专题14 分配问题-2022年新高考数学题型全归纳之排列组合

专题14 分配问题

例1．将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为(　　)

A．96 B．114 C．128 D．136

【解析】

不同的名额分配方法为（1，2，15），（1，3，14），…,（1，8，9）；（2，3，13），（2，4，12），…,（2，7，9）；…,(5,6,7)，共种方法，再对应分配给学校有,选B.

例2．北京某大学为第十八届四中全会招募了名志愿者（编号分别是，，，号），现从中任意选取人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保号、号与号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（   ）

A．           B．           C．          D．

【解析】

号、号与号放在一组，则其余三个编号要么都比6小，要么都比24大，比6 小时，有种选法，都比24大时，有种选法，合计30种选法，号、号与在选厅时有两种选法，所以选取的种数共有种，故正确选项为C.

例3．学校决定把12个参观航天航空博物馆的名额给二（1）、二（2）、二（3）、二（4）四个班级. 要求每个班分得的名额不比班级序号少；即二(1)班至少1个名额, 二(2)班至少2个名额，…… ，则分配方案有(　　)

A．10种 B．6种 C．165种 D．495种

【解析】

根据题意，先在编号为2、3、4的3个班级中分别分配1、2、3个名额，编号为1的班级里不分配；再将剩下的6个名额分配4个班级里，每个班级里至少一个，

分析可得，共 种放法，即可得符合题目要求的放法共10种，

故答案为A

例4．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为（    ）

A．10 B．12 C．14 D．24

【解析】

将分配方案分为甲分配到班和甲不分配到班两种情况：

①甲分配到班：有种分配方案；

②甲不分配到班：有种分配方案；

由分类加法计数原理可得：共有种分配方案.

故选：.

例5．名医生和名护士被分配到所学校为学生体检，每校分配名医生和名护士，不同的分配方法共有 （    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【解析】

分两个步骤：先分配医生有种方法，再分配护士有，由分步计数原理可得：，

应选答案：D．

例6．名大学生被分配到所学校实习，每所学校至少分配一名大学生，则不同的分配方案有（    ）

A． B． C． D．

【解析】

将人分为人、人、人的三组，共有：种分法，

将三组安排到所学校共有种分法，

由分步乘法计数原理可得：不同的分配方案有种.

故选：.

例7．将5名教师分配到甲、乙、丙三所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它两所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有几种（    ）

A．60 B．80 C．150 D．360

【解析】

分成甲校分配名教师和名教师两种情况：

甲校分配名教师时，共有：种分配方案

甲校分配名教师时，共有：种分配方案

不同的分配方案共有：种

本题正确选项：

例8．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院，医生乙只能分配到医院或医院，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有(    )

A．18种 B．20种 C．22种 D．24种

【解析】

根据医院A的情况分两类：

第一类：若医院A只分配1人，则乙必在医院B，当医院B只有1人，则共有种不同

分配方案，当医院B有2人，则共有种不同分配方案，所以当医院A只分配1人时，

共有种不同分配方案；

第二类：若医院A分配2人，当乙在医院A时，共有种不同分配方案，当乙不在A医院，

在B医院时，共有种不同分配方案，所以当医院A分配2人时，

共有种不同分配方案；

共有20种不同分配方案.

故选：B

例9．把名新生分到甲、乙、丙、丁四个班，每个班至多分配名且甲班必须分配名，则不同的分配方法有 （   ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【解析】

根据题意，分2步进行分析：

①、由于每个班至多分配1名且甲班必须分配1名，先在3名新生中任选一人，安排到甲班，

有种情况，

②、在剩下的3个班级中任选2个,安排剩下的2名新生,有种情况，

则有3×6=18种不同的分配方法；

本题选择C选项.

例10．某公司将5名员工分配至3个不同的部门，每个部门至少分配一名员工，其中甲、乙两名员工必须分配在同一个部门的不同分配方法数为（    ）

A．24    B．30    C．36    D．42

【解析】解：如果5人分成1,1,3三组，则分配方法有： 种，

如果5人分成1,2,2三组，则分配方法有： 种，

由加法原理可得：不同分配方法数为 种.

