考点10 二次函数-2022年中考数学高频考点专题突破（全国通用）（解析版）

这是一份考点10 二次函数-2022年中考数学高频考点专题突破（全国通用）（解析版），共67页。试卷主要包含了二次函数y=ax2+bx+c等内容，欢迎下载使用。

考点10.二次函数
知识框架


基础知识点
知识点1-1二次函数的相关概念
1）二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2）二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
知识点1-2二次函数的图象及性质
1）二次函数的图象与性质
解析式
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴
x=–
顶点
（–，）
a的符号
a>0
a<0
图象


开口方向
开口向上
开口向下
最值
当x=–时，y最小值=
当x=–时，y最大值=
最点
抛物线有最低点
抛物线有最高点
增减性
当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大
当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小
2）二次函数图象的特征与a，b，c的关系

字母的符号
图象的特征
a
a>0
开口向上
a<0
开口向下
b
b=0
对称轴为y轴
ab>0（a与b同号）
对称轴在y轴左侧
ab<0（a与b异号）
对称轴在y轴右侧
c
c=0
经过原点
c>0
与y轴正半轴相交
c<0
与y轴负半轴相交
知识点1-3抛物线的平移
1）将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．
2）保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：

3）注意：二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式.
知识点1-4二次函数与一元二次方程的关系
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．
2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
知识点1-5二次函数的综合
1)函数存在性问题:解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．
2)函数动点问题
（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．
（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．
（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．

重难点题型
题型1 二次函数的有关概念
【解题技巧】1）．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零．2）．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化．3）.二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
1．（2020·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标为__________________．
【答案】(1，8)
【分析】根据题意可知，本题考察二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，进行求解．
【解析】解：由二次函数性质可知，的顶点坐标为(，)
∴的顶点坐标为(1，8) 故答案为：(1，8)
【点睛】本题考查了二次函数的性质，先把函数解析式配成顶点式根据顶点式即可得到顶点坐标．
2．（2020·江苏无锡·中考真题）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为轴：__________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据二次函数的图象和性质，对称轴为轴，即b=0，写出满足条件的函数解析式即可.
【解析】解：设函数的表达式为y=ax2+bx+c，
∵图象的对称轴为y轴，∴对称轴为x==0，∴b=0，
∴满足条件的函数可以是：.（答案不唯一）故答案是：y=x2（答案不唯一）
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
3．（2020·山东临沂·中考真题）已知抛物线．
（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
【答案】（1）；（2）或；（3）当a＞0时，；当a＜0时，或．
【分析】（1）将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；（2）根据（1）中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0，解一元二次方程，即可得到的值，进而得到其解析式；
【解析】（1）∵，∴，∴其对称轴为：．
（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为：，
∵抛物线顶点在轴上，∴，解得：或，
当时，其解析式为：，
当时，其解析式为：，
综上，二次函数解析式为：或．
【点睛】本题考查了二次函数对称轴，解析式的计算，熟知相关计算是解题的关键．
4.（2019·重庆中考真题）抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】C
【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．
【解析】解：∵，
∴抛物线顶点坐标为，对称轴为．故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．

题型2 二次函数与一次函数的图形综合
1．（2020·山东菏泽·中考真题）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【解析】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a>0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，∴a>0，b>0，
∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a<0，b>0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，C错误；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D错误．故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．
2．（2020·四川达州·中考真题）如图，直线与抛物线交于A、B两点，则的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题目所给的图像，首先判断中k＞0，其次判断中a＜0，b＜0，c＜0，再根据k、b、的符号判断中b-k＜0，又a＜0，c＜0可判断出图像．
【解析】解：由题图像得中k＞0，中a＜0，b＜0，c＜0，∴b-k＜0，
∴函数对称轴x=＜0，交x轴于负半轴，∴当时，即，
移项得方程，∵直线与抛物线有两个交点，
∴方程有两个不等的解，即与x轴有两个交点，
根据函数对称轴交x轴负半轴且函数图像与x轴有两个交点，
∴可判断B正确．故选：B
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象与性质，解题的关键是根据图像判断k、a、b、c的正负号，再根据二次函数与一元二次方程的关系判断出正确图像．
3．（2020·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案．
【解析】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，则反比例函数的图象在第二、四象限，
一次函数经过第一、二、四象限，故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，关键是根据二次函数图象确定出a、b、c的符号．
4．（2020·甘肃天水·中考真题）若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　　)

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的图像即可判断出、b、c与0的大小关系，然后根据一次函数和反比例函数的图像特点确定答案．
【解析】解：∵抛物线开口向上∴＞0∵抛物线对称轴＞0∴b＜0
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴上∴c＞0
∴当＞0，b＜0时，一次函数的图像过第一、三、四象限；
当c＞0时，反比例函数的图像过第一、三象限．故选B．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数图像与系数的关系，解答本题的关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质．

题型3 二次函数的图形与字母系数的关系
1．（2020·四川凉山·中考真题）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】由抛物线的对称轴公式即可对②进行判断；由抛物线的开口方向可判断a，结合抛物线的对称轴可判断b，根据抛物线与y轴的交点可判断c，进而可判断①；由图象可得：当x=3时，y＞0，即9a+3b+c＞0，结合②的结论可判断③；由于当x=1时，二次函数y取最小值a+b+c，即（m为实数），进一步即可对④进行判断，从而可得答案．
【解析】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x=1，∴，∴b＜0，，故②正确；
∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴，故①正确；
∵当x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，∵，∴，
整理即得：，故③正确；∵当x=1时，二次函数y取最小值a+b+c，
∴（m为实数），即（m为实数），故④正确．
综上，正确结论的个数有4个．故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与其系数间的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
2．（2020·山东东营·中考真题）如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，其对称轴与轴交于点其中两点的横坐标分别为和下列说法错误的是（ ）

