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考点08 平面直角坐标系与一次函数-2022年中考数学高频考点专题突破（全国通用）（解析版）
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考点8.平面直角坐标系与一次函数
知识框架：
基础知识点：
知识点1-1平面直角坐标系
1）有序实数对
（1）有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对．平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的．（2）经一点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标和纵坐标．有序实数对（a，b）叫做点P的坐标．
2）平面直角坐标系中点的坐标特征
点的位置
横坐标符号
纵坐标符号
第一象限
﹢
+
第二象限
-
+
第三象限
-
-
第四象限
+
-
x轴上
正半轴上
+
0
负半轴上
-
0
y轴上
正半轴上
0
+
负半轴上
0
-
原点
0
0
知识点1-2 坐标的平移对称旋转
（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标（x，-y）；（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标（-x，y）．
（2）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P'（-x，-y）．
（3）点P（x，y）绕坐标原点顺时针旋转90°，其坐标变为P′（y，-x）；
（4）点P（x，y）绕坐标原点顺时针旋转180°，其坐标变为P′（-x，-y）；
（5）点P（x，y）向右（左）平移a个单位，其坐标变为P′（xa，y）；
（6）点P（x，y）向上（下）平移b个单位，其坐标变为P′（x，y±b）；
知识点1-3 函数的相关概念
1）函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。
注：判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。
2）函数的三种表示方法
函数的表示方法一般有三种：解析式法、列表法和图象法，表示函数关系时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．
函数的三种表示方法的优缺点：⑴列表法：对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。
⑵关系式法：全面、准确，但较抽象。⑶图象法：直观、形象、规律明显，但不精确。
3）函数的自变量的取值范围
（1）自变量的取值范围
整式：自变量取一切实数；分式：分母不为零；偶次方根：被开方数为非负数；零指数与负整数指数幂：底数不为零；在实际问题中：自变量的取值范围必须保证每个量都有意义。
（2）函数值：自变量中每个x所对的y的值，即为函数值。
4） 函数的图像及画法
1）函数的图像：对于一个函数，把自变量与应变量的值分别作为点的横坐标、纵坐标，坐标平面内由这些点组成的图形。 如：某天气温随时间的变化
2）已知函数解析式，绘制函数图像步骤：①确定自变量的取值范围；②列表：列出若干自变量与对应应变量的值；③描点：在坐标轴上对应点描点；④连线：平滑曲线依次连接。
知识点1-4 一次函数与正比例函数的概念
1）一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。
特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。故正比例函数是特殊一次函数。
2）函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立。
3）两个函数图象的交点坐标：就是两个解析式组成的方程组的解。
知识点1-5一次（正比例）函数的图象与性质
1）一次函数图象是一条直线；2）已知两点可作图，可求出解析式；
3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（–，0）；
4）过象限、增减性
（过一、二象限）
（过三、四象限）
（过原点）
（过一、三象限）
随的增大而增大
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限
（过二、四象限）
随的增大而减小
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
经过第二、四象限
5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应的纵坐标的大小，就是函数图象上的点的位置的高低。
6）一次函数的平移与位置关系
1）与的位置关系：两直线平行且 两直线垂直
2）、一次函数的平移法则：左加右减，上加下减。
重难点题型
题型1 有序数对与位置的确定
【解题技巧】有序数对的作用：利用有序数对可以在平面内准确表示一个位置．有序数对一般用来表示位置，如用“排”“列”表示教师内座位的位置，用经纬度表示地球上的地点等．
1．（2020·湖北宜昌·中考真题）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（ ）．
A．小李现在位置为第1排第2列 B．小张现在位置为第3排第2列
