人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质课时训练

同角三角函数的基本关系

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．(多选题)如果α是第二象限的角，下列各式中不成立的是(　　)

A．tan α＝－       B．cos α＝－

C．sin α＝－     D．tan α＝

【解析】选A、C、D.由商数关系可知A，D项均不正确，当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B项正确．

2.等于(　　)

A．sin        B．cos

C．－sin        D．－cos

【解析】选A.因为0<<，

所以sin >0，

所以＝＝sin.

3．若tan α＝2，则sin2α－cos2α的值为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选C.方法一：由tanα＝2，得sin α＝2cos α，且sin2α＋cos2α＝1，所以5cos2α＝1，得cos2α＝，所以sin2α－cos2α＝.

方法二：由tanα＝2，得sin2α－cos2α＝＝＝.

【补偿训练】

已知cos α＝，则sin2α等于(　　)

A．　　B．±　　C．　　D．±

【解析】选A.sin2α＝1－cos2α＝.

4．已知＝5，则sin2α－sinαcos α＝(　　)

A．    B．－    C．    D．－

【解析】选A.由题意知cos α≠0，则由＝5，得＝5，即

tan α＝2.所以sin2α－sinαcos α＝＝＝.

【补偿训练】

已知sin α－cos α＝－，则sin α·cos α等于(　　)

A．　　B．－　　C．－　　D．

【解析】选C.将所给等式两边平方，得1－2sin αcos α＝，故sin αcos α＝

－. 

5．函数y＝＋的值域是(　　)

A．{0，2}        B．{－2，0}

C．{－2，0，2}      D．{－2，2}

【解析】选C.y＝＋.

当x为第一象限角时，y＝2；

当x为第三象限角时，y＝－2；

当x为第二、四象限角时，y＝0.

6．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于(　　)

A．－    B．    C．－    D．

【解析】选D.sin2θ＋sinθcos θ－2cos2θ

＝＝，又tanθ＝2，故原式＝＝.

【补偿训练】

 若π<α<，则＋的化简结果为(　　)

A．　　B．－　　C．　　D．－

【解析】选D.原式＝＋＝＋＝，

因为π<α<，所以原式＝－. 

二、填空题(每小题5分，共10分)

7．已知tan α＝2，则＝________．

【解析】因为tan α＝2，所以＝＝＝3.

答案：3

【补偿训练】

 已知cos α＝－，且tan α>0，则＝________．

【解析】由cos α<0，tan α>0知α是第三象限角，则sin α＝－，故原式＝＝＝sin α(1＋sin α)＝×＝－.

答案：－

8．在△ABC中，sin A＝，则∠A＝________．

【解析】因为2sin2A＝3cosA，所以2(1－cos2A)＝3cosA，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，所以cos A＝，cos A＝－2(舍去)，所以A＝60°.

答案：60°

三、解答题(每小题10分，共20分)

9．已知sin αcos α＝－，且0<α<π，求tan α的值．

【解析】因为sin αcos α＝－，sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋cos2α＋

2sinαcos α＝1＋2×＝，所以(sin α＋cos α)2＝，所以sin α＋cos α＝±.同理(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.因为sin αcos α＝－<0，0<α<π，所以<α<π，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α＝.

由得

或所以tan α＝－或tan α＝－.

【一题多法】因为sin αcos α＝－，所以＝－，所以＝－，所以12tan2α＋25tanα＋12＝0，所以(3tan α＋4)(4tan α＋3)＝0，所以tan α＝－或tan α＝－.

10．已知＝，求下列各式的值．

(1).

(2)1－4sinθcos θ＋2cos2θ.

【解析】已知＝，

所以＝，解得tan θ＝2.

(1)原式＝＝＝1.