A． B． C． D．当时，随的增大而减小
【答案】B
【分析】根据开口方向、对称轴、与轴交点即可分别判断符号，进而判断A选项；由两点的横坐标分别为和可得两个方程，判断B选项；由当时判断C选项；由二次函数对称轴及增减性判断D选项.
【解析】∵开口向下，与轴交点在正半轴∴
∵两点的横坐标分别为和∴
∴ ∴，故A选项正确，B选项错误
∵两点的横坐标分别为和 ∴B点横坐标为3 ∴当时，故C选项正确
∵当时，随的增大而减小∴当时，随的增大而减小，故D选项正确 故选：B.
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，重点考查二次函数系数符号与图象的关系，熟记二次函数图象性质是解题的关键.
3．（2020·湖南中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】先由抛物线与x轴的交点个数判断出结论①，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b＞0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论②，利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论③，最后用x＝﹣2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．
【解析】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴﹣＝2，∴4a+b＝0，故③正确，
由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，∴abc＜0，故②正确，由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，
即正确的结论有3个，故选：B．
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知各系数与图像的关系．
4．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中：①；②；③与是抛物线上两点，若，则；④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；⑤若，则，正确的个数是（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】根据图像得出a＜0，c＜0，b＞0，可判断①；再由图像可得对称轴在直线x=2右侧，可得，可判断②；再根据二次函数在y轴右侧时的增减性，判断③；根据抛物线对称轴为直线x=3，得出，再利用作差法判断④；最后根据AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，得出a+b+c≥0，再由当x=4时，得出16a+4b+c=0，变形为a=，代入，可得4b+5c≥0，结合c的符号可判断⑤.
【解析】解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，c＜0，，∴b＞0，∴abc＞0，故①正确；
如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，
∴对称轴在直线x=2右侧，即，∴，又a＜0，∴4a+b＞0，故②正确；
∵与是抛物线上两点，，
可得：抛物线在上，y随x的增大而增大，
在上，y随x的增大而减小，∴不一定成立，故③错误；
若抛物线对称轴为直线x=3，则，即，
则===≤0，
∴，故④正确；
∵AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，当x=1时，代入，y=a+b+c≥0，
当x=4时，16a+4b+c=0，∴a=，则，整理得：4b+5c≥0，
则4b+3c≥-2c，又c＜0，-2c＞0，∴4b+3c＞0，故⑤正确，故正确的有4个.故选B.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是能根据图像得出二次函数表达式各系数的符号.
5．（2020·辽宁丹东·中考真题）如图，二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点在与之间（不包括这两点），抛物线的顶点为，对称轴为直线，有以下结论：①；②若点，点是函数图象上的两点，则；③；④可以是等腰直角三形．其中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【解析】解：①由开口可知：a＜0，∴对称轴x=−＞0，∴b＞0，
由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，∴abc＜0，故①错误；
②由于＜2＜，且（，y1）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y1），
∵＜，∴y1＜y2，故②正确，
③∵−=2，∴b=-4a，∵x=-1，y=0，∴a-b+c=0，∴c=-5a，
∵2＜c＜3，∴2＜-5a＜3，∴，故③正确
④根据抛物线的对称性可知，AB=6，∴，
假定抛物线经过（0，2），（-1，0），（5，0），设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-5)，则a=-，
∴y=-(x-2)2+∵＞3∴不可以是等腰直角三形．故④错误．
所以正确的是②③，共2个．故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
6．（2020·广东中考真题）如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】由抛物线的性质和对称轴是，分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个交点，可判断②；由，得，令，求函数值，即可判断③；令时，则，令时，，即可判断④；然后得到答案．
【解析】解：根据题意，则，，∵，∴，∴，故①错误；
由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确；
∵，令时，，∴，故③正确；
在中，令时，则，令时，，
由两式相加，得，故④正确；∴正确的结论有：②③④，共3个；故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号．
7．（2020·湖北襄阳·）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小，其中正确的有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据抛物线的开口向上，得到a＞0，由于抛物线与y轴交于负半轴，得到c＜0，于是得到ac＜0，故①正确；根据抛物线的对称轴为直线x＝−，于是得到2a＋b＝0，当x=-1时，得到故②正确；把x＝2代入函数解析式得到4a＋2b＋c＜0，故③错误；抛物线与x轴有两个交点，也就是它所对应的方程有两个不相等的实数根，即可得出③正确根据二次函数的性质当x＞1时，y随着x的增大而增大，故④错误．
【解析】解：①∵抛物线开口向上与y轴交于负半轴，∴a＞0,c＜0∴ac＜0故①正确；
②∵抛物线的对称轴是x=1，∴∴b=-2a∵当x=-1时，y=0∴0=a-b+c∴3a+c=0故②正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，即一元二次方程有两个不相等的实数解
∴∴故③正确；
④当-1＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时y随x的增大而增大．故④错误
所以正确的答案有①、②、③共3个故选：B
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数与x轴的交点，正确识别图象，并逐一分析各结论是解题的关键．

题型4 二次函数的性质
【解题技巧】二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等．
1．（2020·贵州黔东南·初三月考）已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是
C．当时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴有唯一交点
【答案】C
【分析】由抛物线的二次项的系数判断A，把抛物线写成顶点式，可判断B，由得抛物线的图像在对称轴的左侧，从而得到y随x的增大而增大，利用的值，判断D．
【解析】解：＜ 所以抛物线的开口向下，故A错误，
所以抛物线的顶点为： 故B错误，
当，即在抛物线的对称轴的左侧，y随x的增大而增大，故C正确，
＞
所以抛物线与轴有两个交点，故D错误，故选C．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向，顶点坐标，增减性，及与轴的交点个数的判断方法是解题的关键．
3．（2020·江苏南京·中考真题）下列关于二次函数（为常数）的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是__________．
【答案】①②④
【分析】①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当时，y的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数的顶点坐标，再代入函数进行验证即可得．
【解析】当时，将二次函数的图象先向右平移m个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象；当时，将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象
该函数的图象与函数的图象形状相同，结论①正确
对于 当时，
即该函数的图象一定经过点，结论②正确
由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
则结论③错误
的顶点坐标为 对于二次函数 当时，
即该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论④正确
综上，所有正确的结论序号是①②④故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
4．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点，则
B．当时，y有最小值
C．对应的函数值比最小值大7
D．当时，图象与x轴有两个不同的交点
【答案】C
【分析】求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求出a即可判断A；将函数表达式化为顶点式，即可判断B；求出当x=2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函数对应方程的根的判别式，根据a值判断判别式的值，即可判断D.
【解析】解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，表达式为：=，
若过点（4，5），则，解得：a=-5，故选项正确；
B、∵，开口向上，
∴当时，y有最小值，故选项正确；
C、当x=2时，y=a+16，最小值为a-9，a+16-（a-9）=25，即对应的函数值比最小值大25，故选项错误；
D、△==9-a，当a＜0时，9-a＞0，即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，故选C.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，涉及到二次函数的基本知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质，以及与一元二次方程的关系.
5．（2020·湖南岳阳·中考真题）在，，1，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数中的值，则该二次函数图象开口向上的概率是_____________．
【答案】
【分析】当a大于0时，该二次函数图象开口向上，根据这个性质利用简单概率计算公式可得解．
【解析】解：当a大于0时，二次函数图象开口向上，
，，1，2，3中大于0的数有3个，所以该二次函数图象开口向上的概率是，故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和简单的概率计算，难度不大，是一道较好的中考题．
6．（2020·四川雅安·中考真题）从中任取一数作为，使抛物线的开口向上的概率为__________．
【答案】
【分析】使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的条件是a＞0，据此从所列5个数中找到符合此条件的结果，再利用概率公式求解可得．
【解析】解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的有3种结果，∴使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的概率为，故答案为：.
【点睛】本题考查概率公式的计算，根据题意正确列出概率公式是解题的关键．

