高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质测试题

正切函数的性质与图象

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．(多选题)在下列给出的函数中，以π为周期且在内单调递减的是(　　)

A．y＝sin 　　　　　　 B．y＝cos 2x

C．y＝sin       D．y＝tan

【解析】选B、D.由函数周期为π可排除A.D选项中y＝tan 可变形为y＝－tan ，当x∈时，2x∈(0，π)，x－∈，此时B，D中函数均是减函数．

2．已知函数y＝tan (2x＋φ)的图象过点，则φ可以是(　　)

A．－　　　B．　　　C．－　　　D．

【解析】选A.因为函数的图象过点，

所以tan ＝0，所以＋φ＝kπ，k∈Z，

所以φ＝kπ－，k∈Z，令k＝0，则φ＝－.

3．函数f(x)＝的定义域为(　　)

A．{x|x∈R且x≠，k∈Z}

B．{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}

C．{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}

D．{x|x∈R且x≠kπ－，k∈Z}

【解析】选A.(k∈Z)得所以x≠π且x≠π，x≠，k∈Z.

4．函数y＝－2＋tan 的单调递增区间为(　　)

A．，k∈Z

B．，k∈Z

C．，k∈Z

D．，k∈Z

【解析】选A.由－＋kπ<x＋<＋kπ，k∈Z，解得－π＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z.

5．在区间内，函数y＝tan x与函数y＝sin x的图象交点的个数为(　　)

A．1    B．2    C．3    D．4

【解析】选C.在同一坐标系中画出正弦函数与正切函数的图象(如图所示)，可以看到在区间内二者有三个交点．

6．函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为，则ω的值是(　　)

A．1    B．2    C．4    D．8

【解析】选C.由题意可得f(x)的周期为，则＝，所以ω＝4.

【补偿训练】

 函数f(x)＝tan 与函数g(x)＝sin 的最小正周期相同，则ω＝(　　)

A．±1　　　B．1　　　C．±2　　　D．2

【解析】选A.＝，ω＝±1.

二、填空题(每小题5分，共10分)

7．f(x)＝a sin x＋b tan x＋1，满足f(5)＝7，则f(－5)＝________.

【解析】因为f(5)＝a sin 5＋b tan 5＋1＝7，所以a sin 5＋b tan 5＝6，所以f(－5)＝a sin (－5)＋b tan (－5)＋1＝－(a sin 5＋b tan 5)＋1＝－6＋1＝－5.

答案：－5

8．－tan 与tan 的大小关系是________．

【解析】－tan ＝－tan ，tan ＝－tan ＝－tan .因为0＜＜＜＜π，

所以tan ＞0，tan ＜0，所以－tan <－tan ，即－tan ＜

tan .

答案：－tan ＜tan

三、解答题(每小题10分，共20分)

9．求函数y＝tan 2x的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．

【解析】定义域为；

值域为(－∞，＋∞)；周期为；对应图象如图所示：

10．若函数f(x)＝2tan (ωx－)(ω＜0)的最小正周期为2π，求f(x)的单调区间．

【解析】因为f(x)＝2tan (ω＜0)的最小正周期为2π，所以＝2π，所以|ω|＝.又因为ω＜0，所以ω＝－.即f(x)＝2tan ＝

－2tan .

由kπ－＜x＋＜kπ＋(k∈Z)，

得2kπ－π＜x＜2kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调减区间为(2kπ－π，2kπ＋)(k∈Z).

　【补偿训练】

 求函数y＝tan 的单调区间及最小正周期．

【解析】y＝tan ＝－tan ，由kπ－<x－<kπ＋(k∈Z)，得2kπ－<x<2kπ＋π(k∈Z)，

所以函数y＝tan 的单调递减区间是，k∈Z，周期T＝＝2π.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．函数f(x)＝|tan 2x|是(　　)

A．周期为π的奇函数

B．周期为π的偶函数

C．周期为的奇函数

D．周期为的偶函数

【解析】选D.f(－x)＝|tan (－2x)|＝|tan 2x|＝f(x)为偶函数，T＝.

2．函数f(x)＝的定义域是(　　)

A．(k∈Z)

B．(k∈Z)

C．(k∈Z)

D．(k∈Z)

【解析】选A.f(x)有意义时，，所以tan x≥1，解得kπ＋≤x＜kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的定义域为(k∈Z).

