专题16 分解法模型和最短路径问题-2022年新高考数学题型全归纳之排列组合
展开专题16 分解法模型和最短路径问题
类型1：分解模型
例1．对33000分解质因数得，则的正偶数因数的个数是（ ）
A．48 B．72 C．64 D．96
【解析】
的因数由若干个（共有四种情况），
若干个（共有两种情况），
若干个（共有四种情况），
若干个（共有两种情况），
由分步计数乘法原理可得的因数共有，
不含的共有，
正偶数因数的个数有个，
即的正偶数因数的个数是，故选A.
例2．5400的正约数有（ ）个
A．48 B．46 C．36 D．38
【解析】
，5400的正约数一定是由2的幂与3的幂和5的幂相乘的结果，
所以正约数个数为．
故选：A．
例3. 30030能被多少个不同的偶数整除
【解析】
先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13，依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：.
类型2：最短路径问题
例1．有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【解析】
如图，①从入口﹣1﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，
②从入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，
③从入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，
④从入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，
⑤从入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，
⑥从入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，
⑦从入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，
⑧从入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，
共有8种，
故选：B．
例2．如图，某城市中，、两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从到不同的走法共有（ ）
A．10 B．13 C．15 D．25
【解析】
因为只能向东或向北两个方向
向北走的路有5条，向东走的路有3条
走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果
根据分步计数原理知共有种结果，选C
例3．如图，蚂蚁从A沿着长方体的棱以的方向行走至B，不同的行走路线有( )
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
【解析】
共有3个顶点与点相邻，经过每个相邻顶点，按规定方向都有2条路径到达点，所以，蚂蚁从沿着长方体的棱以规定的方向行走至，不同的行走路线有：（条），故选A.
例4．如图所示为某市各旅游景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H可走的不同的旅游路线的条数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【解析】
要到H点，需从F、E、G走过来，F、E、G各点又可由哪些点走过来，这样一步步倒推，最后归结到A，然后再反推过去得到如下的计算方法：A至B、C、D的路数记在B、C、D的圆圈内，B、C、D分别到F、E、G的路数亦记在圈内，最后F、E、G各路数之和，即得到至H的总路数，如下图所示，易得到17条路线，故选D．
例5．小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院.相关的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走路程最短的走法的种数为（ ）
A．72 B．56 C．48 D．40
【解析】
由题意可得从家到水果店有6种走法，水果店到花店有3种走法，花店到医院有4种走法，因此一共有（种）
例6．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为3个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次次骰子后棋子恰好又回到点处的所有不同走法共有（ ）
A．21种 B．24种 C．25种 D．27种
【解析】
由题意知正方形（边长为3个单位）的周长是12，
抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处表示三次骰子的点数之和是12，
列举出在点数中三个数字能够使得和为12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4；共有6种组合，
前三种组合1，5，6；2，4，6；3，4，5；又可以排列出种结果，
3，3，6；5，5，2；有6种结果，4，4，4；有1种结果．
根据分类计数原理知共有种结果，
故选：C．
例7．如下图，从A点出发每次只能向上或者向右走一步，则到达B点的路径的条数为________.
【解析】
如下图所示
从点A到C,D,E,F,G的路径都只有1条
从点A到点H的路径有2条，分别为,
从点A到点O的路径有3条，分别为从A经过H到点O有2条和
从点A到点M的路径有3条，分别是从点A经过点H到点M有2条和
从点A到点P的路径有6条，分别是从点A经过点O到点P的3条和从点A经过点M到点P的3条
从点A到点N的路径有4条，分别是从点A经过点M到点N的3条和从点A经过点E到点N的1条
从点A到点Q的路径有10条，分别是从点A经过点P到点Q的6条和从点A经过点N到点Q的4条
从点A到点R的路径有6条，就是从点A经过点P到点R的6条
所以从点A到点B的路径有16条，分别是从点A经过点R到点B的6条和从点A经过点Q到点B的10条
所以到达B点的路径的条数为16条
故答案为：16
例8．如图，甲从A到B，乙从C到D，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有________对. （用数字作答）
【解析】
甲从A到B，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从A到B共有种走法，
乙从C到D，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从A到B共有种走法，
根据分步乘法计数原理可知，共有不同路径对，
甲从A到D，需要向右走6步，向上走4步，共需10步，所以从A到D共有种走法,
乙从C到B，需要向右走2步，向上走4步，共需6步，所以从C到B共有种走法,
所以相交路径共有对，
因此不同的孤立路一共有对.
