专题2.4 期中达标检测卷（一）-2021-2022学年八年级数学上册举一反三系列（人教版）

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2021-2022学年八年级数学上学期期中达标检测卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）2020年的春节，对于所有人来说真的不一般．为了打好疫情攻坚战，医护人员在岗位上同时间赛跑，与病魔较量，而我们每个人都能为打赢这场仗贡献一份力量．勤洗手，戴口罩，少聚会，积极配合；防控工作，照顾好自己和家人，还有，说出一句简单的：中国加油．武汉加油．在“中国加油”这4个汉字中，不可以看作轴对称图形的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：中，可以看作轴对称图形，
国、加、油，不可以看作轴对称图形，
故选：C．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）（2019秋•邹城市期中）如图，将△ABC的三个顶点坐标的横坐标都乘以﹣1，并保持纵坐标不变，则所得图形与原图形的关系是（　　）

A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．将原图形沿x轴的负方向平移了1个单位
D．将原图形沿y轴的负方向平移了1个单位
【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案．
【解答】解：将△ABC的三个顶点坐标的横坐标乘以﹣1，纵坐标不变，得
横坐标互为相反数，纵坐标相等，得
所得图形与原图形的关系是关于y轴对称，
故选：B．
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等；关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数．
3．（3分）（2020春•肥城市期末）已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（　　）
A．4cm B．6.5cm C．6.5cm或9cm D．4cm或6.5cm
【分析】分两种情况讨论：当4cm为腰长时，当4cm为底边时，分别判断是否符合三角形三边关系即可．
【解答】解：①若4cm是腰长，则底边长为：20﹣4﹣4＝12（cm），
∵4+4＜12，不能组成三角形，舍去；
②若4cm是底边长，则腰长为：17-42=6.5（cm）．
则腰长为6.5cm．
故选：B．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题难度不大，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
4．（3分）（2019秋•当涂县期末）如图，已知∠1＝∠2，下列添加的条件不能使△ADC≌△CBA的是（　　）

A．AB∥DC B．AB＝CD C．AD＝BC D．∠B＝∠D
【分析】由全等三角形的判定依次判断可求解．
【解答】解：A、由AB∥CD，可得∠DCA＝∠CAB，且∠1＝∠2，AC＝AC，能判定△ADC≌△CBA，故选项A不符合题意；
B、由AB＝CD，且∠1＝∠2，AC＝AC，不能判定△ADC≌△CBA，故选项B符合题意；
C、由AD＝BC，且∠1＝∠2，AC＝AC，能判定△ADC≌△CBA，故选项C不符合题意；
D，由∠B＝∠D，且∠1＝∠2，AC＝AC，能判定△ADC≌△CBA，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定方法是本题的关键．
5．（3分）（2019春•滕州市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，则下列结论正确的是（　　）

A．AE＝3CE B．AE＝2CE C．AE＝BD D．BC＝2CE
【分析】首先连接BE，由在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，可求得∠ABC的度数，又由AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝BE，继而可求得∠CBE的度数，然后由含30°角的直角三角形的性质，证得AE＝2CE．
【解答】解：连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE，故选：B．

【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，E点在AC边上，AD＝AE，若∠BAD＝24°，则∠EDC＝（　　）

A．24° B．20° C．15° D．12°
【分析】先根据三角形外角的性质得出∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+24°，∠AED＝∠C+∠EDC，再根据∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED即可得出结论．
【解答】解：∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+24°，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED＝∠C+∠EDC，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，
∴∠C+∠EDC＝∠AED＝∠ADE＝∠ADC﹣∠EDC＝∠B+∠BAD﹣∠CDE＝∠B+24°﹣∠EDC，
解得∠EDC＝12°，
故选：D．

【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，等腰三角形的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
7．（3分）（2020秋•普兰店区期末）如图，正五边形ABCDE中，直线l过点B，且l⊥ED，下列说法正确的有：①l是线段AC的垂直平分线；②∠BAC＝36°；③正五边形ABCDE有五条对称轴．（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】根据轴对称的性质解答即可．
【解答】解：∵正五边形ABCDE中，直线l过点B，且l⊥ED，
∴①l是线段AC的垂直平分线，正确；
②∠BAC＝36°，正确；
③正五边形ABCDE有五条对称轴，正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质；要熟练掌握轴对称的性质，能够求解一些简单的计算问题．
8．（3分）（2019春•龙华区期末）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．用尺规作图作出线段BD，则下列结论错误的是（　　）