题型5 二次函数的平移
【解题技巧】1）抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．
2）涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a（x–h）2+k的形式．
3）抛物线的移动主要看顶点的移动，y=ax2的顶点是（0，0），y=a（x–h）2的顶点是（h，0），
y=a（x–h）2+k的顶点是（h，k）．4）抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．
1．（2020·黑龙江哈尔滨·中考真题）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解．
【解析】解：将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后，
函数的表达式为：．故选：D．
【点睛】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
2．（2020·浙江衢州·中考真题）二次函数y=x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（　　）
A．向左平移2个单位，向下平移2个单位 B．向左平移1个单位，向上平移2个单位
C．向右平移1个单位，向下平移1个单位 D．向右平移2个单位，向上平移1个单位
【答案】C
【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可．
【解析】解：A、平移后的解析式为y=（x+2）2﹣2，当x=2时，y=14，本选项不符合题意．
B、平移后的解析式为y=（x+1）2+2，当x=2时，y=11，本选项不符合题意．
C、平移后的解析式为y=（x﹣1）2﹣1，当x=2时，y=0，函数图象经过（2，0），本选项符合题意．
D、平移后的解析式为y=（x﹣2）2+1，当x=2时，y=1，本选项不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的平移问题，掌握二次函数的平移特征是解题的关键．
3．（2020·江苏宿迁·中考真题）将二次函数y=(x﹣1)2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为(　　)
A．y=(x+2)2﹣2 B．y=(x﹣4)2+2 C．y=(x﹣1)2﹣1 D．y=(x﹣1)2+5
【答案】D
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解析】由“上加下减”的原则可知，将二次函数的图象向上平移3个单位长度，
所得抛物线的解析式为：，即；故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
4．（2020·湖北孝感·中考真题）将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式，再因为关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数，由此可直接得出抛物线的解析式．
【解析】解：抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线：，即抛物线：;由于抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为：.
故选：A．
【点睛】主要考查了函数图象的平移、对称，要求熟练掌握平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式以及关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数．
5．（2020·黑龙江绥化·中考真题）将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】按照“左加右减，上加下减”的平移法则，变换解析式，然后化简即可．
【解析】将抛物线向左平移3个单位长度，得到，
再向下平移2个单位长度，得到，整理得，故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题关键．
6．（2020·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．
【解析】解：，该抛物线顶点坐标是，，
将其沿轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是，，
，，，
，
点，在第四象限；故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．

题型6 二次函数与方程、不等式结合
【解题技巧】抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点个数及相应一元二次方程根的情况由Δ=b2–4ac决定.
1）当Δ>0，即抛物线与x轴有两个交点时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根．
2）当Δ=0，即抛物线与x轴有一个交点（即顶点）时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标．
3）当Δ<0，即抛物线与x轴无交点时，方程ax2+bx+c=0无实数根，此时抛物线在x轴的上方（a>0时）或在x轴的下方（a<0时）．
1．（2020·湖北荆门·中考真题）若抛物线经过第四象限的点），则关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个大于1的不相等实数根 B．有两个小于1的不相等实数根
C．有一个大于1另一个小于1的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【分析】根据抛物线的图像进行判断即可．
【解析】∵a>0，∴抛物线开口向上，∵抛物线经过第四象限的点（1，-1）
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，一个大于1另一个小于1，故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线的图像和性质，判断出抛物线的图像是解题关键．
2．（2020·贵州贵阳·中考真题）已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程有两个根，其中一个根是3．则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A．或0 B．或2 C．或3 D．或4
【答案】B
【分析】由题意可得方程的两个根是﹣3，1，方程在y的基础上加m，可以理解为二次函数的图象沿着y轴平移m个单位,由此判断加m后的两个根,即可判断选项．
【解析】二次函数的图象经过与两点，
即方程的两个根是﹣3和1，
可以看成二次函数y的图象沿着y轴平移m个单位,得到一个根3，
由1到3移动2个单位，可得另一个根为﹣5.由于0＜n＜m，
可知方程的两根范围在﹣5~﹣3和1~3，由此判断B符合该范围．故选B．
【点睛】本题考查二次函数图象与一元二次方程的综合,关键在于方程加减任意数值可理解为在图像上进行平移．
3．（2020·湖南岳阳·中考真题）对于一个函数，自变量取时，函数值等于0，则称为这个函数的零点．若关于的二次函数有两个不相等的零点，关于的方程有两个不相等的非零实数根，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据根与系数的关系可以求出，的值，用作差法比较的大小关系，的大小关系，根据可求出m的取值范围，结合的大小关系，的大小关系从而得出选项．
【解析】解：∵是的两个不相等的零点
即是的两个不相等的实数根∴
∵解得
∵方程有两个不相等的非零实数根∴
∵ 解得
∴＞0 ∴
∵， ∴
∴ ∴
而由题意知解得 当时，，；
当时，，；当m=-2时，无意义；当时，，
∴取值范围不确定，故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判别式与根的关系及一元二次方程与二次函数的关系．解题的关键是熟记根与系数的关系，对于（a≠0）的两根为，则．
5．（2020·浙江杭州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（　　）
A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0
C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0
【答案】B
【分析】选项B正确，利用判别式的性质证明即可．
【解析】解：选项B正确．理由：∵M1＝1， ∴a2﹣4＝0，
∵a是正实数，∴a＝2，∵b2＝ac，∴c＝b2，∵M2＝0，∴b2﹣8＜0，∴b2＜8，
对于y3＝x2+cx+4，则有△＝c2﹣16＝b2﹣16＝（b2﹣64）＜0，∴M3＝0，∴选项B正确，故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与x轴的交点个数及一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本题的关键．
6．（2020·四川眉山·中考真题）已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，从而解得a≥-2，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得a≤3，从而得出选项．
【解析】解：
∵图象与x轴有交点，∴△=（-2a）2-4（a2-2a-4）≥0解得a≥-2；
∵抛物线的对称轴为直线 抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，
∴a≤3，∴实数a的取值范围是-2≤a≤3．故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．
7．（2020·四川中考真题）已知不等式ax+b0的解集为x2，则下列结论正确的个数是（　　）
（1）2a+b＝0；（2）当ca时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点；
（3）当c0时，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝ax+b的上方；
（4）如果b3且2a﹣mb﹣m＝0，则m的取值范围是﹣m0．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由不等式的解集得出a＜0，﹣=2，即b=﹣2a，从而得出2a+b=0，即可判断（1）；根据△=4a（a﹣c）＞0即可判断（2）；求得抛物线的顶点为（1，a﹣c）即可判断（3）；求得0＜﹣＜3，得出不等式组的解集为﹣＜m＜0即可判断（4）．
【解析】（1）∵不等式ax+b＞0的解集为x＜2，∴a＜0，﹣=2，即b=﹣2a，∴2a+b=0，故结论正确；
（2）函数y=ax2+bx+c中，令y=0，则ax2+bx+c=0，∵b=﹣2a，∴△=b2﹣4ac=（﹣2a）2﹣4ac=4a（a﹣c），
∵a＜0，c＞a，∴△=4a（a﹣c）＞0，
∴当c＞a时，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，故结论错误；
（3）∵b=﹣2a，∴﹣=1，==c﹣a，∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（1，c﹣a），
当x=1时，直线y=ax+b=a+b=a﹣2a=﹣a＞0当c＞0时，c﹣a＞﹣a＞0，
∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=ax+b的上方，故结论正确；
（4）∵b=﹣2a，∴由2a﹣mb﹣m=0，得到﹣b﹣mb﹣m=0，∴b=﹣，如果b＜3，则0＜﹣＜3，
∴﹣＜m＜0，故结论正确；故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，由题意得到b=﹣2a是解题的关键．
8．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知二次函数，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程的两根之积为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得二次函数图像的对称轴为y轴，从而求出a值，再利用根与系数的关系得出结果.
【解析】解：∵二次函数，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图像的对称轴为直线x=0，即y轴，则，
解得：a=-2，则关于x的一元二次方程为，
则两根之积为，故选D.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是得出二次函数图像的对称轴为y轴.

