2021_2022学年新教材高中数学基础练21函数的最大值最小值含解析新人教A版必修第一册

函数的最大值、最小值

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[－4，1]上的最小值是(　　)

A．－4　　　B．－3　　　C．0　　　D．1

【解析】选C.由题图知，函数在[－4，－3]上单调递减，在[－3，1]上单调递增，当x＝－3时取最小值0.

2．函数y＝在[2，3]上的最小值为(　　)

A．2    B．    C．    D．－

【解析】选B.原函数在[2，3]上单调递减，所以最小值为＝.

3．函数y＝|x＋1|在[－2，2]上的最大值为(　　)

A．0    B．1    C．2    D．3

【解析】选D.y＝|x＋1|＝

y＝x＋1(－1≤x≤2)的最大值为3，y＝－(x＋1)(－2≤x＜－1)的最大值为1，所以函数y＝|x＋1|在[－2，2]上的最大值为3.

4．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　)

A．－1    B．0    C．1    D．2

【解析】选C.f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，

所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2，所以f(x)在[0，1]上单调递增．

又因为f(x)min＝f(0)＝a＝－2，所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.

5．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时单调递增，当x∈(－∞，－2]时单调递减，则f(1)＝(　　)

A．10    B．－3    C．13    D．1

【解析】选C.因为函数f(x)在(－∞，－2]上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，所以x＝－＝＝－2，所以m＝－8，故f(x)＝2x2＋8x＋3，

所以f(1)＝13.

6．(多选题)若函数f(x)＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则m可以取(　　)

A．    B．    C．3    D．

【解析】选A、B、C.因为对称轴为x＝，对应函数值为－；所以m≥；当y＝－4时，x＝0，3，因此m≤3，

综合可得，m的取值范围是.

二、填空题(每小题5分，共10分)

7．函数f(x)＝x＋在[1，4]上的最大值为________，最小值为________．

【解析】设1≤x1<x2<2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝，

因为1≤x1<x2<2，所以x1－x2<0，x1x2－4<0，x1x2>0，

所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[1，2)上单调递减．

同理f(x)在[2，4]上单调递增．

所以当x＝2时，f(x)取得最小值4；

当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5.

答案：5　4

8．用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________m.

【解析】设隔墙长度为x m，场地面积为S m2，

则S＝x·＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18.

所以当x＝3时，S有最大值18 m2.

答案：3

三、解答题(每小题10分，共20分)

9．已知函数f(x)＝.

(1)证明：函数在区间(1，＋∞)上单调递减．

(2)求函数在区间[2，4]上的最值．

【解题指南】(1)运用单调性的定义证明，注意取值、作差、变形、定符号和下结论几个步骤．

(2)运用(1)的结论，即可得到最值．

【解析】(1)设1＜x1＜x2，则

f(x1)－f(x2)＝－＝

由于1＜x1＜x2，则x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0，

则f(x1)－f(x2)＞0，

则函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减．

(2)由(1)可得，f(x)在区间[2，4]上递减，

则f(2)为最大值，且为2，f(4)为最小值，且为.

10．已知函数f(x)＝(x≠1).

(1)证明f(x)在(1，＋∞)上单调递减．

(2)当x∈[3，5]时，求f(x)的最小值和最大值．

【解析】(1)设1＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝

＝，

因为x1＞1，x2＞1，所以x1－1＞0，x2－1＞0，

所以(x1－1)(x2－1)＞0，

因为x1＜x2，所以x2－x1＞0，

所以f(x1)－f(x2)＞0，所以f(x1)＞f(x2)，

所以f(x)在(1，＋∞)上单调递减．

(2)因为[3，5]⊆(1，＋∞)，所以f(x)在[3，5]上单调递减，所以f(x)max＝f(3)＝2，f(x)min＝f(5)＝1.5.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1]    B．(－∞，0]

C．(－∞，0)    D．(0，＋∞)

【解析】选C.记f(x)＝－x2＋2x，0≤x≤2，

因为a＜－x2＋2x恒成立，所以a<f(x)min，而f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当x∈[0，2]时，f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0，所以a＜0.

2．(2020·长沙高一检测)已知二次函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5，20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是(　　)

A．[160，＋∞)

B．(－∞，40]

C．(－∞，40]∪[160，＋∞)

D．(－∞，20]∪[80，＋∞)

【解析】选C.因为二次函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5，20)上既没有最大值也没有最小值，所以函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5，20)上是单调函数．易知二次函数f(x)＝4x2－kx－8的图象的对称轴方程为x＝，因此≤5或≥20，所以k≤40或k≥160.