A．AD＝BD B．∠DBC＝36°
C．S△ABD＝S△BCD D．△BCD的周长＝AB+BC
【分析】根据作图痕迹发现BD平分∠ABC，然后根据等腰三角形的性质进行判断即可．
【解答】解：∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
由作图痕迹发现BD平分∠ABC，
∴∠A＝∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴AD＝BD，故A、B正确；
∵AD≠CD，
∴S△ABD＝S△BCD错误，故C错误；
△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+AC＝BC+AB，
故D正确，
故选：C．
【点睛】考查了等腰三角形的性质，能够发现BD是角平分线是解答本题的关键．
9．（3分）（2019秋•临西县期末）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，P是CD边上的一动点，要使PA+PB的值最小，则点P应满足的条件是（　　）

A．PB＝PA B．PC＝PD C．∠APB＝90° D．∠BPC＝∠APD
【分析】作点A关于CD的对称点A'，连接A'B，则交点P即为符合题意的点，根据轴对称的性质解答即可．
【解答】解：如图所示，作点A关于CD的对称点A'，连接A'B，交CD于点P，连接AP，
则PA+PB的最小值为A'B的长，点P即为所求．

∵点A'与点A关于CD对称
∴∠APD＝∠A'PD
∵∠BPC＝∠A'PD
∴∠BPC＝∠APD
故D符合题意；
由图可知，选项A和选项B不成立，
而C只有在PC＝PB时成立，条件不充分．
故选：D．
【点睛】此题考查轴对称的性质，明确轴对称的相关性质并正确作图，是解题的关键．
10．（3分）（2019秋•莒县期中）如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且A、C、E三点共线．AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：
①AD＝BE；②∠AOB＝60°；③AP＝BQ； ④△PCQ是等边三角形；⑤PQ∥AE．其中正确结论的有（　　）个．

A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】结合等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质依次对各个结论分析即可作出判断．
【解答】解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，①正确；
②∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝60°，
∵△DCE是等边三角形，
∴∠EDC＝60°＝∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE＝∠DEO，
∴∠AOB＝∠DAC+∠BEC＝∠BEC+∠DEO＝∠DEC＝60°，②正确；
④∵∠DCP＝60°＝∠ECQ，
∴在△CDP和△CEQ中，
∠ADC＝∠BEC，CD＝CE，∠DCP＝∠ECQ，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．
∴CP＝CQ，
∴∠CPQ＝∠CQP＝60°，△PCQ是等边三角形，④正确；
⑤∵∠CPQ＝∠CQP＝60°，
∴∠QPC＝∠BCA，
∴PQ∥AE，⑤正确；
③同④得：△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP＝BQ，③正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）（2019•资阳）若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是　720°　．
【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和．
【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°＝6，
该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°．
故答案为：720°．
【点睛】解答本题的关键是求出该正多边形的边数与熟记多边形的内角和公式．
12．（3分）如图①是一张Rt△ABC纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形，如图②，那么在Rt△ABC中，BC＝6，则AB＝　12　．

【分析】根据正三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵Rt△ABC纸片，用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形，
∴AB＝2BC＝12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，关键是熟练掌握等边三角形的边长相等．
13．（3分）（2019秋•郯城县期末）如图，∠A＝∠D，要使△ABC≌△DBC，还需要补充一个条件：　∠ABC＝∠DBC或∠ACB＝∠DCB　（填一个即可）．

【分析】两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，据此可得结论．
【解答】解：∵∠A＝∠D，BC＝BC，
∴当∠ABC＝∠DBC或∠ACB＝∠DCB时，△ABC≌△DBC（AAS），
∴还需要补充一个条件为：∠ABC＝∠DBC或∠ACB＝∠DCB．
故答案为：∠ABC＝∠DBC或∠ACB＝∠DCB．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题时注意：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
14．（3分）（2019秋•思明区校级期中）如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，已知点D的坐标是（0，﹣4），AB的长是12，则△ABD的面积为　24　．

【分析】作DE⊥AB于E，如图，利用角平分线的性质得DE＝OD＝4，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，
∵点D的坐标是（0，﹣4），
∴OD＝4，
∵AD是Rt△OAB的角平分线，
∴DE＝OD＝4，
∴S△ABD=12×12×4＝24．
故答案为24．