C．小王现在位置为第2排第2列 D．小谢现在位置为第4排第2列
【答案】B
【分析】由于撤走一排，则四人所在的列数不变、排数减一，据此逐项排除即可．
【解析】解：A. 小李现在位置为第1排第4列，故A选项错误；
B. 小张现在位置为第3排第2列，故B选项正确；C. 小王现在位置为第2排第3列，故C选项错误；
D. 小谢现在位置为第4排第4列，故D选项错误．故选：B．
【点睛】本题考查了位置的确定，根据题目信息、明确行和列的实际意义是解答本题的关键．
2．（2019·浙江义乌·中考真题）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是（ ）
A．在南偏东75º方向处 B．在5km处
C．在南偏东15º方向5km处 D．在南偏东75º方向5km处
【答案】D
【分析】根据方向角的定义解答即可．
【解析】观察图形可得，目标A在南偏东75°方向5km处，故选D．
【点睛】本题考查了方向角的定义，正确理解方向角的意义是解题关键．
3．（2019·甘肃武威·中考真题）中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点__________．
【答案】
【分析】直接利用“帅”位于点，可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．
【解析】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于．
故答案为．
【点睛】本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．
4．（2020·浙江金华市·九年级其他模拟）小明乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间距离是1km（小圆半径是1km），若小艇C在游船的正南方2km，则下列关于小艇A、B的位置描述，正确的是（ ）
A．小艇A在游船的北偏东60°，且距游船3km B．游船在的小艇A北偏东60°，且距游船3km
C．小艇B在游船的北偏西30°，且距游船2km D．小艇B在小艇C的北偏西30°，且距游船2km
【答案】D
【分析】利用方向角的表示方法对各选项进行判断．
【详解】小艇A在游船的北偏东30°，且距游船3km；小艇B在游船的北偏西60°，且距游船2km；
游船在小艇A的南偏西30°，且距游船3km；小艇B在小艇C的北偏西30°，且距游船2km．故选：D．
【点睛】本题考查了坐标确定位置：是熟练掌握平面内特殊位置的点的坐标特征．理解方向角的表示方法．
5．（2020·北京海淀区·九年级二模）共享单车提供了便捷、环保的出行方式．小白同学在北京植物园打开某共享单车APP，如图，“”为小白同学的位置，“★”为检索到的共享单车停放点．为了到达距离最近的共享单车停放点，下列四个区域中，小白同学应该前往的是（ ）
A．F6 B．E6 C．D5 D．F7
【答案】A
【解析】根据图和有序实数对表示位置的方法可得与小白同学距离最近距离最近F6；故答案为A.
6．（2020·河北海港区·中考模拟）如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（－4，2），点B的坐标为（2，－4），则坐标原点为（ ）
A．O1 B．O2 C．O3 D．O4
【答案】A
【解析】因为A点坐标为（－4，2），所以，原点在点A的右边，也在点A的下边2个单位处，从点B来看，B（2，－4），所以，原点在点B的左边，且在点B的上边4个单位处．如下图，O1符合．
考点：平面直角坐标系．
7．（2020·山东威海·中考真题）如图①，某广场地面是用．．三种类型地砖平铺而成的，三种类型地砖上表面图案如图②所示，现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（型）地砖记作，第二块（型）地时记作…若位置恰好为型地砖，则正整数，须满足的条是__________．
【答案】m、n同为奇数或m、n同为偶数
【分析】几何图形，观察A型地砖的位置得到当列数为奇数时，行数也为奇数，当列数为偶数，行数也为偶数的，从而得到m、n满足的条件．
【解析】解：观察图形，A型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，若用（m，n）位置恰好为A型地砖，正整数m，n须满足的条件为m、n同为奇数或m、n同为偶数，故答案为：m、n同为奇数或m、n同为偶数．
【点睛】本题考查了坐标表示位置：通过类比点的坐标考查解决实际问题的能力和阅读理解能力．分析图形，寻找规律是关键．
题型2 点的坐标特征
【解题技巧】（1）第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数；（2）平行于x轴（或垂直于y轴）的直线上的点的纵坐标相等，平行于y轴（或垂直于x轴）的直线上的点的横坐标相等．（3）点P（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，到坐标原点的距离为．
1．（2020·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点到坐标轴的距离及点所在的象限解答即可.
【解析】设点M的坐标为（x，y），
∵点M到x轴的距离为4，∴，∴，
∵点M到y轴的距离为5，∴，∴，
∵点M在第四象限内，∴x=5，y=-4，即点M的坐标为（5，-4）故选：D.
