2021_2022学年新教材高中数学基础练20函数的单调性含解析新人教A版必修第一册
展开函数的单调性
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下列四个函数中在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．f(x)＝8－x B．f(x)＝(x－2)2
C．f(x)＝＋1 D．f(x)＝x2＋2x
【解析】选D.A在R上为减函数，B在(0，2)上为减函数，C在(0，＋∞)上为减函数．
2．若函数f(x)在[－1，2]上是单调递减函数，则下列关系成立的是( )
A．f(－1)＜f(1) B．f(－1)＞f(1)
C．f(0)＜f(2) D．f(0)＞f(3)
【解析】选B.对A，因为－1＜1，故f(－1)＞f(1)，故A错，B对．
【补偿训练】
函数f(x)＝的单调减区间是( )
A．(－∞，＋∞) B．
C． D．
【解析】选C.由－2x＋1≥0，得x≤，
又一次函数y＝－2x＋1为R上的减函数，故f(x)＝的单调减区间为.Ｋ
3．设f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数，则有( )
A．a≥ B．a≤ C．a＞－ D．a＜
【解析】选D.因为f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数，所以2a－1＜0，即a＜.
4．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是( )
A．f(x1)＜f(x2) B．f(x1)＞f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
【解析】选D.因为x1，x2不在同一单调区间内，所以大小关系无法确定．
5．(2021·钦州高一检测)函数y＝x2＋2mx＋1在[2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是( )
A．[－2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
【解析】选A.函数y＝x2＋2mx＋1的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x＝－m，函数y＝x2＋2mx＋1在[2，＋∞)上单调递增，则－m≤2，解得m≥－2.
6．(多选题)函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上单调递增，则下列选项正确的是( )
A．f(1)≥25 B．f(－1)≤－7
C．f(1)≤25 D．f(－1)≥－7
【解析】选A、B.因为函数f(x)的对称轴为x＝，
所以f(x)在上是递增的．
所以≤－2，所以m≤－16.
则f(1)＝4－m＋5＝9－m≥25.
f(－1)＝4＋m＋5＝9＋m≤－7.
【补偿训练】
如果f(x)＝ax2－(2－a)x＋1在区间上为减函数，则a的取值范围是( )
A.(0，1] B．[0，1)
C．[0，1] D．(0，1)
【解析】选C.a＝0时，f(x)＝－2x＋1，在区间上为减函数，符合题意；当a≠0时，如果f(x)＝ax2－(2－a)x＋1在区间上为减函数，必有解得0＜a≤1，综上所述， a的取值范围是[0，1].
二、填空题(每小题5分，共10分)
7．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________，在定义域上是否递增________(回答是或否).
【解析】由题图可知，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，1)和(1，＋∞).一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”而应该用“和”或“，”来表示．
答案：(－∞，1)和(1，＋∞) 否
8．已知函数y＝x2－2(a＋1)x－2在区间(－∞，4]上是严格减函数，则实数a的取值范围是________．
【解析】由函数y＝x2－2(a＋1)x－2在区间(－∞，4]上是严格减函数，可得对称轴x＝a＋1≥4，解得a≥3.
答案：a≥3
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．证明：函数f(x)＝x＋在(0，1)上单调递减．
【证明】设0<x1<x2<1，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)＝，
因为0<x1<x2<1，所以x1x2－1<0，x1－x2<0，x1x2>0.即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，所以f(x)＝x＋在(0，1)上单调递减．
10．若f(x)＝是R上的单调函数，求实数a的取值范围．
【解析】因为f(x)＝是R上的单调函数，所以解得：a≥，故实数a的取值范围为.
(35分钟 70分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(多选题)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的有( )
A．>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)
D．f(x1)>f(x2)
【解析】选AB.由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A，B正确；对于C，D，因为x1，x2的大小关系无法判断，则f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断，故C，D不正确．
2．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为( )
A．(－∞，1] B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
【解析】选B.设t＝x2－2x－3，由t≥0，得x≤－1或x≥3，所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞).当x≥3时，t＝x2－2x－3单调递增．
3．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则a的取值范围是( )
A．(0，2) B．(0，2] C．(0，3) D．(0，3]
【解析】选B.因为f(x)为R上的减函数，所以x≤1时，f(x)递减，即a－3＜0①，x＞1时，f(x)递减，即a＞0②，且(a－3)×1＋5≥2a③，联立①②③解得，0＜a≤2.
4．函数y＝|x|(1－x)在区间A上单调递增，那么区间A是( )
A．(－∞，0) B．
C．[0，＋∞) D．
【解析】选B.y＝|x|(1－x)＝＝＝
画出函数的大致图象如图所示．
由图易知原函数在上单调递增．
二、填空题(每小题5分，共20分)
5．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋1在区间(－∞，3)上单调递减，则a的取值范围是________．若函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋1的减区间是(－∞，3)，则a为________．
【解析】①当a＝0时，f(x)＝－12x＋1在(－∞，3)上单调递减；②当a>0时，要使f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋1在区间(－∞，3)上单调递减，则对称轴x＝必在x＝3的右边，即≥3，故0＜a≤；③当a＜0时，不可能在区间(－∞，3)上恒单调递减．综合知：a的取值范围是.若函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋1的减区间是(－∞，3)，则对称轴x＝＝3，则a＝.
答案：
6．设函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________．
【解析】由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，得函数f(x)为增函数．又－3>－π，所以f(－3)>f(－π).
答案：f(－3)>f(－π)
7．已知函数f(x)在定义域(－1，1)上单调递减，且f(1－a)≤f(3a－2)，则a的取值范围是________．
【解析】因为函数f(x)在定义域(－1，1)上单调递减，且f(1－a)≤f(3a－2)，所以－1＜3a－2≤1－a＜1，解得a∈.
答案：
8．已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的范围是________．
【解析】
f(x)＝的图象如图所示，不等式f(1－x2)>f(2x)
等价于
或
解得－1<x<－1.
答案：(－1，－1)
三、解答题(共30分)
9．(10分)画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出该函数的单调区间．
【解析】x≥0时，y＝－x2＋2x＋3；x<0时，y＝－x2－2x＋3.所以y＝
画出该函数的图象如图所示，由图象知，该函数的单调递增区间是(－∞，－1]，(0，1]；单调递减区间是(－1，0]，(1，＋∞).
10．(10分)已知函数f(x)＝x2－＋2.判断函数f(x)在[1，＋∞)上的单调性并加以证明．
【解析】f(x)在[1，＋∞)上单调递增．
证明：设1≤x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x－＋2－＝x－x－＝(x1－x2)[(x1＋x2)＋].
因为1≤x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1＋x2＋＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增．
11．(10分)函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数．
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.
【解析】(1)设x1，x2∈R，且x1<x2，
则x2－x1>0，所以f(x2－x1)>1.
f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0.
所以f(x2)>f(x1)，即f(x)是R上的增函数．
(2)因为f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，
所以f(2)＝3，
所以原不等式可化为f(3m2－m－2)<f(2)，
因为f(x)是R上的增函数，所以3m2－m－2<2，
解得－1<m<，
故解集为.