题型7 二次函数的实际应用问题
【解题技巧】在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题．
1．（2020·山西中考真题）竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将=，=代入，利用二次函数的性质求出最大值，即可得出答案．
【解析】解：依题意得：=，=，把=，=代入得
当时，
故小球达到的离地面的最大高度为： 故选：C
【点睛】本题考查二次函数的性质的应用利用二次函数在对称轴处取得最值是解决本题的关键属于基础题．
2．（2020·四川绵阳·中考真题）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　）

A．4米 B．5米 C．2米 D．7米
【答案】B
【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解．
【解析】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=，

设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+，∵BC=10，∴点B（﹣5，0），∴0=a×（﹣5）2+，∴a=-，
∴大孔所在抛物线解析式为y=-x2+，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m（x﹣b）2，∵EF=14，∴点E的横坐标为-7，∴点E坐标为（-7，-），
∴-=m（x﹣b）2，∴x1=+b，x2=-+b，∴MN=4，∴|+b-（-+b）|=4
∴m=-，∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-（x﹣b）2，
∵大孔水面宽度为20米，∴当x=-10时，y=-，∴-=-（x﹣b）2，
∴x1=+b，x2=-+b，∴单个小孔的水面宽度=|（+b）-（-+b）|=5（米），
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
3．（2020·湖南长沙·中考真题）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：（a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )

A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟
【答案】C
【分析】将图中三个坐标代入函数关系式解出a和b,再利用对称轴公式求出即可．
【解析】将(3,0.8)(4,0．9)(5,0.6)代入得:
②－①和③－②得
⑤－④得,解得a=﹣0.2．将a=﹣0.2．代入④可得b=1.5．
对称轴=．故选C．
【点睛】本题考查二次函数的三点式,关键在于利用待定系数法求解,且本题只需求出a和b即可得出答案．
4．（2020·湖北鄂州·中考真题）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）；（2）这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；（3）．
【分析】（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，代入表中的数据求解即可；
（2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w，根据总利润=单件利润×销售量列出函数关系式求最大值，注意x的取值范围；（3）写出w关于x的函数关系式，根据当x≤15时，利润仍随售价的增大而增大，可得，求解即可．
【解析】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，
代入（4，10000），（5，9500）可得：，解得：，
即y与x的函数关系式为；
（2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w，
根据题意可得：，解得：，

∵，∴当x=12时，w有最大值，w=54000，
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元．
（3）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w，
当每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元时，

由题意，当x≤15时，利润仍随售价的增大而增大，可得：，解得：m≥3，
∵∴故m的取值范围为：．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用——最大利润问题，解题的关键是根据题意列出函数关系式，通过配方法找到最大值．
5．（2020·四川成都·中考真题）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量（单位：件）与线下售价（单位：元/件，）满足一次函数的关系，部分数据如下表：

（1）求与的函数关系式；（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
【答案】（1）；（2）当线下售价定为19元/件时，月利润总和最大，此时最大利润是7300元．
【分析】（1）由待定系数法求出y与x的函数关系式即可；（2）设线上和线下月利润总和为w元，则w=400（x-2-10）+y（x-10）=400x-4800+（-100x+2400）（x-10）=-100（x-19）2+7300，由二次函数的性质即可得出答案．
【解析】解：（1）因为y与x满足一次函数的关系，所以设y=kx+b.
将点（12，1200），（13，1100）代入函数解析式得解得
∴与的函数关系式为．
（2）设商家线上和线下的月利润总和为元，则可得
=400（x-12）+（-100x+2400）（x-10）=-100x2+3800x-28800
=，因为-100<0，所以当x=19时，w有最大值，为7300，
所以当线下售价定为19元/件时，月利润总和最大，此时最大利润是7300元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数的解析式等知识；弄清题意，找准各量间的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．（2020·四川甘孜·中考真题）某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．（1）求k，b的值；（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．
【答案】（1）k=-1，b=80；（2），最大利润为400元．
【分析】（1）将“当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件”代入一次函数，即可解答；
（2）根据利润=销售量×（销售单价-进价），得到，再根据二次函数的性质得到利润最大为400元即可．
【解析】解：（1）由题意可得，当x=50时，y=30；当x=70时，y=10，
代入中得：，解得：，∴k=-1，b=80；
（2）由（1）可知，y=-x+80，∴，
∵y=-x+80≥0，∴ ∵-1＜0，∴当x=60时，w有最大值，此时w=400，即最大利润为400元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并熟悉二次函数的性质．
7．（2020·浙江绍兴·中考真题）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m．队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m．即BA＝2.88m．这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．
（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；
（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：取1.4）

【答案】（1）这次发球过网，但是出界了，理由详见解析；（2）发球点O在底线上且距右边线0.1米处．
【分析】（1）求出抛物线表达式，再确定x＝9和x＝18时，对应函数的值即可求解；（2）当y＝0时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ＝6＝8.4，即可求解．
【解析】（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣7）2+2.88；当x＝9时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，
当x＝18时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0.64＞0，故这次发球过网，但是出界了；
（2）如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ、OQ交于点Q，

在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，
当y＝0时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），
∴OP＝19，而OQ＝17，故PQ＝6＝8.4，
∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处.
【点睛】此题考查求二次函数的解析式，利用自变量求对应的函数值的计算，勾股定理解直角三角形，二次函数的实际应用,正确理解题意，明确“能否过网”，“是否出界”词语的含义找到解题的方向是解答此题的关键.
8．（2020·辽宁抚顺·中考真题）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量（瓶）与每瓶售价（元）之间满足一次函数关系（其中，且为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．
（1）求与之间的函数关系式；（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）（10≤x≤15，且x为整数）；（2）当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗于液每天销售利润最大，最大利润是375元
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）根据“毛利润=每瓶毛利润×销售量”列出函数解析式，将其配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．
【解析】解：（1）设与之间的函数关系式为（），根据题意，得：
，解得，∴与之间的函数关系式为（10≤x≤15，且x为整数）；
（2）根据题意，得：，
∵，∴抛物线开口向下，有最大值，∴当时，随的增大而增大，
∵，且为整数，∴当时，有最大值，
即，
答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗于液每天销售利润最大，最大利润是375元．
【点睛】本题主要了考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据总利润的相等关系列出函数解析式、利用二次函数的性质求最值问题．
9．（2020·贵州贵阳·中考真题）2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数（人）与时间（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9-15表示）
时间（分钟）
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9~15
人数（人）
0
170
320
450
560
650
720
770
800
810
810
（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出与之间的函数关系式；（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？
（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
【答案】（1）；（2）队人数最多时是490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；（3）至少增加2个检测点
【分析】（1）先根据表中数据的变化趋势猜想：①当时，是的二次函数．根据提示设出抛物线的解析式，再从表中选择两组对应数值，利用待定系数法求函数解析式，再检验其它数据是否满足解析式，从而可得答案； （2）设第分钟时的排队人数是，列出与第分钟的函数关系式，再根据函数的性质求排队的最多人数，利用检测点的检测人数列方程求解检测时间；
（3）设从一开始就应该增加个检测点，根据题意列出不等式，利用不等式在正整数解可得答案．
【解析】解：（1）根据表中数据的变化趋势可知：
①当时，是的二次函数．
∵当时，，∴二次函数的关系式可设为．当时，；当时，．
将它们分别代入关系式得解得．∴二次函数的关系式为．
将表格内的其他各组对应值代入此关系式，均满足．
②当时，．
∴与的关系式为．
（2）设第分钟时的排队人数是，根据题意，得