【点睛】此题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，象限内点的坐标的符号特点.
2．（2020·湖南邵阳·中考真题）已知，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，得出，判断选项中的点所在的象限，即可得出答案．
【解析】∵ ∴
选项A：在第一象限;选项B：在第二象限;选项C：在第三象限;选项D：在第四象限.小手盖住的点位于第二象限,故选：B
【点睛】本题考查了点的象限的判断，熟练进行正负的判断是解题的关键．
3．（2020·湖北黄冈·中考真题）在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据点在第三象限，可得，，进而判定出点B横纵坐标的正负，即可解决．
【解析】解：∵点在第三象限，∴，，∴，∴，∴点B在第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握点的坐标特征．
4．（2020·湖南株洲·中考真题）在平面直角坐标系中，点在第二象限内，则a的取值可以是（ ）
A．1 B． C． D．4或-4
【答案】B
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数即可判断．
【解析】解：∵点是第二象限内的点，∴，四个选项中符合题意的数是，故选：B
【点睛】本题考查各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
5．（2020·重庆中考真题）现有四张正面分别标有数字﹣1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背而面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P（m，n）在第二象限的概率为__________．
【答案】
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点P（m，n）在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】解：画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中点P（m，n）在第二象限的结果数为3，
所以点P（m，n）在第二象限的概率＝．故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了点的坐标．
6．（2020·浙江金华·中考真题）点P(m，2)在第二象限内，则m的值可以是(写出一个即可)______．
【答案】－1（答案不唯一，负数即可）
【分析】根据第二象限的点符号是“-，+”，m取负数即可．
【解析】∵点P(m，2)在第二象限内，∴，m取负数即可，如m=-1，
故答案为：－1（答案不唯一，负数即可）．
【点睛】本题考查了已知点所在象限求参数，属于基础题，掌握第二象限点坐标的符号是“-，+”是解题的关键．
7．（2020·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在Rt△CPF中根据勾股定理求出PF的长，再根据垂径定理求出DF的长，进而求出OB，BD的长，从而求出点D的坐标．
【解析】设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，
则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形．
∵OA=8，∴CF=8-5=3，∴PF=4，∴OB=EF=5+4=9．
∵PF过圆心，∴DF=CF=3，∴BD=8-3-3=2，∴D(9，2)．故选A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，以及垂径定理等知识，正确做出辅助线是解答本题的关键．
题型3 坐标的变化（对称、旋转、平移）
【解题技巧】1)一般地，点P与点P1关于x轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数；点P与点P2关于y轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，点P与点P3关于原点对称，则横、纵坐标分别互为相反数，简单记为“关于谁谁不变，关于原点都改变”．
2)图形的平移性质：①平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动；②连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等．
3)图形的旋转性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
③旋转前、后的图形全等；④图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度和方向决定．
1．（2020·四川广安市·中考真题）在平面直角坐标系中，点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，则ab=________．
【答案】12
【分析】根据关于原点对称的两点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数，即求出a和b的值，从而求出结论．
【详解】解：∵点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，∴a=-6，b=-2∴ab=12故答案为：12．
【点睛】此题考查的是根据两点关于原点对称，求参数的值，掌握关于原点对称两点坐标关系是解题关键．
2．（2020·四川雅安·中考模拟）在平面直角坐标系中，P点关于原点的对称点为P1（﹣3，﹣），P点关于x轴的对称点为P2（a、b），则=（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4