(2)原式＝sin2θ－4sinθcos θ＋3cos2θ

＝＝＝－.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．(多选题)若tanα＝t(t≠0)，且sin α＝－，则α是(　　)

A．第一象限角      B．第二象限角

C．第三象限角       D．第四象限角

【解析】选B、C.由tan α＝得cos α＝，

所以cos α＝－＜0，故α是第二、三象限角．

【补偿训练】

 如果sin x＋cos x＝，且0<x<π，那么tan x的值是(　　)

A．－　　　　　　　　B．－或－

C．－         D．或－

【解析】选A.将所给等式两边平方，得sin x cos x＝－，因为0<x<π，所以

sin x>0，cos x<0，所以sin x＝，cos x＝－，所以tan x＝－.

2．已知角α终边上一点P的坐标为(a，3a)(a≠0)，则的值是(　　)

A．2    B．－2    C．    D．－

【解析】选D.由正切函数的定义可得tan α＝3，因此＝＝－.

3．已知sin α－3cos α＝0，则sin2α＋sinαcos α的值为(　　)

A．    B．    C．3    D．4

【解析】选B.由sin α－3cos α＝0，所以tan α＝3，又sin2α＋sinαcos α＝＝＝＝.

4．函数y＝cos2x＋2a sinx在区间上的最大值为2，则实数a的值为(　　)

A．1或－　　B．－　　C．　　D．1或

【解析】选A.因为y＝cos2x＋2a sinx＝1－sin2x＋2a sinx＝－(sin x－a)2＋a2＋1，

令t＝sin x，故t∈，

f(t)＝y＝－(t－a)2＋a2＋1

当a≤－时，f(t)在单调递减，

所以＝f＝－＋a2＋1＝－a＝2，此时a＝－<

－，符合要求；

当－<a<1时，f(t)在单调递增，在单调递减，故＝f(a)＝a2＋1＝2，解得a＝±1∉，舍去．

当a≥1时，f(t)在单调递增，所以＝f(1)＝－(1－a)2＋a2＋1＝2a＝2，

解得a＝1∈，符合要求；

综上可知a＝1或a＝－，故选A.

二、填空题(每小题5分，共20分)

5．若tan α＋＝3，则sin αcos α＝________，tan2α＋＝________.

【解析】因为tanα＋＝3，所以＋＝3，即＝3，所以sin αcos α＝，tan2α＋＝－2tan α·＝9－2＝7.

答案：　7

6．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sinθcos θ＝________.

【解析】由sin4θ＋cos4θ＝，得(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝，所以sin2θcos2θ＝，因为θ是第三象限角，所以sinθ<0，cos θ<0，所以sin θcos θ＝.

答案：

7．在△ABC中，若tan A＝，则sin A＝________．

【解析】因为tan A＝>0，则A是锐角，则sin A>0，解方程组得sin A＝.

答案：

8．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋＝________．

【解析】tan α＋＝＋＝＝.

因为sin α－cos α＝－，所以1－2sin αcos α＝，

所以sin αcos α＝－，所以＝－8，所以tan α＋＝－8.

答案：－8

三、解答题(共30分)

9．(10分)求证：sin α(1＋tan α)＋cos α＝＋.

【证明】左边＝sin α＋cos α

＝sin α＋＋cos α＋＝＋＝＋＝右边．即原等式成立．

10．(10分)(1)已知sin θ＝，求＋的值．

(2)已知5sin θ＋12cos θ＝0，求的值．

【解析】(1)原式＝

＝＝＝2－2.

(2)由5sinθ＋12cos θ＝0，得tan θ＝－＜0，故θ角在第二或第四象限，

当θ在第二象限时，cos θ＝－＝－，

当θ在第四象限时，cosθ＝＝，所以原式＝＝或.

11．(10分)设A是三角形的内角，且sin A和cos A是关于x的方程25x2－5ax－12a＝0的两个根．

(1)求a的值．(2)求tan A的值．

【解析】(1)因为sin A和cos A是关于x的方程25x2－5ax－12a＝0的两个根，所以由根与系数的关系得

将①两边分别平方得

sin2A＋2sinA cos A＋cos2A＝a2，即1－a＝，解得a＝－25或a＝1.当a＝－25时，sinA＋cos A＝－5不合题意，故a＝1.

(2)由0<A<π，得sin A>0，cos A<0，所以sin A＝，

cos A＝－.所以tan A＝＝－.