专题62 概率中的比赛问题-2022年高考数学微专题复习（新高考地区专用）

专题62   概率中的比赛问题

一、题型选讲

题型一 、比赛获胜问题

例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，

（1）求甲连胜四场的概率；

（2）求需要进行第五场比赛的概率；

（3）求丙最终获胜的概率.

【解析】（1）甲连胜四场的概率为．

（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．

比赛四场结束，共有三种情况：

甲连胜四场的概率为；

乙连胜四场的概率为；

丙上场后连胜三场的概率为．

所以需要进行第五场比赛的概率为．

（3）丙最终获胜，有两种情况：

比赛四场结束且丙最终获胜的概率为．

比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，．

因此丙最终获胜的概率为．

例2、甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为，但由于体力原因，第7场获胜的概率为．

（1）求甲队分别以，获胜的概率；

（2）设X表示决出冠军时比赛的场数，求X的分布列及数学期望．

【解析】：设事件为“甲队在第场获胜”，则

设事件为“甲队4：2获胜”，事件为“甲队4：3获胜”

（2）比赛的场数取决于甲是否取胜，所以可取的值为，若，则甲获胜，即胜第五场；若则甲获胜，即乙胜第五场，甲胜第六场；若，则只需前六场打成即可，所以只需乙连赢两场。分别计算概率即可得到分布列和期望

比赛场数可取的值为

的分布列为

例3、甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.

（1）求甲在局以内（含局）赢得比赛的概率；

（2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和期望.

【解析】：设为“甲在第局获胜”，事件为“甲在局以内（含局）赢得比赛”

（2）首先依题意能确定可取的值为，若提前结束比赛，则按（1）的想法，除了最后两场要连胜（或连败），其余各场应“胜负交替”。在每个事件中要分甲获胜和乙获胜两种情况进行讨论

解：可取的值为

的分布列为：

题型二、概率的比较大小问题

例4、（2021·河北张家口市·高三期末）甲､乙两队举行围棋擂台赛，规则如下：两队各出3人，排定1，2，3号.第一局，双方1号队员出场比赛，负的一方淘汰，该队下一号队员上场比赛.当某队3名队员都被淘汰完，比赛结束，未淘汰完的一方获胜.如图表格中，第m行､第n列的数据是甲队第m号队员能战胜乙队第n号队员的概率.

（1）求甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰的概率；

（2）比较第三局比赛，甲队队员和乙队队员哪个获胜的概率更大一些？

（1）甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰的概率为

（2）第3局比赛甲队队员获胜可分为3个互斥事件

（i）甲队1号胜乙队3号，概率为；

（ii）甲队2号胜乙队2号，概率为；

(iii)甲队3号胜乙队1号，概率为

故第3局甲队队员胜的概率为.

则第3局乙队队员胜的概率为

因为，

故甲队队员获胜的概率更大一些．

例5、（河北省“五个一名校联盟”2021届高三上学期第一次诊断考试）甲乙两人进行投篮比赛，每轮比赛由甲乙各投一次，已知甲投中的概率为，乙投中的概率为．每轮投篮比赛中，甲乙投中与否互不影响，按以下情况计分：都投中或者都不中双方都记0分；一方投中，而另一方未中，投中者得1分，未中者得-1分；若有人积2分，则此人获胜且比赛停止．

（1）比赛三轮后，甲积1分的概率是多少？

（2）若比赛至多进行五轮，问乙能获胜的概率是多少？

【解析】：（1）在一轮比赛中，甲积1分记为事件A，其概率为，

甲积0分记为事件B，其概率为P（B）＝，

甲积-1分记为事件C，其概率为，

三轮比赛后，甲积1分记为事件D，则P（D）＝P（ABB＋BAB＋BBA＋CAA＋ACA）

＝P（ABB）＋P（BAB）＋P（BBA）＋P（CAA）＋P（ACA）＝．

（2）乙两轮获胜记为事件E，则P（E）＝P（CC）＝；

乙三轮获胜记为事件F，则P（F）＝P（BCC＋CBC）＝P（BCC）＋P（CBC）＝；

乙四轮获胜记为事件G，则

P（G）＝P（BBCC＋BCBC＋CBBC＋ACCC＋CACC）＝P（BBCC）＋P（BCBC）＋P（CBBC）＋P（ACCC）＋P（CACC）＝；

乙五轮获胜记为事件H，则P（H）＝P（BBBCC＋BBCBC＋BCBBC＋CBBBC＋BACCC＋BCACC

＋ABCCC＋CBACC＋ACBCC＋CABCC＋ACCBC＋CACBC）＝．

综上：若比赛至多进行五轮，则乙能获胜的概率是．

二、达标训练

1、（2021·江苏苏州市·高三期末）在“学习强国”APP中，“争上游”的答题规则为：首局胜利得3分，第二局胜利得2分，失败均得1分.如果甲每局胜利的概率为，且答题相互独立，那么甲作答两局的得分期望为______．

【答案】

【解析】

根据题意，该人参加两局答题活动得分为，则可取的值为2，3，4，5，

若，即该人两局都失败了，则，

若，即该人第一局失败了，而第二局胜利，则，

若，即该人第一局胜利，而第二局失败，则，

若，即该人两局都胜利了，则，

故，

故答案为：．

2、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________．

【答案】

【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是综上所述，甲队以获胜的概率是

3、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．

（1）求P（X=2）；

（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率．

【解析】（1）X=2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，

则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．

因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．

（2）X=4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，

且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．

因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．

4、（海门2020～2021学年第一学期期末测试）.甲、乙两人组成“龙队”代表班级参加学校体育节的足球射门比赛活动，每轮活动由甲、乙两人各射门一次，在一轮活动中，如果两人都射中，则“龙队”得3分；如果只有一个人射中，则“龙队”得1分；如果两人都没射中，则“龙队”得0分．已知甲每轮射中的概率是，乙每轮射中的概率是；每轮活动中甲、乙射中与否互不影响，各轮结果亦互不影响．

（1）假设“龙队”参加两轮活动，求：“龙队”至少射中3个的概率；

（2）①设“龙队”两轮得分只和为，求的分布列；

②设“龙队”轮得分之和为，求的期望值．

（参考公式）

【解析】：（1）两轮活动射中个概率为

两轮活动射中个的概率为

“龙队”至少射中个概率为．

（2）①的所有可能取值为

，

的分布列如下：

②一轮得分的期望为

轮得分和的期望．