【答案】A
【解析】∵P点关于原点的对称点为P1（﹣3，﹣），∴P（3，），
∵P点关于x轴的对称点为P2（a，b），∴P2（3，﹣），∴．故选A．
考点：1、关于原点对称的点的坐标；2、立方根；3、关于x轴、y轴对称的点的坐标．
3．（2021·青海西宁·中考模拟）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+3，﹣2），即（2，﹣2），
则点B关于x轴的对称点B′的坐标是（2，2），故选B．
考点：1.关于x轴、y轴对称的点的坐标；2.坐标与图形变化﹣平移．
4．（2020·柳州市柳林中学中考真题）点A的坐标是（2，﹣3），将点A向上平移4个单位长度得到点A'，则点A'的坐标为_____．
【答案】（2，1）．
【分析】将点A的纵坐标加4，横坐标不变，即可得出点A′的坐标．
【详解】解：将点A（2，﹣3）向上平移4个单位得到点A′，
则点A′的坐标是（2，﹣3+4），即（2，1）．故答案为（2，1）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
5．（2020·山西九年级期中）如图，将一个含角的直角三角尺AOB放在平面直角坐标系中，两条直角边分别与坐标轴重叠．已知，，点D为斜边AB的中点，现将三角尺AOB绕点O顺时针旋转，则点D的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用直角三角形的性质、勾股定理分别求出OB、OA的长，再根据旋转的性质可得的长，从而可得点的坐标，然后根据中点坐标公式即可得．
【详解】在中，，，，
由旋转的性质得：，点为斜边的中点，
将三角尺AOB绕点O顺时针旋转，
点A的对应点落在x轴正半轴上，点B的对应点落在y轴负半轴上，，
又点为斜边的中点，，即，故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、中点坐标公式，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
6．（2020·广东广州·中考真题）如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为_______．
【答案】(4，3)
【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到，求出BD即可得到答案.
【解析】过点A作AH⊥x轴于点H，∵A（1,3），∴AH=3，
由平移得AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴AC=BD，
∵，∴BD=3，∴AC=3，∴C(4，3) 故答案为：(4，3).
【点睛】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系.
7．（2020·广东实验中学附属天河学校九年级期中）如图，的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）.
（1）画出关于点O成中心对称的图形；（2）①画出绕原点O逆时针旋转的； ②直接写出点的坐标为_________.
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）（-2，2）．
【分析】（1）根据中心对称的定义画图即可，（2）根据旋转的定义和要求糊涂即可，
（3）根据所作图，在第二象限，横坐标为-2，纵坐标为2，写出坐标即可．
【详解】（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）由图可知，C2的坐标为（-2，2）．
【点睛】本题考查利用变换作图与点的坐标问题，掌握中心对称的特征，与旋转对称的性质，抓住关建点，中心和方向是解题关键．
题型4 坐标系中的动点和探究规律问题
【解题技巧】1）．动点问题多数情况下会与分类讨论的数学思想及方程、函数思想结合起来进行．
2）．把动点产生的线段长用时间变量t表示出来以后，动点问题就“静态化”处理了．
3）探究规律这类问题通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．
1．（2021·山东菏泽·中考模拟）如图，矩形的顶点的坐标为，是的中点，是上的一点，当的周长最小时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，画出A点关于y轴的对称点A＇,连接A＇D,与y轴交于点E,根据连接两点的连线中，线段最短，可知此时的周长最小，再由A,可得A＇（4,5），因D(-2，0)，即可求得直线DE表达式是，所以点的坐标是，故选B.
2．（2020·山东东营·中考模拟）在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，7），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为_____．
【答案】（﹣，0）
分析：要使得MB-MA的值最大，只需取其中一点关于x轴的对称点，与另一点连成直线，然后求该直线x轴交点即为所求．
【解析】取点B关于x轴的对称点B′，则直线AB′交x轴于点M．点M即为所求．
设直线AB′解析式为：y=kx+b 把点A（-1，-1）B′（2，-7）代入
解得∴直线AB′为：y=-2x-3，
当y=0时，x=-∴M坐标为（-，0）故答案为：（-，0）
点睛：本题考查轴对称-最短路线问题、坐标与图象变换，解答本题的关键是明确题意，利用三角形两边之差小于第三边和一次函数的性质解答．
3．（2020·福建永定区·九年级期中）如图，直角坐标系中两点，P为线段上一动点，作点B关于射线的对称点C，连接，则线段的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】如图，当C位于y轴上时，AC取最小值，通过对称证明，进而求得AC的最小值.