本题选择C选项.

例11．将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教.（最后结果用数字表示）

（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？

（2）一所学校安排4个人，一所学校安排2个人，一所学校1个人，有多少种不同的分配方案？

（3）其中有两所学校都各安排3个人，另一所学校安排1个人，有多少种不同的分配方案？

【解析】

（1）（种）

（2）（种）

（3）（种）

例12．按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?

（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;

（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;

（3）平均分成三份,每份2本;

（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;

（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;

（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;

（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.

【解析】

（1）无序不均匀分组问题.先选本有种选法;再从余下的本中选本有种选法;最后余下的本全选有种选法.故共有 (种)选法.

（2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在题的基础上,还应考虑再分配,共有.

（3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为,,,,,,若第一步取了,第二步取了,第三步取了,记该种分法为(,,),则种分法中还有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),共有种情况,而这种情况仅是,,的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有.

（4）有序均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式 (种).

（5）无序部分均匀分组问题.共有 (种)分法.

（6）有序部分均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式 (种).

（7）直接分配问题.甲选本有种选法,乙从余下本中选本有种选法,余下本留给丙有种选法,共有 (种)选法.

例13．有甲、乙、丙、丁、戊位同学，求：

（1）位同学站成一排，有多少种不同的方法？

（2）位同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？

（3）将位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？

【解析】

（1）＝120．

（2） 位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻

故有．

（3）人数分配方式有①有种方法

②有种方法

所以，所有方法总数为种方法

例14．从射击、乒乓球、跳水、田径四个大项的雅典奥运冠军中选出6名作“夺冠之路”的励志报告．

（1）若每个大项中至少选派一人，则名额分配有几种情况？

（2）若将6名冠军分配到5个院校中的4个院校作报告，每个院校至少一名冠军，则有多少种不同的分配方法？

【解析】

（1）6个名额没有差异，所以选择隔板法，（2）首先先从5个院校选择4个院校，然后将6名冠军分组，3111，或是2211，两种情况，最后再分配乘以.

试题解析：（1）名额分配只与人数有关，与不同的人无关．

所以选择隔板法，                            6分

（2）从5个院校中选4个，再从6个冠军中，先组合，再进行排列，有种分配方法．                  12分

例15．将4名大学生分配到A、B、C三个乡镇去当村官，每个乡镇至少分配一名，则大学生甲分配到乡镇A的概率为           （用数字作答）

【解析】

将4名大学生分配到A、B、C三个乡镇去当村官，每个乡镇至少分配一名的事件个数为，每个乡镇至少分配一名，大学生甲分配到乡镇A的个数是,所以概率是

例16．安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有      种.（用数字作答）

【解析】210

例17．为了宣传校园文化，让更多的学生感受到校园之美，某校学生会组织了6个小队在校园最具有代表性的3个地点进行视频拍摄，若每个地点至少有1支小队拍摄，则不同的分配方法有_____种（用数字作答）

【解析】

（1）若按照进行分配有种方案；

（2）若按照进行分配有种方案；

（3）若按照进行分配有种方案；

由分类加法原理，所以共有种分配方案．

例18．在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为              ．

【解析】

试题分析：甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，

①当有二所医院分2人另一所医院分1人时，总数有种，其中有、甲乙二人或丙丁二人在同一组有种；②有二所医院分1人另一所医院分3人.有种.故满足条件的分法共有种.

例19．某学校要将4名实习教师分配到3个班级，每个班级至少要分配1名实习教师，则不同的分配方案有_______种.

【解析】

第一步取两个教师作为一组共有种取法，第二步将三组教师分配到3个班级共有种安排方法，所以根据分步乘法计数原理知，共有种不同的安排方法,故填.

例20．将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有_________种．（用数字作答）

【解析】

若甲校2人，乙、丙、丁其中一校2人，共有种，

若甲校3人，乙、丙、丁每校1人，共有则不同的分配方案共有+种

故答案为660