【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
15．（3分）（2019秋•惠安县期末）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k．若k＝2，则该等腰三角形的顶角为　90　度．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵k＝2，
∴设顶角＝2α，则底角＝α，
∴α+α+2α＝180°，
∴α＝45°，
∴该等腰三角形的顶角为90°，
故答案为：90．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
16．（3分）（2020秋•集贤县期末）已知△ABC关于直线y＝1对称，C到AB的距离为2，AB长为6，则点A、点B的坐标分别为　（2，﹣2），（2，4）　．

【分析】根据题意，可得A、B的连线与y＝1垂直，且两点到直线y＝1的距离相等，又AB＝6，从而可以得出A、B两点的纵坐标；又C到AB的距离为2，从而可以得出A、B两点的横坐标．
【解答】解：由题可知：可得A、B的连线与y＝1垂直，且两点到直线y＝1的距离相等
∵AB＝6
∴A、B两点的纵坐标分别为﹣2和4
又∵C到AB的距离为2
∴A、B两点的横坐标都为2
∴A、B两点的坐标分别为（2，﹣2）（2，4）．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化﹣对称；解决此类题应认真观察，找着特点是解答问题的关键．
17．（3分）（2019•南通）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF，若∠BAE＝25°，则∠ACF＝　70　度．

【分析】先证明△ABE≌△CBF，可得∠BAE＝∠BCF＝25°；然后根据AB＝BC，∠ABC＝90°，求出∠ACB的度数，即可求出∠ACF的度数．
【解答】解：在Rt△ABE与Rt△CBF中，AE=CFAB=BC，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．
∴∠BAE＝∠BCF＝25°；
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠ACF＝25°+45°＝70°；
故答案为：70．
【点睛】此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．
18．（3分）（2019秋•庐江县期中）在△ABC中，AH是BC边上的高，若CH﹣BH＝AB，∠ABH＝70°，则∠BAC＝　75°或35°　．
【分析】当∠ABC为锐角时，过点A作AD＝AB，交BC于点D，根据等腰三角形的性质可得出∠ADB＝∠ABH＝70°、BH＝DH，结合AB+BH＝CH、CH＝CD+DH可得出CD＝AB＝AD，由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可求出∠C的度数，再根据三角形内角为180°即可求出∠BAC的度数；当∠ABC为钝角时，由AB+BH＝CH可得出AB＝BC，利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可求出∠BAC的度数．综上即可得出结论．
【解答】解：当∠ABC为锐角时，过点A作AD＝AB，交BC于点D，如图1所示．
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABH＝70°，BH＝DH．
∵AB+BH＝CH，CH＝CD+DH，
∴CD＝AB＝AD，
∴∠C=12∠ADB＝35°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABH﹣∠C＝75°．
当∠ABC为钝角时，作AH⊥BC于H，如图2所示．
∵CH﹣BH＝AB，
∴AB+BH＝CH，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB=12∠ABH＝35°．
故答案为：75°或35°．


【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，分∠ABC为锐角及∠ABC为钝角两种情况考虑是解题的关键．
三、解答题（共66分）
19．（6分）（2020秋•和县期中）如图，学校要在两条小路OM和ON之间的S区域规划修建一处“英语角”，按照设计要求，英语角C到两栋教学楼A，B的距离必须相等，到两条小路的距离也必须相等，则“英语角”应修建在什么位置？请在图上标出它的位置．（尺规作图，保留痕迹）

【分析】点OM、ON距离相等的点在∠NOM的平分线上，到两栋教学楼A，B的距离相等的点在AB的垂直平分线线上．
【解答】解：如图所示：

作∠NOM的角平分线和线段AB的中垂线，它们的交点为C，则C点就是英语角的位置．
【点睛】本题主要考查的是作图﹣﹣应用与设计，掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
20．（6分）（2020秋•柳林县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点△A1，B1，C1的坐标（直接写答案）：A1　（3，2）　；B1　（4，﹣3）　；C1　（1，﹣1）　；
（3）△A1B1C1的面积为　6.5　；
（4）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．