【详解】解：如图，当C位于y轴上时，AC取最小值，
∵C是B关于射线的对称点，∴，，
又∵∴，∴∴，故答案为A.
【点睛】本题考查坐标系与图像的性质、三角形全等与轴对称的综合应用，找到AC取最小值的位置是解题的关键.
4．（2019·山东菏泽·中考真题）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点……第次移动到点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标．
【解析】，，，，，，…，，
所以的坐标为，则的坐标是，故选C．
【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度一般．
5．（2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是_____．
【答案】22020
【分析】根据A1（0，2）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据A2（6，0）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规律可得结论．
【解析】∵点A1（0，2），∴第1个等腰直角三角形的面积==2，
∵A2（6，0），∴第2个等腰直角三角形的边长为 =，
∴第2个等腰直角三角形的面积==4=，
∵A4（10，），∴第3个等腰直角三角形的边长为10−6=4，
∴第3个等腰直角三角形的面积==8=，…
则第2020个等腰直角三角形的面积是；故答案为：．
【点睛】本题主要考查坐标与图形变化以及找规律，熟练掌握方法是关键.
6．（2020·四川广安市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角钱OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3……以此类推，则正方形OB2020B2021C2021的顶点B2021的坐标是________．
【答案】（-21011，-21011）
【分析】首先先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9、B10的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出点B2021的坐标．
【详解】解：∵正方形OA1B1C1的边长为2，∴OB1=2，点B1的坐标为（2，2）
∴OB2=2×=4 ∴B2（0，4），同理可知B3（-4，4），B4（-8，0），B5（-8，-8），B6（0，-16），B7（16，-16），B8（32，0），B9（32，32），B10（0，64）．
由规律可以发现，点B1在第一象限角平分线上、B2在y轴正半轴上、B3在第二象限角平分线上、B4在x轴负半轴上、B5在第三象限角平分线上、B6在y轴负半轴上、B7在第四象限角平分线上、B8在x轴正半轴上、B9在第一象限角平分线上、B10在y轴正半轴上，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标的符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，∵2021÷8=252⋯⋯5，
∴B2021和B5都在第三象限角平分线上，且OB2021=2×=2×21010×=21011×
∴点B2021到x轴和y轴的距离都为21011×÷=21011．
∴B2021（-21011，-21011）故答案为：（-21011，-21011）．
【点睛】此题考查的是一个循环规律归纳的题目，解答此题的关键是确定几个点坐标为一个循环，再确定规律即可．
7．（2020·河北九年级期末）如图在平面直角坐标系中，若干个半径为个单位长度、圆心角为的扇形组成一条连续的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为每秒2个单位，在弧线上的速度为每秒个单位长度，则秒时，点的坐标是_______；秒时，点的坐标是_______．
【答案】
【分析】设第n秒时P的位置为Pn， P5可直接求出，根据点的运动规律找出规律，每4秒回x轴，P4n(4n，0)，由2019=504×4+3，回到在P3的位置上，过P3作P3B⊥x轴于B，则OB=3，P3B=，P3（3，-），当t=2019时，OP2019=OP2016+OB，此时P2019点纵坐标与P3纵坐标相同，即可求．
【详解】设n秒时P的位置为Pn，过P5作P5A⊥x轴于A， OP4=OP2+P2P4=4，P4（4，0），当t=5时，由扇形知P4P5=2，OP4=4，在Rt△P4P5A中，∠P5P4A=60º，则∠P4P5A=90º-∠P5P4A=60º =30º，P4A=P4P5=1，
由勾股定理得PA=，OA=OP4+AP4=5，由点P在第一象限，P（5，），
