专题3.3 归纳总结答题技巧篇(高中数学解答题解题技巧)-2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）

专题3.3 高中数学解答题解题技巧

解题策略：

解答题是高考数学的一个大板块，是学生突破思维和能否取得高分的关键。对解答题的解题策略，首先需要审清题意，这是做好解答题最关键的一步，一定要全面、认真地审清关键词语、图形和符号，包括题中所涉及到的隐性条件等，恰当理解条件与所求目标间的联系，合理设计好解题程序。在做好第一步的同时，根据解答题的特点，探求不同的思路，是做好解答题的又一关键步骤。由于高考数学解答题设计比较灵活，寻求解题思路时，尽可能地将条件和问题熟悉化、具体化、简单化，再合理运用分析法和综合法将其不断地转化与化归，使问题不断清晰明了。除此之外，如果遇到一个很难的解答问题，可以将其分解为一系列的步骤，或者是一个个的小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少；还有的一些解答题分成了几步，而有时往往会在某一环节上卡壳，这时我们可以先承认这一未完成的中间结论，跳步解答，看能否得出最后的结论；如果所要解决的问题较为抽象和普遍，而较难证明和求解，不妨从一般到特殊转化，从具体到抽象转化，先将所求问题退化一步，拿到关键得分点；最后要注意书写格式的清晰和规范，这也是完成解答题的一种辅助方式。

解题技巧：

1、审清题意，综合所有条件，提炼全部已知线索，形成整体认识；

2、画好图形：涉及到图形的题目要做到定形状、定性质、定数量，注意图形中的可变因素，注意图形的运动和变换；

3、寻求合理的解题思路和方法，找到得分点：以退为进、正难则反、大胆猜测、分解分步；

4、确保运算准确，学会检验结果。

一、以退为进

【例1】已知函数.

（1）指出的基本性质（结论不要求证明）并作出函数的图像；

（2）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）关于的方程（）恰有6个不同的实数解，求的取值范围.

【例2】已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，其中、都是大于1的正整数，且，.

（1）求的值；

（2）若对于任意的，总存在，使得成立，求的值；

（3）令，问数列中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由.

【例3】已知椭圆：的右焦点与短轴两端点构成一个面积为的等腰直角三角形，为坐标原点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点在椭圆上，点在直线上，且，求证：为定值；

（3）设点在椭圆上运动，，且点到直线的距离为常数，求动点的轨迹方程．

【巩固训练】

1．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．

（1）设，判断在上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出的所有上界的集合；若不是，也请说明理由；

（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围．

2．设集合由满足下列两个条件的数列构成：①②存在实数使对任意正整数都成立．

（1）      现在给出只有5项的有限数列其中；

试判断数列是否为集合的元素；

（2）数列的前项和为且对任意正整数点在直线上，证明：数列并写出实数的取值范围；

（3）设数列且对满足条件②中的实数的最小值都有求证：数列一定是单调递增数列．

3．已知两动圆和（），把它们的公共点的轨迹记为曲线，若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足：．

（1）求曲线的方程；

（2）若的坐标为，求直线和轴的交点的坐标；

（3）证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标．

二、正难则反

【例4】设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两数、，恒有，则称为定义在上的函数．

（1）证明函数是定义域上的函数；

（2）判断函数是否为定义域上的函数，请说明理由；

（3）若是定义域为的函数，且最小正周期为，试证明不是上的函数．

【例5】对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的（）都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期.例如当时是周期为的周期数列，当时是周期为的周期数列.

（1）设数列满足（），（不同时为0），且数列是周期为的周期数列，求常数的值；

（2）设数列的前项和为，且.

①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；

②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；

（3）设数列满足（），，，，数列的前项和为，试问是否存在，使对任意的都有成立，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由.

【巩固训练】

1．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，且点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过作方向向量的直线交椭圆于、两点，求证：为定值．

2．已知数列的各项均不为零，，且对任意，都有．

（1）设若数列是等差数列，求；（5分）

（2）设当时，求证：是一个常数；（6分）

（3）当时，求数列的通项公式（7分）

三、大胆猜测

【例6】已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切线，切点分别为不在坐标轴上），若直线在轴，轴上的截距分别为证明：为定值；

（3）若是椭圆上不同的两点，轴，圆过且椭圆上任意一点都不在圆内，则称圆为该椭圆的一个内切圆. 试问：椭圆是否存在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．

【例7】已知数列 ，为其前项的和，满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，数列的前项和为，求证：当时；

（3）已知当，且时有，其中，求满足的所有的值．

【巩固训练】

1．已知双曲线的右顶点为，左焦点为，过且倾斜角为的直线与双曲线的另一个交点为，线段的中点的横坐标是．

（1）求双曲线的标准方程；（2）求的大小；

（3）若动点在双曲线的左支上，设，问的值是否随点的位置改变而改变？试说明理由．

2．已知数列中，，对任意的，、、成等比数列，公比为；、、成等差数列，公差为，且．

（1）写出数列的前四项；

（2）设，求数列的通项公式；

（3）求数列的前项和．

四、分解分步

【例8】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆＋＝1(a>b>0)上不同的三点，A(3，)，B(－3，－3)，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求点C的坐标；

(3)设动点P在椭圆上(异于点A，B，C)且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，证明·为定值并求出该定值.

【例9】设函数，其中为正整数.

（1）判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论；

（2）证明：；

（3）对于任意给定的正整数，求函数的最大值和最小值.

【例10】已知首项为的数列满足（为常数）。

（1）若对于任意的，有对于任意的都成立，求的值；

（2）当时，若，数列是递增数列还是递减数列？请说明理由；

（3）当确定后，数列由其首项确定，当时，通过对数列的探究，写出“是有穷数列”的一个真命题（不必证明）。

说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分。

【巩固训练】

1．已知曲线C上任意一点P到两定点F1(－1，0)与F2(1，0)的距离之和为4.

(1)求曲线C的方程；

(2)设曲线C与x轴负半轴交点为A，过点M(－4，0)作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点(B在M、C之间)，N为BC中点.

①证明：k·kON为定值；

②是否存在实数k，使得F1N⊥AC？如果存在，求直线l的方程，如果不存在，请说明理由.

2．在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，其中且.设.

（1）若，，，求方程在区间内的解集；

（2）若点是过点且法向量为的直线上的动点.当时，设函数的值域为集合，不等式的解集为集合. 若恒成立，求实数的最大值；

（3）根据本题条件我们可以知道，函数的性质取决于变量、和的值. 当时，试写出一个条件，使得函数满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”.

【说明：请写出你的分析过程.本小题将根据你对问题探究的完整性和在研究过程中所体现的思维层次，给予不同的评分.】

3．已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。

（1）      若，是否存在，有说明理由；

（2）      找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；

（3）      若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。

归纳总结：

对于解答题的难题，如函数、数列和解析几何，需要研究解题策略，会做的题目力求做对、做全、得满分，而对于不能全部完成的题目，需要学会缺步解答和跳步解答，解题过程中卡在某一环节时，可以承接中间结论，往下推，或直接利用前面的结论做下面的（2）、（3）问。