专题28 对数函数图象与性质的综合应用-2022新高考高中数学技巧之函数专题汇编

对数函数图象与性质的综合应用

一．选择题（共15小题）

1．（2014•山东）已知函数，为常数，其中，的图象如图所示，则下列结论成立的是　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：函数单调递减，，

当时，即，即，

当时，即，即，

故选：．

2．（2012•新课标）已知函数，则的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：设

则

在上为增函数，在上为减函数

得：或均有排除，，

又中，，能排除．

故选：．

3．（2010•大纲版Ⅰ）已知函数，若，且（a）（b），则的取值范围是　　

A． B． C． D．，

【解析】解：因为（a）（b），所以，所以（舍去），或，所以

又，所以，令，由“对勾”函数的性质知函数（a）在上为减函数，

所以（a）（1），即的取值范围是．

故选：．

4．（2019•庐阳区校级模拟）若直角坐标平面内的两点，满足：

①，都在函数的图象上；

②，关于原点对称，则称点对是函数的一对“友好点对”．（注：点对与看作同一对“友好点对” ．

已知函数，则该函数的“友好点对”有　　

A．0对 B．1对 C．2对 D．3对

【解析】解：根据题意：当时，，则，

可知，若函数为奇函数，可有，

则函数的图象关于原点对称的函数是

由题意知，作出函数的图象，

看它与函数交点个数即可得到友好点对的个数．

如图，

观察图象可得：它们的交点个数是：2．

即的“友好点对”有：2个．

故选：．

5．（2020•榆林一模）已知函数满足，且，时，，则当，时，与的图象的交点个数为　　

A．13 B．12 C．11 D．10

【解析】解：由题意，函数满足：

定义域为，且，当，时，；

在同一坐标系中画出满足条件的函数与函数的图象，如图：

由图象知，两个函数的图象在区间，内共有11个交点；

故选：．

6．（2020春•大武口区校级期末）已知函数定义域为，则实数的取值范围是　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：的定义域为，即恒成立，

当时，不恒成立

当时，

故选：．

7．（2019•平度市三模）已知函数，，（a）（b），则的最小值等于　　

A． B． C． D．

【解析】解：，，（a）（b），

则，则，即

故的最小值等于

故选：．

8．（2005•安徽）设，函数，则使的的取值范围是　　

A． B． C． D．，

【解析】解：设，函数，

若

则，

，，

故选：．

9．（2019秋•大石桥市期末）已知函数，若实数是方程的解，且，则的值　　

A．等于0 B．恒为负值 C．恒为正值 D．不能确定

【解析】解：由函数，在区间上单调递减，

，，

又，．

故选：．

10．（2020•绿园区校级模拟）设函数，的零点分别是，，则　　

A． B． C． D．

【解析】解：由题意可得是函数的图象和的图象的交点的横坐标，

是的图象和函数的图象的交点的横坐标，且，都是正实数，如图所示：

故有，故，，

，，

故选：．

11．（2019秋•桓台县校级期中）函数在上递减，那么在上　　

A．递增且无最大值 B．递减且无最小值 

C．递增且有最大值 D．递减且有最小值

【解析】解：设，

是的递减区间，且在上递减，

；

又是的递增区间，

在上递增且无最大值．

故选：．

12．（2019•桐城市一模）对于在区间，上有意义的两个函数和，如果对于任意，均有成立，则称函数和在区间，上是接近的．若与在区，上是接近的，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．

【解析】解：由已知可得，当，时，，

即，，，

从而有，，，，

即在，上恒成立．

而在，上递减，即有．

则有，且，

解得．

故选：．

13．（2019秋•兴宁区校级期末）如图，矩形的三个顶点，，分别在函数，，的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点的纵坐标为2，则的的坐标为　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：由题意得，，，分别在函数，，的图象上，

把代入得，，即，所以，，

由四边形是矩形得，点的纵坐标也是2，

把代入得，，即，所以，

则点的横坐标是4，把代入得，，

所以点的坐标是，，

故选：．

14．（2019秋•桥西区校级月考）设函数，，则与的大小关系是　　

A． B． C． D．

【解析】解：由于和不相等，故与不相等．

不妨令，可得，

而此时，，故有，

故选：．

15．（2019•湖南模拟）已知函数满足（a），则　　

A． B． C． D．1

【解析】解：若，则（a），解得，则，（2）

若，（a），解得（舍去）

综上

故选：．

二．填空题（共4小题）

16．（2019秋•和平区校级期中）若函数在区间，上为减函数，则的取值范围是　，　．

【解析】解：令，

①当时，在，上为减函数，

；

②当时，在，上为减函数，此时不成立．

综上所述：．

故答案为：，．

17．（2019•赣榆县校级模拟）设函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解、、、、则等于　　．