通过图形中每秒后P的位置发现，每4秒一循环，2019=504×4+3，回到相对在P3的位置上，过P3作P3B⊥x轴于B，则OB=3，P3B=，由P3在第四象限，则P3（3，-），当t=2019时，OP2019=OP2016+OB=4×504+3=2019，P2019点纵坐标与P3纵坐标相同，此时P2019坐标为（2019，- ），秒时，点的坐标是（2019，- ）．
故答案为：（5，），（2019，- ）．
【点睛】本题考查规律中点P的坐标问题关键读懂题中的含义，利用点运动的速度，考查直线与弧线的时间，发现都用1秒，而每4秒就回到x轴上，由此发现规律便可解决问题．
题型5函数的自变量取值范围和函数值
1．（2019·四川内江·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】让二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0列式求得相应的取值范围即可．
【解析】由题意得，，，解得，且，故选D．
【点睛】此题考查函数自变量的取值范围，解题关键在于掌握其定义
2．（2021·广西百色·中考模拟）已知函数y＝ 当x＝2时，函数值y为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】先判断出x=2时，所符合的关系式，然后将x=2代入对应的函数关系式即可．∵x=2＞0，∴y=2x+1=2×2+1=5．故答案为5．
考点：函数值．
3．（2020·四川甘孜·中考真题）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解析】解：由题意，得x+3≠0，解得x≠-3．故选：C．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4．（2020·上海中考真题）已知f(x)=，那么f(3)的值是____．
【答案】1．
【分析】根据f(x)=，将代入即可求解．
【解析】解：由题意得：f(x)=，∴将代替表达式中的，∴f(3)==1．故答案为：1．
【点睛】本题考查函数值的求法，解答本题的关键是明确题意，利用题目中新定义解答．
5．（2020·黑龙江穆棱·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是_______．
【答案】
【分析】直接利用二次根式和分式有意义的条件列出不等式组求解即可．
【解析】解：函数中：，解得：．故答案为：．
【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确把握二次根式和分式有意义的条件是解题关键．
6．（2020·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是_____________________．
【答案】x≠7．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解析】解：由有意义，得x-7≠0，解得x≠7，故答案为：x≠7．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
7．（202-·重庆中考模拟）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（ ）
A．9 B．7 C．﹣9 D．﹣7
【答案】C
【分析】先求出x=7时y的值，再将x=4、y=-1代入y=2x+b可得答案．
【解析】∵当x=7时，y=6-7=-1，∴当x=4时，y=2×4+b=-1，解得：b=-9，故选C．
【点睛】本题主要考查函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法．
题型6 函数的图象与实际应用问题
【解题技巧】1）用图象解决问题时，要理清图象的含义，即会识图。
2）在实际问题中，要注意图象与横轴(x轴)、纵轴(y轴)的交点所代表的具体意义。
1．（2020·四川攀枝花·中考真题）甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是（ ）．
A．两人出发1小时后相遇 B．赵明阳跑步的速度为
C．王浩月到达目的地时两人相距 D．王浩月比赵明阳提前到目的地
【答案】C
【分析】根据图像可得两地之间的距离，再分别算出两人的行进速度，据此可得各项数据进而判断各选项.
【解析】解：由图可知：当时间为0h时，两人相距24km，甲乙两地相距24km，
当时间为1h时，甲乙两人之间距离为0，即此时两人相遇，故A正确；
∵24÷1=24，可得两人的速度和为24km/h，由于王浩月先到达目的地，故赵明阳全程用了3h，
∴赵明阳的速度为24÷3=8km/h，故B正确；可知王浩月的速度为24-8=16km/h，
∴王浩月到达目的地时，用了24÷16=h，此时赵明阳行进的路程为：×8=12km，
即此时两人相距12km，故C错误；赵明阳到达目的地时，用了3h，则3-==1.5h，
∴王浩月比赵明阳提前1.5h到目的地，故D正确.故选C.
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，解题时要充分理解题意，读懂函数图像的意义.