①当时，．∴当时，．
②当时，，随的增大而减小，∴．
∴排队人数最多时是490人．要全部考生都完成体温检测，根据题意，得，解得．
∴排队人数最多时是490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟．
（3）设从一开始就应该增加个检测点，根据题意，得，解得．
∵是整数，∴的最小整数是2．∴一开始就应该至少增加2个检测点．
【点睛】本题考查的根据实际的数据探究各数据符合的函数形式，同时考查待定系数法求解函数解析式，考查二次函数的实际应用及二次函数的性质，同时考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，掌握以上知识是解题的关键．

题型8 二次函数压轴题（定值和最值问题）
1．（2020·山东滨州·中考真题）如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标．

【答案】（1）；（2）见解析；（3），
【分析】（1）由题意抛物线的顶点A（2，-1），可以假设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-1，把点B坐标代入求出a即可．（2）由题意P（m，），求出d2，PF2（用m表示）即可解决问题．
（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．因为△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值=，推出DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可．
【详解】解:设抛物线的函数解析式为
由题意,抛物线的顶点为
又抛物线与轴交于点
抛物线的函数解析式为
（2）证明：∵P（m，n），∴，
∴P（m，），∴，
∵F（2，1），∴，
∵，，∴d2=PF2，∴PF=d．
（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．

∵△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值=，
∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，
∵QF=QH，∴DQ+DF=DQ+QH，
根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，
∴DQ+QH的最小值为6，∴△DFQ的周长的最小值为，此时Q（4，-）．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，两点间距离公式，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题．
2．（2020·四川中考真题）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N （2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）；（2）或；（3）是，3NE+NF为定值4
【分析】（1）先将抛物线解析式变形，可得A和B的坐标，从而得AB=1+3=4，根据三角形ABC的面积为2可得OC的长，确定点C的坐标，根据点C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）设点P的纵坐标为m，当y=m时，﹣x2+x+1=m，解方程可得P和Q两点的坐标，从而得G和H的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论；（3）设点D（n，﹣n2+n+1），利用待定系数法求直线AD和BD的解析式，表示FN和OK的长，直接代入计算可得结论．
【详解】（1）如图1，y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x2﹣2x﹣3）=a（x﹣3）（x+1），

∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB=4，
∵△ABC的面积为2，即，∴OC=1，∴C（0，1），
将C（0，1）代入y=ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a=1，∴a=﹣，
∴该二次函数的解析式为y=﹣x2+x+1；
（2）如图2，设点P的纵坐标为m，当y=m时，﹣x2+x+1=m，

解得：x1=1+，x2=1﹣，
∴点P的坐标为（1﹣，m），点Q的坐标为（1+，m），
∴点G的坐标为（1﹣，0），点H的坐标为（1+，0），
∵矩形PGHQ为正方形，∴PQ=PG，　∴1+﹣（1﹣）=m，
解得：m1=﹣6﹣2，m2=﹣6+2，
∴当四边形PGHQ为正方形时，边长为6+2或2﹣6；
（3）如图3，设点D（n，﹣n2+n+1），延长BD交y轴于K，

∵A（﹣1，0），设AD的解析式为：y=kx+b，
则，解得：，
∴AD的解析式为：y=（﹣）x﹣，
当x=2时，y=﹣n+2﹣n+1=﹣n+3，∴F（2，3﹣n），∴FN=3﹣n，
同理得直线BD的解析式为：y=（﹣）x+n+1，∴K（0，n+1），∴OK=n+1，
∵N（2，0），B（3，0），∴，∵EN∥OK，∴，∴OK=3EN，
∴3EN+FN=OK+FN=n+1+3﹣n=4，∴在点D运动过程中，3NE+NF为定值4．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式以及平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用正方形的性质，找出关于m的方程；（3）利用AD和BD的解析式确定FN和OK的长，可解决问题．
3．（2020·天津中考真题）已知点是抛物线（为常数，）与x轴的一个交点．（1）当时，求该抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x轴的另一个交点为，与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，．
①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且时，求点F的坐标；②取的中点N，当m为何值时，的最小值是？
【答案】（1）抛物线的顶点坐标为；（2）①点F的坐标为或；②当m的值为或时，MN的最小值是．
【分析】（1）根据，则抛物线的解析式为，再将点A（1，0）代入，求出b的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标；（2）①首先用含有m的代数式表示出抛物线的解析式，求出，点.过点A作于点H,在Rt中，利用勾股定理求出AE的值，再根据，，可求出m的值，进一步求出F的坐标；②首先用含m的代数式表示出MC的长，然后分情况讨论MN什么时候有最值.
【解析】解：（1）当，时，抛物线的解析式为．
∵抛物线经过点，．解得．抛物线的解析式为．
，抛物线的顶点坐标为．
（2）①∵抛物线经过点和，，，
，即．，．
抛物线的解析式为．根据题意，得点，点．
过点A作于点H．由点，得点．
在Rt中，，，．
，．解得．
此时，点，点，有．
点F在y轴上，在Rt中，．
点F的坐标为或．
②由N是EF的中点，得．
根据题意，点N在以点C为圆心、为半径的圆上．
由点，点，得，．
在中，．
当，即时，满足条件的点N落在线段MC上，
MN的最小值为，解得；
当，时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，
MN的最小值为，解得．
当m的值为或时，MN的最小值是．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
4．（2020·山东日照·中考真题）如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．（Ⅰ）求m，n的值以及函数的解析式；（Ⅱ）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA；（Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c，（1）当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；
（2）设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值．