【分析】（1）根据关于y轴对称点的性质得出各对应点位置进而得出答案；
（2）利用（1）中作画图形，进而得出各点坐标；
（3）利用△ABC所在矩形面积减去△ABC周围三角形面积进而求出即可；
（4）利用轴对称求最短路径的方法得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）A1 （3，2）；B1 （4，﹣3）；C1 （1，﹣1）；
故答案为：（3，2）；（4，﹣3）；（1，﹣1）；
（3）△A1B1C1的面积为：3×5-12×2×3-12×1×5-12×2×3＝6.5；
（4）如图所示：P点即为所求．

【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法等知识，正确利用轴对称图形的性质得出是解题关键．
21．（7分）（2019•眉山）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，点E是CD的中点，AE＝BE．求证：∠D＝∠C．

【分析】由等腰三角形的性质和平行线的性质证出∠DEA＝∠CEB，由SAS证明△ADE≌△BCE，即可得出结论．
【解答】证明：∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，
∵AB∥DC，
∴∠DEA＝∠EAB，∠CEB＝∠EBA，
∴∠DEA＝∠CEB，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△BCE中，DE=CE∠DEA=∠CEBAE=BE，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴∠D＝∠C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．（7分）（2019秋•金乡县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F，D是BC边上的中点，连结AD．
（1）若∠BAD＝55°，求∠C的度数；
（2）猜想FB与FE的数量关系，并证明你的猜想．

【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用直角三角形两锐角互余求出∠ABC，然后等腰三角形的性质即可解决问题．
（2）证明∠FBE＝∠FEB即可证明猜想．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝55°，
∴∠C＝∠ABC＝90°﹣55°＝35°．
（2）FB＝FE，
证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE=12∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F．
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）求证：AB垂直平分DF．

【分析】（1）根据∠ACB＝90°，求证∠CAD＝∠BCF，再利用BF∥AC，求证∠ACB＝∠CBF＝90°，然后利用ASA即可证明△ACD≌△CBF．
（2）先根据ASA判定△ACD≌△CBF得到BF＝BD，再根据角度之间的数量关系求出∠ABC＝∠ABF，即BA是∠FBD的平分线，从而利用等腰三角形三线合一的性质求证即可．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵CE⊥AD，
∴∠CAD+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠CAD＝∠BCF，
∵BF∥AC，
∴∠FBA＝∠CAB＝45°
∴∠ACB＝∠CBF＝90°，
在△ACD与△CBF中，
∵∠CAD=∠BCFAC=BC∠ACB=∠CBF，
∴△ACD≌△CBF；
（2）证明：连接DF．
∴BF⊥BC．
∴∠CBF＝90°，
∵△ACD≌△CBF，
∴CD＝BF．
∵CD＝BD=12BC，
∴BF＝BD．
∴△BFD为等腰直角三角形．
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠ABC＝45°．
∵∠FBD＝90°，
∴∠ABF＝45°．
∴∠ABC＝∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．
∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，
即AB垂直平分DF．

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和角平分线的定义以及线段的垂直平分线的性质等几何知识．要注意的是：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
24．（10分）（2019秋•鄞州区期末）定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．
（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，求证：△ABC是倍角三角形；
（2）若△ABC是倍角三角形，∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，AC=42，求△ABC面积；
（3）如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE＝AB，若AB+AC＝BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．

【分析】（1）由条件求出∠B＝∠C＝72°，根据“倍角三角形”的定义可得出答案；
（2）①当∠B＝2∠C，可得∠C＝15°，过C作CH⊥直线AB，垂足为H，求出AH＝4，BH＝43，则AB可求出，根据S=12AB⋅CH可求出答案；②当∠A＝2∠B或∠A＝2∠C时，与∠A＞∠B＞∠C矛盾，故不存在．
（3）证明△ABD≌△AED，可得∠ADE＝∠ADB，BD＝DE，证明CE＝DE，得出∠C＝∠BDE＝2∠ADC，可得出∠ABC＝2∠C．则结论得证．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝36°，
∴∠B＝∠C＝72°，
∴∠A＝2∠C，
即△ABC是倍角三角形，
（2）解：∵∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，
①当∠B＝2∠C，得∠C＝15°，
过C作CH⊥直线AB，垂足为H，