2．（2020·湖北黄冈·中考真题）2020年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平，自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液霱求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销．下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间（天）之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】正确理解函数图象与实际问题的关系，题目中的脱销时库存量为0．
【详解】根据题意：一开始销售量与生产量持平，此时图象为平行于x轴的线段，
当下列猛增是库存随着时间的增加而减小，时间t与库存量y之间函数关系的图象为先平，再逐渐减小，最后为0．故选：D．
【点睛】本题要求能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．
3．（2020·湖北恩施·中考真题）甲乙两车从城出发前往城，在整个行程中，汽车离开城的距离与时刻的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）．
A．甲车的平均速度为 B．乙车的平均速度为
C．乙车比甲车先到城 D．乙车比甲车先出发
【答案】D
【分析】根据图象逐项分析判断即可．
【解析】由图象知：A．甲车的平均速度为=，故此选项正确；
B．乙车的平均速度为，故此选项正确；
C．甲10时到达B城，乙9时到达B城，所以乙比甲先到B城，故此选项正确；
D．甲5时出发，乙6时出发，所以乙比甲晚出发1h，故此选项错误，故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象，正确识别图象并能提取相关信息是解答的关键．
4．（2020·浙江省绍兴市锡麟中学月考）如图，在四边形中，，，，，．动点M，N同时从点A出发，点M以的速度沿向终点B运动，点N以的速度沿折线向终点C运动．设点N的运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出AB=cm，可知M由A到B需3秒,N由A到D需2秒,到C需3.5秒.分三种情况讨论:(1)当N在AD上时,即0＜t≤2,画出图形求解; (2) 当N在CD上且M没到达B时,即2＜t＜3, 画出图形求解; (3)当N在CD上且M与B重合时,即3≤t≤3.5, 画出图形求解.即可选出正确答案.
【解析】解: ∠A=45°，CD=3cm，AB==cm,
∴M由A到B需3秒,N由A到D需2秒,到C需3.5秒,下面分三种情况讨论:
(1)当N在AD上时,即0＜t≤2,如图1,
作ME⊥AD于E,可知AN=2t,AM=,∴EM=t,∴
故此段图像是一条开口向上的抛物线;
(2) 当N在CD上且M没到达B时,即2＜t＜3,如图2,
作MF⊥CD于F,延长AB与DC的延长线交于O,可知DN=2t-4,AM=,OD=4,OA= ,
∴ON=4-DN=8-2t,OM=,∴MF=4- t,∴,
,,
∴,故此段图像是一条开口向下的抛物线;
(3)当N在CD上且M与B重合时,即3≤t≤3.5,如图3,
可知BC=1,DN=2t-4,∴CN=3-DN=7-2t ,∴,
,,
∴,故此段图像是一条呈下降趋势的线段;综上所述,答案是B.
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式．
5．（2020·四川雅安·中考真题）已知，等边三角形和正方形的边长相等，按如图所示的位置摆放（C点与E点重合），点共线，沿方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为，运动过程中两图形重叠部分的面积为，则下面能大致反映与之间关系的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分点C在EF中点的左侧、点C在EF中点的右侧、点C在F点右侧且B在EF中点的左侧，点C在F点右侧且B在EF中点的右侧四种情况，分别求出函数的表达式即可求解．
【解析】解：设等边三角形ABC和正方形DEFG的边长都为a，运动速度为1，
当点C在EF的中点左侧时，
设AC交DE于点H，则CE=t，HE=ECtan∠ACB=t×=t，
则S=S△CEH=×CE×HE=×t×t=，可知图象为开口向上的二次函数，
当点C在EF的中点右侧时，设AB与DE 交于点M，
则EC=t，BE=a-t，ME=，
∴S=，可知图象为开口向下的二次函数；
当点C在F点右侧且B在EF中点的左侧时，
S=，可知图象为开口向下的二次函数；
当点C在F点右侧且B在EF中点的右侧时，此时BF=2a-t，MF=，
∴，可知图象为开口向上的二次函数；故选：A
【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
6．（2020·贵州铜仁·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别求出0≤x≤4、4＜x＜7时函数表达式，即可求解．
【解析】解：由题意当0≤x≤4时，y＝×AD×AB＝×3×4＝6，
当4＜x＜7时，y＝×PD×AD＝×（7﹣x）×4＝14﹣2x．故选：D．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
7．（2019·辽宁铁岭·中考真题）如图，在中，，，于点G，点D为BC边上一动点，交射线CA于点E，作关于DE的轴对称图形得到，设CD的长为x，与重合部分的面积为y．下列图象中，能反映点D从点C向点B运动过程中，y与x的函数关系的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质可得，由与关于DE对称，即可求出当点F与G重合时x的值，再根据分段函数解题即可．