【解析】解：当时，，则由得．

，．

当时，，

由，

得，

解得，或，．

当时，，由得，解得，或，．

．

故答案是．

18．（2019•泰州二模）已知函数，，，在区间，上随机取一点，使得的概率为　　．

【解析】解：由函数的图象可知，

当，时，；

当，时，．

的概率为．

故答案为：．

19．（2019秋•岳阳楼区校级期中）已知函数，若，且（a）（b），则的取值范围为　　．

【解析】解：（a）（b），

，

不妨设，则，

，

，

又，，且

，

故答案为：

三．解答题（共9小题）

20．（2019•湘西州校级一模）已知函数

（1）求函数的定义域；

（2）求函数的零点；

（3）若函数的最小值为，求的值．

【解析】解：（1）要使函数有意义：则有，解之得：，

则函数的定义域为：

（2）函数可化为

由，得，

即，

，函数的零点是

（3）函数可化为：

，，

，，

即，由，得，

21．（2019秋•静宁县校级月考）已知函数．

（1）若的定义域为，求的取值范围；

（2）若，求单调区间；

（3）是否存在实数，使在上为增函数？若存在，求出的范围？若不存在，说明理由．

【解析】解：（1）函数的定义域为，

恒成立，△，

即的取值范围

（2），

．，或

设，对称轴，

在上为减函数，在上为增函数

根据符合函数单调性规律可判断：

在上为增函数，在上为减函数

（3）函数．

设，

可知在上为减函数，在上为增函数

在上为增函数

且，且，不可能成立．

不存在实数，使在上为增函数．

22．（2019•西湖区校级模拟）已知函数．

（1）若，求函数的定义域．

（2）若函数的值域为，求实数的取值范围．

（3）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．

【解析】解：（1）若，则

要使函数有意义，需，解得

若，函数的定义域为．

（2）若函数的值域为，则能取遍一切正实数，

△，即，，

若函数的值域为，实数的取值范围为，，

（3）若函数在区间上是增函数，

则在区间上是减函数且在区间上恒成立，

，且

即且

23．（2019•上海模拟）已知函数．

（1）当时，若，求的取值范围；

（2）若定义在上奇函数满足，且当时，，求在，上的反函数；

（3）对于（2）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

【解析】解：（1）原不等式可化为，

，且，且，

得．

（2）是奇函数，，得，

当，时，，，

，

此时，，，

．

当，时，，，，，

，

此时，，，，

．．

．

（3）关于的不等式在上恒成立，

记，

关于的不等式在上恒成立，

在上恒成立，

当时，，，，

，，，解得，．

当时，，，，

由在上恒成立，

得，，，

解得，．

综上所述，实数的取值范围是，．

法二：问题转化为：在恒成立，

故在恒成立，

故，

即实数的取值范围是，．

24．（2019•静安区一模）已知函数是奇函数，（其中

（1）求实数的值；

（2）讨论函数的增减性；

（3）当时，的值域是，求与的值．

【解析】解：（1）是奇函数，

，

，

，

即对一切都成立，

，，

由于，；

，定义域为，，；

（2）当时，，任取，，，

则；

，，，

，

，即，

在上单调递减；

又是奇函数，

在也上单调递减．

（3），定义域，，，

①当时，则，即，

在上为减函数，值域为，

，

即，

，或（不合题意，舍去），且；

②当时，则，，，

，

即，

且在上的值域是；

，

即，

解得（不合题意，舍去），或；

此时（舍去）；

综上，，．

25．（2020春•莲湖区校级期中）已知是定义在上的偶函数，且时，

（1）求（3）；

（2）求函数的解析式；

（3）若，求实数的取值范围．

【解析】解：是定义在上的偶函数，时，，

（3）；

令，则，

时，，

则．

（Ⅲ）在，上为增函数，

在上为减函数

（1）

，

或

26．（2019秋•南关区校级期中）已知函数．

（1）若定义域为，求的取值范围；

（2）若（1），求的单调区间；

（3）是否存在实数，使的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【解析】解：（1）因为的定义域为，所以对任意恒成立，

显然时不合题意，从而必有，解得，

即的取值范围是，．

（2）因为（1），所以，因此，，

这时．

由得，即函数定义域为．

令．

则在上单调递增，在上单调递减，

又在上单调递增，

所以的单调递增区间是，单调递减区间是．

（3）假设存在实数使的最小值为0，则应有最小值1，

因此应有，解得．

故存在实数，使的最小值为0．

27．（2019春•抚顺期末）设，且（1）．

（1）求的值及的定义域；

（2）求在区间，上的最大值和最小值．

【解析】解：（1）由题意知，，

解得；

故的定义域为；

再由（1）得，

；

故；

（2），

，，

，，

故在区间，上的最大值为（1）；

在区间，上的最小值为．

28．（2019秋•红塔区校级期末）已知是定义在上的奇函数，且时，．

（1）求，（1）；

（2）求函数的解析式；

（3）若，求实数的取值范围．

【解析】解：分别令，即可得出，（1）；

令，则，

时，

（Ⅲ）在，上为增函数，

在上为增函数

（1）

，

．

的取值范围是．

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日期：2020/12/14 17:12:22；用户：陈宏天；邮箱：hngsgz053@xyh.com；学号：25355901