专题30 幂函数的概念、解析式、定义域、值域-2022新高考高中数学技巧之函数专题汇编

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

一．选择题（共12小题）

1．（2019•贵州校级模拟）幂函数经过点，则是　　

A．偶函数，且在上是增函数 

B．偶函数，且在上是减函数 

C．奇函数，且在是减函数 

D．非奇非偶函数，且在上是增函数

【解析】解：设幂函数的解析式为：，

将代入解析式得：

，解得，

，

故选：．

2．（2019•延边州模拟）若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调增区间为　　

A． B． C． D．

【解析】解：由题意得：，解得：，

故，将代入函数的解析式得：

，解得：，

故，

令，解得：，

故在递增，

故选：．

3．（2019•天津校级模拟）当时，幂函数为减函数，则实数的值为　　

A． B． C．或 D．

【解析】解：因为函数既是幂函数又是的减函数，

所以解得：．

故选：．

4．（2019•天津二模）已知点在幂函数的图象上，设，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

【解析】解：函数是幂函数，

解得，

又点在的图象上，

即，解得；

，

是偶函数，且在，上是单调增函数；

，

，

，

且，

．

故选：．

5．（2005•湖北）在，，这三个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是　　

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【解析】解：对于有

，

恒成立

对于有，

，

，

故选：．

6．（2019秋•新罗区校级期中）若函数是幂函数，且图象与坐标轴无交点，则　　

A．是偶函数 B．是奇函数 

C．是单调递减函数 D．在定义域内有最小值

【解析】解：幂函数的图象与坐标轴无交点，

可得，且，

解得，

则函数．

是奇函数，在定义域上不是减函数，且无最值．

故选：．

7．（2019秋•静宁县校级期末）已知函数是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数　　

A． B．2 C．3 D．2或

【解析】解：函数是幂函数，

，解得：或，

时，，有交点不合题意，

时，，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，

故，

故选：．

8．（2019春•沙市区校级月考）若幂函数的图象过点，则　　

A． B． C． D．

【解析】解：幂函数的图象过点，

（4），解得，

，

．

故选：．

9．（2019秋•万州区期末）已知幂函数在单调递增，则实数的值为　　

A． B．3 C．或3 D．1或

【解析】解：幂函数在单调递增，

，

解得或；

又，

时满足条件，

则实数的值为3．

故选：．

10．（2019秋•辽源期末）已知是幂函数，且在第一象限是单调递减的，则的值为　　

A． B．2 C．或2 D．3

【解析】解：由题意得：，

解得：，

故选：．

11．（2019春•淮南期末）幂函数在上单调递增，则的值为　　

A．2 B．3 C．4 D．2或4

【解析】解：由题意得：

，

解得，

．

故选：．

12．（2019秋•南阳期末）已知幂函数在上单调递增，函数，，时，总存在，使得，则的取值范围是　　

A． B．或 C．或 D．

【解析】解：由是幂函数得：或2，

而在上单调递增，

则，

，时，，，

，时，，，

若，时，总存在，使得，

则，，，

故，解得：，

故选：．

二．多选题（共1小题）

13．（2020春•奎文区校级月考）若幂函数的图象经过点，则幂函数是　　

A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数

【解析】解：设幂函数 为常数），

幂函数的图象经过点，

，

，

，

函数在单调递增，又，

幂函数是奇函数，

故选：．

三．填空题（共12小题）

14．（2018•上海）已知，，，1，2，，若幂函数为奇函数，且在上递减，则　　．

【解析】解：，，，1，2，，

幂函数为奇函数，且在上递减，

是奇数，且，

．

故答案为：．

15．（2019•山东学业考试）已知幂函数的图象过点，则（9）　3　．

【解析】解：由题意令，由于图象过点，

得，

（9）．

故答案为：3．

16．（2020•攀枝花模拟）已知幂函数的图象经过点，则　　．

【解析】解：函数为幂函数，则；

又函数的图象经过点，则，解得；

所以．

故答案为：．

17．（2019•攀枝花一模）若幂函数在上为增函数，则　4　．

【解析】解：由题意得：

，

解得：或，

若在递增，

故，，

，

故答案为：4．

18．（2019秋•内蒙古期末）若幂函数的图象过点，则（9）　　．

【解析】解：设幂函数，

幂函数的图象过点，

，解得．

