专题16 函数奇偶性的性质与判断-2022新高考高中数学技巧之函数专题汇编

函数奇偶性的性质与判断

一．选择题（共5小题）

1．（2018•新课标Ⅱ）已知是定义域为的奇函数，满足，若（1），则（1）（2）（3）　　

A． B．0 C．2 D．50

【解析】解：是奇函数，且，

，，

则，则，

即函数是周期为4的周期函数，

（1），

（2），（3）（1），

（4），

则（1）（2）（3）（4），

则（1）（2）（3）（1）（2）（3）（4）

（1）（2），

故选：．

2．（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是　　

A． B． C． D．

【解析】解：对于，是偶函数，所以不正确；

对于，函数是奇函数，所以不正确；

对于，是偶函数，所以不正确；

对于，不满足也不满足，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以正确．

故选：．

3．（2014•湖南）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（1）（1）　　

A． B． C．1 D．3

【解析】解：由，将所有替换成，得

，

根据，，得

，再令，计算得，

（1）（1）．

故选：．

4．（2019•新课标Ⅲ）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解析】解：是定义域为的偶函数，，

，，

在上单调递减，

，

故选：．

5．（2014•新课标Ⅰ）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是　　

A．是偶函数 B．是奇函数 

C．是奇函数 D．是奇函数

【解析】解：是奇函数，是偶函数，

，，

，故函数是奇函数，故错误，

为偶函数，故错误，

是奇函数，故正确．

为偶函数，故错误，

故选：．

二．多选题（共1小题）

6．（2020•全国模拟）函数的定义域为，且与都为奇函数，则　　

A．为奇函数 B．为周期函数 

C．为奇函数 D．为偶函数

【解析】解：与都为奇函数，

①，②，

由①可得，即③，

由②③得，所以的周期为2，

，则为奇函数，

，则为奇函数，

故选：．

三．填空题（共8小题）

7．（2006•全国卷Ⅰ）已知函数，若为奇函数，则　　．

【解析】解：函数．若为奇函数，

则，

即，．

故答案为

8．（2015•新课标Ⅰ）若函数为偶函数，则　1　．

【解析】解：为偶函数，

，

，

，

，

，

，

．

故答案为：1．

9．（2017•山东）已知是定义在上的偶函数，且．若当，时，，则　6　．

【解析】解：由．则，

为周期为6的周期函数，

（1），

由是定义在上的偶函数，则（1），

当，时，，

，

，

故答案为：6．

10．（2019•新课标Ⅱ）已知是奇函数，且当时，．若，则　　．

【解析】解：是奇函数，，

又当时，，

，

，．

故答案为：

11．（2019•北京）设函数为常数）．若为奇函数，则　　；若是上的增函数，则的取值范围是　　．

【解析】解：根据题意，函数，

若为奇函数，则，即，变形可得，

函数，导数

若是上的增函数，则的导数在上恒成立，

变形可得：恒成立，分析可得，即的取值范围为，；

故答案为：，，．

12．（2012•上海）已知是奇函数，且（1），若，则　　．

【解析】解：由题意，是奇函数，且（1），

所以（1）解得

所以

故答案为：．

13．（2011•湖南）已知为奇函数，，，则（2）　6　．

【解析】解：

为奇函数

（2）

（2）

所以（2）

故答案为6

14．（2012•重庆）若为偶函数，则实数　4　．

【解析】解：为偶函数

对于任意的都成立

即

故答案为：4．

四．解答题（共9小题）

15．（2007•上海）已知函数．

（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；

（2）若函数在，上为增函数，求实数的取值范围．

【解析】解：（1）当时，，

对任意，，，有，

为偶函数．

当时，，

取，得（1），

（1），

（1），（1）．

函数既不是奇函数也不是偶函数．

（2）设，

，

要使函数在，上为增函数，

必须恒成立．

，，

即恒成立．

又，，

的取值范围是，．

16．（2019•范县校级一模）已知定义在的函数对任意实数，恒有，且当时，，又（1），

（1）求证，为奇函数；

（2）求证：在上是减函数；

（3）求在，上的最大值与最小值．

【解析】解：（1）证明：令，则，

当，时，则（1）（1）

即

为奇函数

（2）设，，且，则

，

，由题意得，即

在是减函数；

（3）（1）

（2）（3）

在，上是减函数，

（3）

（6）

17．（2019秋•宝安区期末）设函数且是奇函数．

（1）求常数的值；

（2）若，试判断函数的单调性，并加以证明；

（3）若已知（1），且函数在区间，上的最小值为，求实数的值．

【解析】解：（1）且是奇函数．

，即，解得．

（2）且，

当时，在上递增．

理由如下：设，则

，

由于，则，即，

，即，

则当时，在上递增．

（3）（1），，

即，

解得或（舍去）．

，

令，

，

（1），

，

当时，，解得，不成立舍去．

当时，，

解得，满足条件，

．

18．（2019秋•海淀区校级期末）已知，，函数是奇函数．

（1）求，的值；

（2）当，时，的最小值是1，求的解析式．

【解析】解：（1）（法一），

又为奇函数，

，

对恒成立，

，

解得；

（法二），

为奇函数，

，，

，．

（2），其图象对称轴为，

当，即时，

，；

当，即时，

，

解得或（舍；

当，即时，

（2），（舍，

或．

19．（2019•鹿城区校级模拟）已知函数，且．

（1）求的定义域；

（2）判断的奇偶性并予以证明；

（3）当时，求使的的取值范围．

【解析】解：（1），则解得．

故所求定义域为．

（2）为奇函数

由（1）知的定义域为，

且，

故为奇函数．

（3）因为当时，在定义域内是增函数，

所以．

解得．

所以使的的取值范围是．

20．（2019秋•三门峡期末）已知函数．

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）用函数单调性的定义证明函数在上是减函数．

【解析】解：（1）函数的定义域，

则，则函数是偶函数，

（2）当时，设，

则，

，

，，

则，

则，

即函数在上是减函数．

21．（2019•松江区一模）已知函数，，．

（1）若为偶函数，求的值；

（2）若在区间，上是增函数，试求、应满足的条件．

【解析】解：（1）因为为偶函数，对任意的，都有，

即，所以

得．

（2）记，

①当时，在区间，上是增函数，即在区间，上是增函数，

，

②当时，在区间，上是增函数，即在区间，上是减函数

但在区间，上是增函数，故不可能

在区间，上是增函数时，、应满足的条件为且

22．（2019•西湖区校级模拟）已知函数是偶函数．

（1）求的值；

（2）若函数的图象与直线没有交点，求的取值范围；

（3）若函数，，，是否存在实数使得最小值为0，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【解析】解：（1）函数是偶函数，

，

即恒成立．

，

．

（2）若函数的图象与直线没有交点，

则方程即方程无解．

令，则函数的图象与直线无交点．

在上是单调减函数．，

．

．

（3）由题意函数，，，

令，，则，，，

函数的图象开口向上，对称轴为直线，

故当，即时，当时，函数取最小值，解得：，

当，即时，当时，函数取最小值，解得：（舍去），

当，即时，当时，函数取最小值，解得：（舍去），

综上所述，存在满足条件．

23．（2019•西湖区校级模拟）已知函数的图象过点．

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）若，求实数的取值范围．

【解析】解：（1）因为的图象过点，

所以，解得，

所以，

的定义域为．

因为，

所以是奇函数．

（2）因为，

所以，

即，

可得，

即，

解得．

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日期：2020/12/14 16:40:23；用户：程长月；邮箱：hngsgz031@xyh.com；学号：25355879