【答案】（I）m＝﹣1，n＝3，y＝﹣x2+2x+3；（II）见解析；（III）（1）y最大值＝4；y最小值＝0；（2）t＝﹣1或t＝2．
【分析】（I）首先解方程求得A、B两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（II）根据解方程直接写出点C的坐标，然后确定顶点D的坐标，根据两点的距离公式可得△BDC三边的长，根据勾股定理的逆定理可得∠DBC=90°，根据边长可得△AOB和△DBC两直角边的比相等，则两直角三角形相似；（III）（1）确定抛物线的对称轴是x=1，根据增减性可知：x=1时，y有最大值，当x=3时，y有最小值；（2）分5种情况：①当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧；
②当t+1=1时；③当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧；④当t=1时，⑤函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答．
【解析】（I）∵m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n，
用因式分解法解方程：（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，∴m＝﹣1，n＝3，∴A（﹣1，0），B（0，3），
把（﹣1，0），（0，3）代入得，，解得，∴函数解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（ II）证明：令y＝﹣x2+2x+3＝0，即x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），C（3，0），∴OA＝1，OC＝3，
∴对称轴为，顶点D（1，﹣1+2+3），即D（1，4），
∴，，，
∵CD2＝DB2+CB2，∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，∴∠AOB＝∠DBC，
在Rt△AOB和Rt△DBC中，，，
∴，∴△BCD∽△OBA；
（ III）抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，顶点为D（1，4），
（1）在0≤x≤3范围内，
当x＝1时，y最大值＝4；当x＝3时，y最小值＝0；
（2）①当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x＝t时取得最小值q＝﹣t2+2t+3，最大值p＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，
令p﹣q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即﹣2t+1＝3，解得t＝﹣1．
②当t+1＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；
③当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧，此时p＝4，令p﹣q＝4﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即t2﹣2t﹣2＝0解得：t1＝1+（舍），t2＝1﹣（舍）；
或者p﹣q＝4﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，即（不合题意，舍去）；
④当t＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；
⑤当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x＝t时取得最大值p＝﹣t2+2t+3，最小值q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，令p﹣q＝﹣t2+2t+3﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，解得t＝2．
综上，t＝﹣1或t＝2．
【点睛】本题是二次函数的综合题型，考查利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点公式，三角形相似的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等知识，解题时需注意运用分类讨论的思想解决问题．
5．（2020·辽宁朝阳·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线，点C坐标为．（1）求抛物线表达式；（2）在抛物线上是否存在点P，使，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP的最大距离；（4）点G是线段AC上的动点，点H是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，三个动点都不与点重合，连接，得到，直接写出周长的最小值．

【答案】（1）；（2）存在，或，理由见解析；（3）；（4）
【分析】（1）利用抛物线的对称轴为，求出的值，再把的值和C的坐标代入计算即可；（2）作轴于点E，利用相似三角形的判定方法可证得，设，则，再分别讨论的位置列式求解即可；
（3）作轴于点F，交BP于点R，作于点N，用待定系数法求出直线BP的解析式，利用解析式表示出MR的长度，再通过求证联合建立比值关系列式计算即可；
（4）作点关于的对称点，作关于的对称点，连接与于，与交于点，连接交于，连接交于，此时的周长最小，这个最小值=，再证明，最小时，周长最小，利用图2证明当点与点重合时最小，在图3中利用相似三角形的性质求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：（1）∵抛物线对称轴为
将代入中，
（2）作轴于点E


（此处也可以由等角的正切值相等得到）
设，则
①当点P在X轴上方时：解得（不符题意，舍）
②当点P在x轴下方时：解得（不符题意，舍）
或
（3）作轴于点F，交BP于点R，作于点N

∵∴，
设将代入得
解得
设，则

，
在中

当时，MN最大为．
（4）周长最小值是
解：作点关于的对称点，作关于的对称点，连接与于，与交于点，连接交于，连接交于，此时的周长最小，这个最小值=．

∵，∴
∴当最小时，最小，如图2中：

∵
∴、、、四点共圆，线段就是圆的直径，是弦；
∵是定值∴直径最小时，弦最小
∴当点与点重合时，最小，此时最小，如图3中：

∵在中，，，∴
∵，，
∵，∴∴
∴
∵，∴∴
∴，同理可得：∴∴
∵∴∴∴∴
∴周长的最小值=
【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，其中涉及了待定系数法求二次函数，二次函数与坐标轴交点问题，待定系数法求一次函数，相似三角形的判断与性质，圆的性质，勾股定理，中位线，三角函数等知识点，熟练掌握二次函数的性质及相似三角形的判定定理并灵活运用分类讨论的思想是解题的关键．
6．（2020·江苏泰州·中考真题）如图，二次函数、的图像分别为、，交轴于点，点在上，且位于轴右侧，直线与在轴左侧的交点为．

（1）若点的坐标为，的顶点坐标为，求的值；
（2）设直线与轴所夹的角为．
①当，且为的顶点时，求的值；
②若，试说明：当、、各自取不同的值时，的值不变；
（3）若，试判断点是否为的顶点？请说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②见解析；（3）点A是C1的顶点，理由见解析．
【分析】（1）将的顶点坐标为和点P的坐标代入中即可解答；
（2）①如图所示，过点A作AM⊥y轴于点M，得到△MAP为等腰直角三角形，从而确定P（0，n-m），代入化简即可；
②将x=0代入，得到，再求出A，B的坐标，表达出PA，PB即可解答；
（3）如图所示，过点P作CD∥x轴，过点B作BD⊥CD于点D，过点A作AC⊥CD于点C，得到△BDP∽△ACP，设，根据PA=2PB，得到CP=2PD=-2x，AC=2BD=，确定点A的坐标，代入，解出x，进而得到即可．
【详解】解：（1）∵的顶点坐标为，∴，
将点P（0,2）代入得：，解得：；
（2）①由题意可知，，如图所示，过点A作AM⊥y轴于点M，则M（0，n），MA=m，
∵直线与轴所夹的角为，
∴△MAP为等腰直角三角形，∴MA=MP=m，∴OP=n-m，
∴P（0，n-m），代入得：，解得：；

②如图所示，当时，将x=0代入，得，∴，
当时，，解得：，∴，∴AP=2m，
当时，即，解得：，
∵点B在y轴左侧，∴，∴PB=，∴，不变．
（3）如图所示，过点P作CD∥x轴，过点B作BD⊥CD于点D，过点A作AC⊥CD于点C，
则BD∥AC，∴△BDP∽△ACP，
设，则PD=-x，BD=，
∵PA=2PB，∴CP=2PD=-2x，AC=2BD=，
∴，代入得：，
化简得：，解得：，（舍去），∴，则点A是C1的顶点．

【点睛】本题考查了二次函数与几何综合问题，涉及了二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，难度较大，计算量较多，解题的关键是综合运用二次函数和几何知识进行推理．
7．（2020·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段上的动点（与点不重合），连接并延长交抛物线于点，连接，设点的横坐标为．（1）求抛物线的解析式和点的坐标；（2）当的面积等于2时，求的值；（3）在点运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1），C（0，2）；（2）m=或；（3）存在最大值．
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线表达式，求解即可；
（2）连接OQ，得到点Q的坐标，利用S=S△OCQ+S△OBQ-S△OBC得出△BCQ的面积，再令S=2，即可解出m的值；（3）证明△APC∽△QPH，根据相似三角形的判定与性质，可得，根据三角形的面积，可得QH=，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】解：（1）∵抛物线经过A（-1，0），B（4，0），可得：
，解得：，∴抛物线的解析式为：，
令x=0，则y=2，∴点C的坐标为（0，2）；
（2）连接OQ，∵点Q的横坐标为m，∴Q（m，），
∴S=S△OCQ+S△OBQ-S△OBC==，
令S=2，解得：m=或；

（3）如图，过点Q作QH⊥BC于H，∵AC=，BC=，AB=5，
满足AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，又∠QHP=90°，∠APC=∠QPH，
∴△APC∽△QPH，∴，∵S△BCQ=BC•QH=QH，∴QH=，
∴，∴当m=2时，存在最大值．

【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质，三角形面积求法，待定系数法，勾股定理，综合性强，有一定难度，解题时要注意数形结合．