，

（9），

故答案为：．

19．（2019•碑林区校级一模）已知幂函数的图象不过坐标原点，则的值是　1或2　．

【解析】解：幂函数的图象不过坐标原点，

，即

解得或2，

当时，幂函数满足条件．

当时，幂函数也满足条件．

故答案为：或2

20．（2019秋•大兴区期末）已知幂函数的图象经过点，则　　．

【解析】解：设幂函数的解析式为，

幂函数的图象过点，

，

解得，

．

故答案为：

21．（2019•上海模拟）幂函数的图象经过点，则的值为　4　

【解析】解：根据题意，设幂函数，

幂函数的图象经过点，则有，则，

则，

；

故答案为：4．

22．（2019秋•松山区校级期末）如果幂函数的图象经过点，则（4）　　．

【解析】解：由题意（2），所以，所以，所以（4）

故答案为：

23．（2019春•香坊区校级期末）幂函数在上为增函数，则实数的值为　2　．

【解析】解：由函数是幂函数，则，解得或；

当时，，在上为减函数，不合题意；

当时，，在上为增函数，满足题意．

故答案为：2．

24．（2019•昌平区二模）已知幂函数的图象经过点，则（4）的值为　2　．

【解析】解：设幂函数，

过点，

，

（4），

故答案为：2．

25．（2019春•福清市校级期末）已知幂函数的图象经过点，则　5　．

【解析】解：幂函数的图象经过点，

，且，，

．

故答案为：5．

四．解答题（共8小题）

26．（2019秋•泰山区校级期中）已知幂函数为偶函数．

（1）求的解析式；

（2）若在，上不是单调函数，求实数的取值范围．

【解析】解：（1）由题意，

解得：或3，

若是偶函数，

故；

（2），

的对称轴是，

若在，上不是单调函数，

则，解得：．

27．（2019春•凯里市校级期中）已知一次函数的图象过点和，为幂函数．

（Ⅰ）求函数与的解析式；

（Ⅱ）当时，解关于的不等式：．

【解析】解：根据一次函数的图象过点和，

设，

则，解得，则

为幂函数，则，故

即，

则△

当或时，不等式的解集为或，

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为

当时，不等式的解集为．

28．（2019秋•天山区校级期中）已知幂函数为偶函数．

（1）求的解析式；

（2）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围．

【解析】解：（1）由为幂函数知，

即，

解得或；

当时，，符合题意；

当时，，为奇函数，不合题意，舍去；

；（6分）

（2）由（1）得，，

则函数的对称轴为，

由题意知函数在上为单调函数，

对称轴或，

解得或．（12分）

29．（2019秋•浦东新区期末）已知是整数，幂函数在，上是单调递增函数．

（1）求幂函数的解析式；

（2）作出函数的大致图象；

（3）写出的单调区间，并用定义法证明在区间，上的单调性．

【解析】解：（1）由在，上单调递增可得：，，

又，或，

；

（2）由于，所以．

如图所示：

（3）根据函数的图象：函数的单调减区间为：，和，．

函数的单调增区间为，和，．

证明：设，

所以．

所以．

所以函数在区间，上为增函数．

30．（2019秋•荆州区校级期中）已知幂函数的图象过定点．

（1）求的值；

（2）若存在，，使得，求实数的取值范围．

【解析】解：（1）由幂函数的图象过点，

得，解得；

（2）由（1）得，从而，

设在区间，上的最大值是（a），

由于的图象是开口向上的抛物线，

所以（a），（2）；

又存在，使得，所以（a）；

于是或者（2），

解得；

所以实数的取值范围是．

31．（2019秋•琼海校级月考）已知幂函数的图象经过点．

（1）求的解析式；

（2）判断的单调性并用定义证明你的结论．

【解析】解：（1）依题意，设，

则，

解得，

；

（2）为上的增函数，

设，，，

，

因为，，，

，，

，

在上单调递增．

32．（2019秋•海林市校级期中）已知幂函数的图象过点．求：

（1）解析式；

（2）（3）的值．

【解析】解：（1）设，

因为的图象过点，

所以，解得，

所以，

（2）由（1）知，

所以（3）．

33．（2020春•鼓楼区校级月考）已知幂函数的图象经过点，，

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）定义：若函数自变量的取值区间为，其值域区间为，则称区间为该函数的倍值区间．

（1）试求函数的形如，的倍值区间；

（2）设函数，试求函数的所有倍值区间．

【解析】解：（Ⅰ）设幂函数为常数），

幂函数图象过点，，

，，

幂函数；

（Ⅱ）（1）幂函数，在区间上单调递增，

，解得或2，

又，

所求区间为；

（2）显然，因为函数值非负，所以区间左端点非负．

①若所求区间为，型区间，则，解得或5；

经检验，，均符合条件；

②若为抛物线顶点纵坐标，则，但，不合题意，舍去；

③若所求区间不是型区间，显然区间右端点不能超过3，且左端点应大于，

在该单调减区间内，则该方程组无解，

故所求区间为，；