2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册期末模拟测试卷（1）

2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册期末模拟测试卷（1）

【满分：150分】

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若向量，且，则(   )

A.-2 B.2 C.-2或2 D.0

2.已知均为单位向量，若，则向量与的夹角为(   )
A.  B.  C.  D.

3.已知是的共轭复数，则（   ）

A.  B.  C.  D.1

4.复数（i为虚数单位）在复平面内所对应的点位于(   )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

5.轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积 的比值为(   )

A. B. C.  D.

6.已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为(   )
A. B. C. D.144

7.某校有20个班,每班40人,每班选派3人参加学习调查活动,在这个学习调査活动中样本容量是(   )

A.20 B.40 C.60 D.120

8.已知样本数据2,4,6,a的平均数为4,则该样本的标准差是(   )
A. B. C.2 D.

9.若随机事件互斥，发生的概率均不等于0，且，则实数a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

10.在如图所示的图形中,每个三角形上各有一个数字,若六个三角形上的数字之和为20,则称该图形是“和谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之和为14.现从1,2,3,4,5中任取两个数字标在另外两个三角形上.则恰好使该图案为“和谐图形”的概率为(   )

A.  B.  C.  D.

11.《周礼·春官》中记载，中国古典乐器一般分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo）、竹”八音.其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“金、石、土、匏、丝”任取“三音”，则“三音”分别来自三种不同种类乐器的概率为(   )
A. B. C. D.

12.已知球O的半径,三棱锥内接于球平面,且,则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为(   )
A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设,则的最大值与最小值分别为__________.

14.已知，.若，则________.

15.若复数z满足，其中i是虚数单位，则z的实部为__________.

16.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的体积为________________.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10）已知向量，且．

(1)求及；

(2)若，求的最大值和最小值．

18.（12）已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位．

(1)求复数；

(2)若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

19. （12）如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，点E是的中点．

（1）求证：平面；

（2）若平面平面，求三棱锥的体积.

20. （12）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.

附注：

参考数据：.

参考公式：相关系数.

回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

.

21. （12）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.

(1)求甲连胜四场的概率；

(2)求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求丙最终获胜的概率.

22. （12）已知复数，复数，其中i是虚数单位，为实数.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值.

答案以及解析

一、选择题

1.答案：B

解析：，即..

2.答案：B

解析：由，得，即.设单位向量与的夹角为，则有，解得.又,所以.故选B.

3.答案：D

解析：，

∴，

∴，

∴，

故选：D.

4.答案：A

解析：本题考查复数的运算及其几何意义.由题知，复数，则其在复平面内所对应的点为，该点位于第一象限，故选A.

5.答案：C

解析：设圆柱的底面半径为r,由题意可知圆柱的高.设外接球的半径为R,则,故.则圆柱的体积,外接球的体积,所以.

6.答案：A

解析：由题意，知侧面积为，两底面积之和为，所以表面积.

7.答案：C

解析：样本量是.

8.答案：B

解析：因为2,4,6，a的平均数为4，所以,得，所以该样本的标准差，故选B.

9.答案：D

解析：由题意可知，即，即，解得.

10.答案：B

解析：由题意，可知若该图形为“和谐图形”，则另外两个三角形上的数字之和为.从1,2,3,4,5中任取两个数字的样本空间，共10个样本点，而数字之和为6包含的样本点有，，共2个，所以所求概率为.

11.答案：C

解析：从“金、石、土、匏、丝”中，任取“三音”的所有基本事件：{金、石、土}，{金、石、匏}，{金、石、丝}，{金、土、匏}，{金、土、丝}，{金、匏、丝}，{石、土、匏},{石、土、丝}，{石、匏、丝}，{土、匏、丝}，共10种等可能的情况，其中“三音”分别来自三种不同种类的乐器，共有4种情况，则所求概率，故选C.

12.答案：D

解析：本题考查三棱锥的外接球以及线面角的求解.如图，取AB的中点D，连接.由，得.因为平面平面，所以.因为，所以平面，故为PC与平面所成角.设的外接圆圆心为，半径为r,连接,则,即,解得所以,所以.由题可知，则，所以,故选D.
 

二、填空题

13.答案：20,4

解析：当共线同向时,;当共线反向时,.当不共线时,,即,所以最大值为20，最小值为4.

14.答案：1

解析：本题考查平面向量的模与数量积.因为，所以，所以，所以，所以.

15.答案：2

解析：由题意，知复数，所以z的实部为2.

16.答案：

解析：如图,设球心为O,半径为r,则在中,,解得,则球O的体积.
 

三、解答题

17.答案：(1)，

 (2)

，

∴当时，取得最小值；

当时，取得最大值－1.

18.答案：（1）设复数,则为实数，

所以，即

又为实数，

所以，即，则复数.

（2）由（1）可得

则对应点在第一象限，

所以，解得

19.答案：（1）连接，设，连接.

因为四边形是菱形，

所以点O是的中点.

又因为E是的中点，所以是三角形的中位线，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面.

（2）因为四边形是菱形，且，

所以.

又因为，所以三角形是正三角形

取的中点F，连接，则.

又平面平面，

平面，

平面平面，

所以平面.

在等边三角形中，

.而的面.所以

20.答案：（1）由题图中数据和附注中参考数据得

，

，

.

因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.

（2）由及（1）得，

.

所以y关于t的回归方程为.

将2016年对应的代入回归方程得.

所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨.

21.答案：(1)甲连胜四场的概率为.

(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.
比赛四场结束，共有三种情况：
乙连胜四场的概率为；
丙上场后连胜三场的概率为.
所以需要进行第五场比赛的概率为.

(3)丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为；
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为.
因此丙最终获胜的概率为.

22.答案：（1）当时，，
所以，
所以.

（2）若，则，
所以，
所以解得