3．已知函数y＝tan ωx在内单调递减，则(　　)

A．0＜ω≤1      B．－1≤ω＜0

C．ω≥1       D．ω≤－1

【解析】选B.因为y＝tan ωx在内是减函数，所以ω<0且T＝≥π，所以|ω|≤1，即－1≤ω＜0.

【补偿训练】

 函数y＝|tan (x＋)|的单调增区间为(　　)

A．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)

B．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)

C．(kπ，kπ＋)(k∈Z)

D．[kπ－，kπ＋)(k∈Z)

【解析】选D.令t＝x＋，则y＝|tan t|的单调增区间为(k∈Z).由kπ≤x＋<kπ＋，得kπ－≤x<kπ＋(k∈Z).Ｋ

4．已知函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图，则f＝(　　)

A．2＋    B．    C．    D．2－

【解析】选B. 由图象可知：T＝2＝，所以ω＝2，所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z).又|φ|<，所以φ＝.又f(0)＝1，所以A tan ＝1，得A＝1，所以f(x)＝tan ，所以f＝tan ＝tan ＝.

二、填空题(每小题5分，共20分)

5．y＝tan 满足下列哪些条件________(填序号).

①在上单调递增；②为奇函数；

③以π为最小正周期；④定义域为{x|x≠＋，k∈Z}．

【解析】令x∈(0，)，则∈(0，)，所以y＝tan 在(0，)上单调递增，①正确；tan (－)＝－tan ，故y＝tan 为奇函数，②正确；T＝＝2π，所以③不正确；由≠＋kπ，k∈Z，得{x|x≠π＋2kπ，k∈Z}，所以④不正确．

答案：①②

6．使函数y＝2tan x与y＝cos x同时单调递增的区间是________．

【解析】由y＝2tan x与y＝cos x的图象(图略)知，同时单调递增的区间为(k∈Z)和(k∈Z).

答案：(k∈Z)和(k∈Z)

7．若函数y＝tan ωx在内是减函数，则ω的取值范围为________．

【解析】由题意知其周期T≥π，即≥π.

所以|ω|≤1，

又函数为减函数，所以ω<0.

故－1≤ω＜0.

答案：[－1，0)

8．若tan ≤1，则x的取值范围是________．

【解析】令z＝2x－，在上满足tan z≤1的z的值是－<z≤，在整个定义域上有－＋kπ<z≤＋kπ，解不等式－＋kπ<2x－≤＋kπ，得－＋<x≤＋，k∈Z.

答案：－＋<x≤＋，k∈Z

三、解答题(共30分)

9．(10分)若x∈，求函数y＝＋2tanx＋1的最值及相应的x的值．

【解析】y＝＋2tanx＋1＝＋2tanx＋1＝tan2x＋2tanx＋2＝

(tan x＋1)2＋1.

因为x∈，所以tan x∈.

所以当tan x＝－1时，即x＝－时，y取最小值1；当tan x＝1时，即x＝时，y取最大值5.

10．(10分)已知函数f(x)＝3tan .

(1)求f(x)的定义域、值域．

(2)讨论f(x)的周期性，奇偶性和单调性．

【解析】(1)由x－≠＋kπ，k∈Z，解得x≠＋2kπ，k∈Z.所以定义域为{x|x≠＋2kπ，k∈Z}，值域为R.

(2)f(x)为周期函数，周期T＝＝2π.f(x)为非奇非偶函数．由－＋kπ<x－<＋kπ，k∈Z，解得－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z.

所以函数的单调递增区间为(k∈Z).

11．(10分)已知f(x)＝x2＋2x·tan θ－1，x∈，其中θ∈(－，).

(1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值与最小值．

(2)求θ的取值范围，且使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数．

【解析】(1)当θ＝－时f(x)＝x2－x－1＝(x－)2－，x∈[－1，]，所以当x＝时f(x)的最小值为－，当x＝－1时，f(x)的最大值为.

(2)因为f(x)＝x2＋2x·tan θ－1＝(x＋tan θ)2－1－tan2θ，所以原函数的图象的对称轴方程为x＝－tanθ.因为y＝f(x)在[－1，]上是单调函数，所以－tan θ≤－1或－tan θ≥，即tan θ≥1或tan θ≤－，所以＋kπ≤θ＜＋kπ或－＋kπ＜θ≤－＋kπ，k∈Z.又θ∈(－，)，

所以θ的取值范围是∪.