题型9 二次函数压轴题（存在性问题）
1．（2020·四川内江·中考真题）如图，抛物线经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当的面积为3时，求点D的坐标；（3）过点D作，垂足为点E，是否存在点D，使得中的某个角等于的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）（3，2）或（1，3）；（3）存在，2或．
【分析】（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）根据三角形面积公式可求与BC平行的经过点D的y轴上点M的坐标，再根据待定系数法可求DM的解析式，再联立抛物线可求点D的坐标；（3）分∠DCE＝2∠ABC及∠CDE＝2∠ABC两种情况考虑：①当∠DCE＝2∠ABC时，取点F（0，−2），连接BF，则CD∥BF，由点B，F的坐标，利用待定系数法可求出直线BF，CD的解析式，联立直线CD及抛物线的解析式组成方程组，通过解方程组可求出点D的坐标；②当∠CDE＝2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H．作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，由△OCH∽△OBF求出H点坐标，利用待定系数法求出直线CN的解析式，联立直线BF及直线CN成方程组，通过解方程组可求出点N的坐标，利用对称的性质可求出点P的坐标，由点C、P的坐标，利用待定系数法可求出直线CP的解析式，将直线CP的解析式代入抛物线解析式中可得出关于x的一元二次方程，解之取其非零值可得出点D的横坐标．依此即可得解．
【详解】解答：解：（1）将A（−1，0）、B（4，0）、C（0，2）代入y＝ax2＋bx＋c得：
，解得：故抛物线的解析式为．
（2）如图2，过点D作DM∥BC，交y轴于点M，设点M的坐标为（0，m），使得△BCM的面积为3，

CM=3×2÷4＝1.5，则m＝2＋1.5＝，M（0，）
∵点B（4，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为y＝− x＋2，
∴DM的解析式为y＝− x＋，
联立抛物线解析式，解得，．
∴点D的坐标为（3，2）或（1，3）．
（3）分两种情况考虑：
①当∠DCE＝2∠ABC时，取点F（0，−2），连接BF，如图3所示．

∵OC＝OF，OB⊥CF，∴∠ABC＝∠ABF，∴∠CBF＝2∠ABC．
∵∠DCB＝2∠ABC，∴∠DCB＝∠CBF，∴CD∥BF．
∵点B（4，0），F（0，−2），∴直线BF的解析式为y＝x−2，
∴直线CD的解析式为y＝x＋2．
联立直线CD及抛物线的解析式成方程组得：，
解得：（舍去），，∴点D的坐标为（2，3）；
②当∠CDE＝2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H．作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，如图4所示．

∵∠OCH＝90°−∠OHC，∠OBF＝90°−∠BHN，∠OHC＝∠BHN，∴∠OCH＝∠OBF．
在△OCH与△OBF中，∴△OCH∽△OBF，
∴，即，∴OH＝1，H（1，0）．设直线CN的解析式为y＝kx＋n（k≠0），
∵C（0，2），H（1，0），∴，解得，∴直线CN的解析式为y＝−2x＋2．
连接直线BF及直线CN成方程组得：，解得：，∴点N的坐标为（）．
∵点B（4，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为y＝− x＋2．
∵NP⊥BC，且点N（），∴直线NP的解析式为y＝2x−．
联立直线BC及直线NP成方程组得：
，解得：，∴点Q的坐标为（）．
∵点N（），点N，P关于BC对称，∴点P的坐标为（）．
∵点C（0，2），P（），∴直线CP的解析式为y＝x＋2．
将y＝x＋2代入整理，得：11x2−29x＝0，
解得：x1＝0（舍去），x2＝，∴点D的横坐标为．
综上所述：存在点D，使得△CDE的某个角恰好等于∠ABC的2倍，点D的横坐标为2或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据三角形面积公式和待定系数法求出点D的坐标；（3）分∠DCE＝2∠ABC及∠CDE＝2∠ABC两种情况求出点D的横坐标．
2．（2020·海南中考真题）抛物线经过点和点，与轴交于点.
（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点是该抛物线上的动点，且位于轴的左侧．
①如图1，过点作轴于点，作轴于点，当时，求的长；
②如图2， 该抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）①2或；②存在；或
【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）①设则，排除当点在轴上，然后分两种情况求解：如图1，当点在第三象限时；如图2，当点在第二象限时；
②存在，过点作于点，交直线于点，由可得．过点作轴于点，由，求出MH、MA的值，然后分点P在第三象限和点P在第二象限求解即可．
【详解】解:（1）∵抛物线经过点，
，解得，所以抛物线的函数表达式为；
①设则．
因为点是抛物线上的动点且位于轴左侧，
当点在轴上时，点与重合，不合题意，故舍去，
因此分为以下两种情况讨论:．
如图1，当点在第三象限时，点坐标为，

则，即，解得(舍去)，；
如图2，当点在第二象限时，点坐标为，
则，即，解得(舍去) ，，
综上所述，的长为或；
存在点，使得，理由如下:
当时，，，，
在中， ．
过点作于点，交直线于点，则，
又，∴，．
过点作轴于点，则，，
，，，即，，
如图3，当点在第三象限时，点的坐标为，

由和得，直线的解析式为．
于是有，即，解得(舍去)，点的坐标为；
如图4，当点在第二象限时，点的坐标为，
由和得，直线的解析式为，
于是有，即，解得(舍去)，点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．本题难度较大，属中考压轴题．
3．（2020·山东聊城·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到点．

（1）求出二次函数和所在直线的表达式；
（2）在动直线移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点的坐标；
（3）连接，，在动直线移动的过程中，抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）存在，点的坐标是．
【分析】（1）将，代入，解出a，b得值即可；求出C点坐标，将C，B代入线段所在直线的表达式，求解即可；
（2）根据题意只要，四边形即为平行四边形，先求出点D坐标，然后求出DE，设点的横坐标为，则，，得出，根据，得，求解即可；
（3）由（2）知，，根据与有共同的顶点，且在的内部，只有当时，，利用勾股定理，可得
，，根据，即，解出t值，即可得出答案．
【详解】解：（1）由题意，将，代入，
得，解得，∴二次函数的表达式，
当时，，得点，又点，设线段所在直线的表达式，
∴，解得，∴所在直线的表达式；
（2）∵轴，轴，∴，

只要，此时四边形即为平行四边形，
由二次函数，得点，
将代入，即，得点，∴，
设点的横坐标为，则，，
由，得，解之，得（不合题意舍去），，
当时，，∴；
（3）由（2）知，，∴，

又与有共同的顶点，且在的内部，
∴，∴只有当时，，
由，，，
利用勾股定理，可得，，
由（2）以及勾股定理知，，，
∴，即，∵，∴，∴，
当时，，∴点的坐标是．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，灵活运用知识点是解题关键．
4．（2020·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．

