2021_2022学年新教材高中数学基础练19分段函数含解析新人教A版必修第一册

分段函数

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．设函数f(x)＝

则f(f(3))＝(　　)

A．    B．3    C．    D．

【解析】选D.由题意f(3)＝，f＝＋1＝，所以f(f(3))＝f＝.

2．下列图形是函数y＝x|x|的图象的是(　　)

【解析】选D.由y＝x|x|＝知D选项符合题意．

3.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f＝(　　)

A．－　　　　　　　 B．

C．－         D．

【解析】选B.由图象知f(x)＝

所以f＝－1＝－，

所以f＝f＝－＋1＝.

4．已知函数y＝则使函数值为5的x的值是(　　)

A．－2       B．2或－

C．2或－2      D．2或－2或－

【解析】选A.当x≤0时，x2＋1＝5，x＝－2.当x>0时，－2x<0，不合题意．故x＝－2.

5．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则(　　)

A．|x|＝x|sgn x|       B．|x|＝x sgn |x|

C．|x|＝|x|sgn x       D．|x|＝x sgn x

【解析】选D.

6.设函数f(x)＝若f(a)＝16，则实数a为(　　)

A．4　　　B．－4　　　C．－16或4　　　D．16

【解析】选C.当a>0时，f(a)＝a2＝16，所以a＝4.

【拓展延伸】

已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集为(　　)

A．[－1，1]　　　　　　　 B．[－2，2]

C．[－2，1]         D．[－1，2]

【解析】选A.方法一：数形结合：

方法二：或

所以－1≤x≤0或0<x≤1.

故f(x)≥x2的解集为[－1，1].

二、填空题(每小题5分，共10分)

7．已知函数f(x)＝则f(f(0))＝________．

【解析】因为函数f(x)＝，

所以f(0)＝1，所以f(f(0))＝f(1)＝2.

答案：2

【跟踪训练】

 设函数f(x)＝则f(f(2))＝__________；函数f(x)的值域是________．

【解析】f(2)＝，f(f(2))＝f＝－，

当x＞1时，f(x)∈(0，1)，当x≤1时，f(x)∈[－3，＋∞)，所以f(x)∈[－3，＋∞).

答案：－　[－3，＋∞)

8．函数f(x)＝的定义域为________，值域为________．

【解析】由已知得，f(x)的定义域为{x|0<x<1}∪{0}∪{x|－1<x<0}＝{x|－1<x<1}，即(－1，1)，又0<x<1时，0<－x2＋1<1，－1<x<0时，－1<x2－1<0，x＝0时，f(x)＝0，故值域为(－1，0)∪{0}∪(0，1)＝(－1，1).

答案：(－1，1)　(－1，1)

三、解答题(每小题10分，共20分)

9．画出函数f(x)＝的图象．

【解析】先画出f(x)＝x＋1的图象，保留x∈[－1，0]的部分，再画出f(x)＝x2＋1的图象，保留x∈(0，1]的部分，如图所示．

10．大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12 km为止温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12 km以上温度一定，保持在

－55℃.

(1)当地球表面大气的温度是a℃时，在x km的上空为y℃，求a，x，y间的函数解析式．

(2)问当地表的温度是29℃时，3 km上空的温度是多少？

【解析】(1)由题设知，可设y－a＝kx(0≤x≤12，k<0)，即y＝a＋kx.依题意，当x＝12时，y＝－55，

所以－55＝a＋12k，解得k＝－.

所以当0≤x≤12时，y＝a－(55＋a)(0≤x≤12).

又当x>12时，y＝－55.所以所求的函数解析式为

y＝

(2)当a＝29，x＝3时，y＝29－(55＋29)＝8，

即3 km上空的温度为8℃.

【补偿训练】

 “水”这个曾经被人认为取之不尽、用之不竭的资源，竟然发展到了严重制约我国经济发展、严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2 000亿元，给我国农业造成的损失达1 500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过的部分的水费按原价的200%收费，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按原价的400%收费．如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元).

【解析】由题意知，当0＜x≤5时，y＝1.2x，

当5＜x≤6时，y＝1.2×5＋(x－5)×1.2×2＝2.4x－6.

当6＜x≤7时，y＝1.2×5＋(6－5)×1.2×2＋(x－6)×1.2×4＝4.8x－20.4.

所以y＝