可得∠CAH＝45°，
∴AH＝CH=22AC＝4．
∴BH=43，
∴AB＝BH﹣AH=43-4，
∴S=12AB⋅CH=83-8．
②当∠A＝2∠B或∠A＝2∠C时，与∠A＞∠B＞∠C矛盾，故不存在．
综上所述，△ABC面积为83-8．
（3）△ADC和△ABC是倍角三角形，证明如下：
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD＝∠EAD，
∵AB＝AE，AD＝AD，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠ADE＝∠ADB，BD＝DE．
又∵AB+AC＝BD，
∴AE+AC＝BD，即CE＝BD．
∴CE＝DE．
∴∠C＝∠BDE＝2∠ADC．
∴△ADC是倍角三角形．
∵△ABD≌△AED，
∴∠E＝∠ABD，
∴∠E＝180°﹣∠ABC，
∵∠E＝180°﹣2∠C，
∴∠ABC＝2∠C．
∴△ABC是倍角三角形．
【点睛】本题是三角形的综合问题，考查了“倍角三角形”的定义、三角形的面积、直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
25．（10分）数学课上，王老师出示了下面的题目：在△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，试确定线段AE与DB的大小关系．小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答．
（1）特殊情况，探索结论：在等边三角形ABC中，当点E为AB的中点时，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图①，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论　AE＝DB　；
（2）特例启发，解答题目：王老师给出的题目中，AE与DB的大小关系是　AE＝DB　．
理由如下：如图②，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）

【分析】（1）当E为中点时，根据等腰三角形三线合一先得EC是角平分线，则∠ECD＝30°，证明∠D＝∠DEB＝30°，所以DB＝BE，由中点定义可得AE＝BE，进而得到AE＝DB；
（2）过E作EF∥BC交AC于点F，可利用AAS证明△BDE≌△FEC，可得BD＝EF，再证明△AEF是等边三角形，可得到AE＝EF，进而得出AE＝DB；
【解答】解：（1）AE＝DB，
理由如下：如图①中，∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵点E为AB的中点，
∴∠ECD=12∠ACB＝30°，
∴∠EDC＝30°，
∴∠D＝∠DEB＝30°，
∴DB＝BE，
∵AE＝BE，
∴AE＝DB，
故答案为：AE＝DB．
（2）AE与DB的大小关系是：AE＝DB．
理由如下：
如图②中，过点E作EF∥BC，交AC于点F．
∵△ABC为等边三角形，且EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，∠FEC＝∠ECB，
∴∠EFC＝∠DBE＝120°，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECB，∠D＝∠FEC，
在△EFC与△DBE中，
∠FEC=∠D∠EFC=∠DBEEC=DE，
∴△EFC≌△DBE（AAS），
∴EF＝DB，
∵∠AEF＝∠AFE＝60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，AE＝DB，
故答案为：AE＝DB．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质和判定等知识；解题的关键是作辅助线，灵活运用等边三角形的性质、全等三角形的判定等几何知识点来分析、判断．
26．（12分）（2019春•萍乡期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝9厘米，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明；
②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ？
（2）若点Q以②的运动速度从点C出发点，P以原来运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC的三边运动，求多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

【分析】（1）①先求得BP＝CQ＝3，PC＝BD＝6，然后根据等边对等角求得∠B＝∠C，最后根据SAS即可证明；
②因为VP≠VQ，所以BP≠CQ，又∠B＝∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP＝CP＝4.5，根据全等得出CQ＝BD＝6，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度；
（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．
【解答】解：（1）①∵t＝1（秒），
∴BP＝CQ＝3（厘米）
∵AB＝12，D为AB中点，
∴BD＝6（厘米）
又∵PC＝BC﹣BP＝9﹣3＝6（厘米）
∴PC＝BD
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BPD与△CQP中，
BP=CQ∠B=∠CBD=PC，
∴△BPD≌△CQP（SAS），
②∵VP≠VQ，
∴BP≠CQ，
又∵∠B＝∠C，
要使△BPD≌△CPQ，只能BP＝CP＝4.5，
∵△BPD≌△CPQ，
∴CQ＝BD＝6．
∴点P的运动时间t=BP3=4.53=1.5（秒），
此时VQ=CQt=61.5=4（厘米/秒）．
（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程
设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得4x＝3x+2×12，
解得x＝24（秒）
此时P运动了24×3＝72（厘米）
又∵△ABC的周长为33厘米，72＝33×2+6，
∴点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质．