故答案为：1750
例9．如图所示线路图，机器人从A地经B地走到C地，最近的走法共有________种.（用数字作答）
【解析】
A到B共2种走法，从B到C共种不同走法，由分步乘法原理，知从A地经B地走到C
地，最近的走法共有种.
故答案为：20
例10．如图所示，机器人明明从A地移到B地，每次只移动一个单位长度，则明明从A移到B最近的走法共有____种.
【解析】
有 种方法； 有 种方法； 有 种方法；共有
例11．如图所示，机器人明明从A地移到B地，每次只移动一个单位长度，则明明从A移到B最近的走法共有_____种．
【解析】
分步计算，第一步最近走法有2种；第二步最近走法有种；第三步最近走法有2种，
故由最近走法有种．
故答案为：80．
例12．如图，机器人亮亮沿着单位网格，从地移动到地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从移动到最近的走法共有____种．
【解析】
分三步来考查：①从到，则亮亮要移动两步，一步是向右移动一个单位，一步是向上移动一个单位，此时有种走法；
②从到，则亮亮要移动六步，其中三步是向右移动一个单位，三步是向上移动一个单位，此时有种走法；
③从到，由①可知有种走法.
由分步乘法计数原理可知，共有种不同的走法.
故答案为：.
例13．某城市街区如下图所示,其中实线表示马路,如果只能在马路上行走,则从点到点的最短路径的走法有___种．
【解析】
根据题意，从A到B的最短路程，只能向左、向下运动；
从A到B，最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即从5次中任取2次向下，剩下3次向右，有种情况，但图中有空格，故是方法数为中
故答案为：7.
例14．某游戏中，一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为
A． B． C． D．以上都不对
【解析】我们把从到3的路线图单独画出来：
分析可得，
从到3总共有种走法，每一种走法的概率都是，
珠子从出口3出来是．
故选：．
例15．如图所示，某城镇由7条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道．现要从城镇的处走到处，使所走的路程最短，最多可以有 45 种不同的走法．
【解析】由题意知本题有两种途径是最短的路程，
①其中有5法．有1法，共有法．
②，从到，最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即从5次中任取2次向下，剩下3次向右，故有种，
从到，最短的路程需要向下走3次，向右走1次，即从4次中任取3次向下，剩下1次向右，故有种，
从共有法，
从到的短程线总共种走法．
故答案为：45．
例16．如图所示，某城镇由6条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道，现要从城镇的处走到处，使所走的路程最短，最多可以有 35 种不同的走法．
【解析】由题意知本题有两种大途径是最短的路程，
①其中有5法．有1法，共有法．
②其中有10种方法，有3法，共有法，
从到的短程线总共种走法．
故答案为：35．
例17．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果某人在该游戏中，猜得珠子从3号口出来，那么他取胜的概率为 ．
【解析】我们把从顶点到3的路线图单独画出来：
分析可得，
从顶点到3总共有种走法，每一种走法的概率都是，
珠子从出口3出来是．
例18．在的方格中进行跳棋游戏．规定每跳一步只能向左，或向右，或向上，不能向下，且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格．设表示从左下角“〇”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置结束的所有不同路径的条数．如图，给出了时的一条路径．则（3） 9 ； ．
【解析】由给出的方格看出，要从左下角“〇”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置，需要先从第一行跳到第二行，共有3种跳法，跳到第二行的每一个方格内要完成到达右上角“☆”位置，又可以看作从该方格有几种到达第三行的方法，所以该题只需思考向上走就行了，从第一行到第二行有3种跳法，从第二行到第三行也有3种跳法，故
（3）．由此可推得的方格中从左下角“〇”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置的方法种数是个的乘积．即．
故答案分别为9；．
例19．某城市由条东西方向的街道和条南北方向的街道组成一个矩形街道网，要从处走到处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？
【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，
将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从到需要走段，
而这些段中，必须有东西方向的段，其余的为南北方向的段，
共有种走法．
