是增函数，对于任意，都有．（1）求；（2）证明奇函数；（3）解不等式．【解析】解：（1）由题设，令，恒等式可变为，解得，（2）令，则由得，即得，故是奇函数（3）由，，即，又由已知．得：，由函数是增函数，不等式转化为．即，不等式的解集或．22．（2019春•秦州区校级期末）设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数，，都有；②当时，；③（3）．（1）求的值；（2）证明在上是减函数；（3）如果不等式成立，求的取值范围．【解析】（1）解：令，易得（1），而（9）（3）（3），且，得；（2）证明：，，在上为减函数．（3）解：由条件（1）及（1）的结果得：，其中，由（2）得：，解得的范围是．23．（2019春•德州校级期中）已知函数的定义域是，当时，，且．（1）求（1）；（2）证明：在定义域上是增函数；（3）如果，求满足不等式的的取值范围．【解析】（1）解：，（1）（1）（1）（1），（1）．（2）证明：设，且，则，，，在上是增函数．（3）解：令，得，（1），（1）．令，得，（1）（3），，（3）．令得，（9）（3）（3），（9），，解得．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2020/12/14 17:10:36；用户：陈宏天；邮箱：hngsgz053@xyh.com；学号：25355901