3．若函数y＝f(x)的值域为[1，3]，则函数F(x)＝1－2f(x＋2)的值域是(　　)

A．[－9，－5]      B．[－5，－1]

C．[－1，3]       D．[1，3]

【解析】选B.由于函数y＝f(x)的值域为[1，3]，

则1≤f(x＋2)≤3，－6≤－2f(x＋2)≤－2，

所以－5≤1－2f(x＋2)≤－1.

4．(多选题)已知y＝f(x)是R上的单调函数，令F(x)＝f(1－x)－f(3＋x)，则F(x)在R上可能是(　　)

A．增函数        B．减函数

C．先增加后减少      D．先减少后增加

【解析】选A、B.设任意的x1，x2∈R，且x1<x2，

则F(x2)－F(x1)＝f(1－x2)－f(3＋x2)－f(1－x1)＋f(3＋x1)＝f(1－x2)－f(1－x1)＋f(3＋x1)－f(3＋x2)，

因为x1<x2，所以1－x1>1－x2，3＋x2>3＋x1，

若y＝f(x)是R上的减函数，则F(x2)－F(x1)>0，

即F(x)在R上是增函数．若y＝f(x)是R上的增函数，则F(x2)－F(x1)<0，即F(x)在R上是减函数．

二、填空题(每小题5分，共20分)

5．函数y＝|x＋1|－|2－x|的单调递增区间是________，值域是________．

【解析】y＝|x＋1|－|2－x|

＝

其图象如图所示，可知单调递增区间是[－1，2]，值域是[－3，3]

答案：[－1，2]　[－3，3]

6．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为________元．

【解析】设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个．

所以y＝(x－40)(1 000－10x)

＝－10(x－70)2＋9 000≤9 000.

故当x＝70时，ymax＝9 000.

答案：70

7．函数y＝x＋的值域是________．

【解析】设t＝，所以x＝1－t2，所以y＝－t2＋t＋1(t≥0)，结合二次函数图象可知当t＝时取得最大值，所以值域为.

答案：

8．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间[2，10]上具有单调性，则实数k的取值范围是________．

【解析】根据二次函数的单调性知：f(x)在上单调递减，在上单调递增，因为函数f(x)＝4x2－kx－8在区间[2，10]上具有单调性，所以≥10或≤2解得k≥80或k≤16，所以实数k的取值范围是{k|k≤16或k≥80}．

答案：{k|k≤16或k≥80}

【补偿训练】

 求函数f(x)＝x2＋2x在[t，1]上的值域．

【解析】函数f(x)＝x2＋2x的对称轴为x＝－1，则

(1)当－1<t<1时，[t，1]是单调增区间，

值域为[f(t)，f(1)]，即[t2＋2t，3].

(2)当－3≤t≤－1时，函数在x＝－1处取最小值，

在x＝1处取最大值，值域为[f(－1)，f(1)]，即[－1，3].

(3)当t<－3时，函数在x＝－1处取最小值，在x＝t处取最大值，值域为[f(－1)，f(t)]，

即[－1，t2＋2t].

三、解答题(共30分)

9．(10分)已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1，2]上单调，求实数a的取值范围．

【解析】

函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．由图象可知函数在(－∞，a]和(a，＋∞)上分别单调，因此要使函数f(x)在区间[1，2]上单调，只需a≤1或a≥2(其中当a≤1时，函数f(x)在区间[1，2]上单调递增；当a≥2时，函数f(x)在区间[1，2]上单调递减)，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞).

10．(10分)已知函数f(x)＝x|x－1|＋1(x＞0).

(1)用分段函数的形式表示该函数．

(2)画出该函数的图象．

(3)根据函数的图象写出函数的单调区间和函数的值域．

【解析】(1)分类讨论：当x≥1时，x－1≥0，

则y＝x(x－1)＋1＝x2－x＋1，

当0＜x＜1时，x－1＜0，

则y＝x(1－x)＋1＝－x2＋x＋1，

综上可得，函数的解析式为y＝

(2)绘制函数图象如图所示：

(3)函数的单调递增区间为和(1，＋∞)，函数的单调递减区间为；值域为[1，＋∞).

11．(10分)已知函数f(x)对于任意x，y∈R都有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时f(x)<0，又f(1)＝－.

(1)求证：f(x)在R上是减函数．

(2)求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值．

【解析】(1)因为对任意x，y∈R，f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，所以令x＝y＝0，得f(0)＝0，再令y＝－x得f(－x)＝－f(x)，任取x1<x2，则x2－x1>0，

f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)<0，

即f(x2)<f(x1)

因此f(x)在R上为减函数．

(2)f(x)在[－3，3]上单调递减，

所以f(x)在[－3，3]上的最大值、最小值分别为f(－3)和f(3).

f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.