【答案】（1）（，﹣）；y＝﹣x2+2x+1 （2）（，）； （3）Q，R或Q（，﹣10），R（）
【分析】（1）由待定系数法求出直线AB的解析式为y＝﹣x+1，求出F点的坐标，由平行四边形的性质得出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），求出a的值，则可得出答案；
（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，则P'（n，﹣n+1），得出PP'＝﹣n2+n，由二次函数的性质可得出答案；（3）联立直线AC和抛物线解析式求出C（，﹣），设Q（，m），分两种情况：①当AQ为对角线时，②当AR为对角线时，分别求出点Q和R的坐标即可．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵A（0，1），B（，0），设直线AB的解析式为y＝kx+m，
∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
∵点F的横坐标为，∴F点纵坐标为﹣+1＝﹣，∴F点的坐标为（，﹣），
又∵点A在抛物线上，∴c＝1，对称轴为：x＝﹣，∴b＝﹣2a，
∴解析式化为：y＝ax2﹣2ax+1，
∵四边形DBFE为平行四边形．∴BD＝EF，∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1；
（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，

则P'（n，﹣n+1），∴PP'＝﹣n2+n，
S△ABP＝OB•PP'＝﹣n＝﹣，
∴当n＝时，△ABP的面积最大为，此时P（，）．
（3）∵，∴x＝0或x＝，∴C（，﹣），
设Q（，m），①当AQ为对角线时，∴R（﹣），
∵R在抛物线y＝+4上，∴m+＝﹣+4，解得m＝﹣，
∴Q，R；
②当AR为对角线时，∴R（），∵R在抛物线y＝+4上，
∴m﹣+4，解得m＝﹣10，∴Q（，﹣10），R（）．
综上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．
5．（2020·山东菏泽·中考真题）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，，，直线是抛物线的对称轴，在直线右侧的抛物线上有一动点，连接，，，．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点在轴的下方，当的面积是时，求的面积；（3）在（2）的条件下，点是轴上一点，点是抛物线上一动点，是否存在点，使得以点，，，为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或．
【分析】（1）直接利用待定系数法可求得函数解析式；
（2）先求出函数的对称轴和直线BC的函数表达式，过D作DE⊥OB交OB于点F,交BC于点E，用式子表示出的面积从而求出D的坐标，进一步可得的面积；
（3）根据平行四边形的性质得到，结合对称轴和点D坐标易得点N的坐标．
【详解】解：（1）∵OA=2，OB=4，∴A（-2，0），B（4，0），
将A（-2，0），B（4，0）代入得：
，解得：∴抛物线的函数表达式为：；
（2）由（1）可得抛物线的对称轴l：，，
设直线BC：，可得：解得，
∴直线BC的函数表达式为：，
如图1，过D作DE⊥OB交OB于点F,交BC于点E，

设，则，∴，
由题意可得整理得
解得（舍去），∴，∴
∴；
（3）存在
由（1）可得抛物线的对称轴l：，由（2）知，
①如图2

当时，四边形BDNM即为平行四边形，
此时MB=ND=4，点M与点O重合，四边形BDNM即为平行四边形，
∴由对称性可知N点横坐标为-1，将x=-1代入解得
∴此时，四边形BDNM即为平行四边形．
②如图3

当时，四边形BDMN为平行四边形，
过点N做NP⊥x轴，过点D做DF⊥x轴，由题意可得NP=DF∴此时N点纵坐标为
将y=代入，得，解得：
∴此时或，四边形BDMN为平行四边形．
综上所述， 或或．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合，首先要掌握待定系数法求解析式，其次要添加恰当的辅助线，灵活运用面积公式和平行四边形的判定和性质，应用数形结合的数学思想解题．
6．（2020·广西玉林·中考真题）已知抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）将抛物线经过向下平移，使得到的抛物线与x轴交于B， 两点（在B的右侧），顶点D的对应点，若，求的坐标和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线或上是否存在点P，使以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）A（-3，0），B（1，0），（0，3）；（2）B（3，0），y2=-x2+4x-3；（3）P的坐标为（-2，3），（-1+，-3），（-1-，-3），（0，-3），（4，-3）．
【分析】（1）令y=0，即可求出A，B，令x=0，即可求出C的坐标；（2）设B（t，0），根据由题意得y2由y1平移所得，可设y2的解析式为：y2=-（x-1）（x-t）=-x2+（1+t）x-t，求出D，判断出△BDB是等腰直角三角形，可得yD=|BB|，即可得到关于t的方程，解出t即可求出B的坐标和y2的解析式；
（3）分①若Q在B右边，②若Q在B左边：当BQ为边时和当BQ为对角线时，这几种情况讨论即可．
【解析】解：（1）由题意得抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C，∴当y=0时，即（x+3）（1-x）=0解得x1=-3，x2=1，
∴A的坐标为（-3，0），B的坐标为（1，0），
当x=0时，y=-02-2×0+3=3，∴C的坐标为（0，3），
综上：A（-3，0），B（1，0），（0，3）；
（2）设B（t，0），由题意得y2由y1平移所得，∴a=-1，
∴可设y2的解析式为：y2=-（x-1）（x-t）=-x2+（1+t）x-t，∴D（，），
∵B和B是对称点，D在对称轴上，∠BDB=90°，∴△BDB是等腰直角三角形，
∴yD=|BB|，∴=（t-1），解得t=3，∴B（3，0），∴y2=-x2+4x-3；
（3）①若Q在B右边，则P在x轴上方，且CP∥BQ，∴yP=yC=3，
此时P不在两条抛物线上，不符合题意舍去；
②若Q在B左边，当BQ为边时，则CP∥BQ，此时yP=yC=3，P点在y1上，
将yP=3，代入y1得，解得x1=0，x2=-2，∴此时P的坐标为（-2，3）；
当BQ为对角线时，则BC∥QP，∵yC-yB=3，∴yQ-yP=3，∵Q在x轴上，∴yP=-3，
将yP=-3代入y1得，解得x1=-1+，x2=-1-，
将yP=-3代入y2得-x2+4x-3=-3，解得x1=0，x2=4，
∴P的坐标为：（-1+，-3），（-1-，-3），（0，-3），（4，-3），
综上：P的坐标为：（-2，3），（-1+，-3），（-1-，-3），（0，-3），（4，-3）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形的性质，结合题意灵活运用知识点是解题关键．
7．（2020·浙江宁波·初三月考）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．

（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段上运动，如图1．求线段的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①，②存在，
【分析】（1）把代入中求出b，c的值即可；
（2）①由点得，从而得，整理，化为顶点式即可得到结论；
②分MN=MC和两种情况，根据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可．
【详解】解：（1）把代入中，得
解得∴．
（2）设直线的表达式为，把代入．
得，解这个方程组，得∴．
∵点是x轴上的一动点，且轴．∴．
∴．
∵，∴此函数有最大值．
又∵点P在线段上运动，且∴当时，有最大值．
②∵点是x轴上的一动点，且轴．
∴． ∴
（i）当以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC，如图，

∵C（0，-3）∴MC= ∴整理得，
∵，∴，解得，，
∴当时，CQ=MN=，∴OQ=-3-()=∴Q(0，)；
当m=时，CQ=MN=-，∴OQ=-3-(-)=∴Q(0，)；
(ii)若，如图，

则有整理得，
∵，∴，解得，，
当m=-1时，MN=CQ=2，∴Q（0，-1），
当m=-5时，MN=-10＜0（不符合实际，舍去）
综上所述，点Q的坐标为
【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用菱形的性质得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．