【解析】解：，，，
与关于DE对称，．当点F与G重合时，，即，，当点F与点B重合时，，即，，如图1，当时，，∴B选项错误；
如图2，当时，，∴选项D错误；
如图3，当时，，∴选项C错误．故选A．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象问题，根据几何知识求出函数解析式是解题的关键．
题型7 一次（正比例）函数的过象限问题
【解题技巧】
函数
字母取值
经过的象限
y=kx+b(k≠0)
k>0，b>0
一、二、三
k>0，b<0
一、三、四
k>0，b=0
一、三
y=kx+b(k≠0)
k<0，b>0
一、二、四
k<0，b<0
二、三、四
k<0，b=0
二、四
1．（2020·辽宁沈阳·中考真题）一次函数的图象经过点，点，那么该图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】如图（见解析），在平面直角坐标系中，先描出点A、B，再过点A、B作直线，然后观察函数图象即可得．
【解析】在平面直角坐标系中，先描出点A、B，再过点A、B作直线，如图所示：
观察函数图象可知，一次函数的图象不经过第四象限 故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图象，依据题意，正确画出函数图象是解题关键．
2．（2020·贵州黔南·中考真题）函数的图象一定不经过第_________象限．
【答案】二
【分析】根据一次函数的图象的性质作答．
【解析】解：由已知，得：．故直线必经过第一、三、四象限．
则不经过第二象限．故答案为：二．
【点睛】考查了一次函数的性质，能够根据k，b的符号正确判断直线所经过的象限．
3．（2020·辽宁丹东·中考真题）一次函数，且，则它的图象不经过第_________象限．
【答案】三
【分析】根据一次函数的性质，即可得到答案．
【解析】解：在一次函数中，
∵，，∴它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限；故答案为：三
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握，，经过第一、二、四象限是解题的关键．
4．（2019·山东潍坊中考真题）当直线经过第二、三、四象限时，则的取值范围是____．
【答案】.
【分析】根据一次函数，，时图象经过第二、三、四象限，可得，，即可求解；
【解析】经过第二、三、四象限，
∴，，∴，，∴，故答案为.
【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数，与对函数图象的影响是解题的关键．
5．（2018·四川广元·中考真题）已知一次函数，其中从1，-2中随机取一个值，从-1，2，3中随机取一个值，则该一次函数的图象经过一，二，三象限的概率为__________
【答案】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该一次函数的图象经过一、二、三象限的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解析】画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，一次函数的图象经过一、二、三象限的有（1，2），（1，3），
∴一次函数的图象经过一、二、三象限的概率为：，故答案为．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.本题用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6．（2019·四川广安·中考真题）一次函数的图像经过的象限是（ ）
A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、四
【答案】C
【分析】根据题一次函数的图像的性质，即可解答本题．
【解析】解：∵一次函数，∴该函数经过第一、三、四象限，故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
7．（2019·江苏扬州·中考真题）若点P在一次函数的图像上，则点P一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质进行判定即可.
【解析】一次函数y=-x+4中k=-1<0，b>0，所以一次函数y=-x+4的图象经过二、一、四象限，
又点P在一次函数y=-x+4的图象上，所以点P一定不在第三象限，故选C.
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握是解题的关键.y=kx+b：当 k>0，b>0时，函数的图象经过一，二，三象限；当 k>0，b<0时，函数的图象经过一，三，四象限；当 k<0，b>0时，函数的图象经过一，二，四象限；当 k<0，b<0时，函数的图象经过二，三，四象限.
题型8 一次（正比例）函数的增减性问题
【解题技巧】当k>0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈上升趋势；当k<0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈下降趋势．
1．（2020·山东临沂·中考真题）点和点在直线上，则m与n的大小关系是_________．
【答案】m＜n
【解析】
【分析】先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据两点的横坐标大小即可得出结论．
【详解】解：∵直线中，k=2＞0，∴此函数y随着x的增大而增大，
∵＜2，∴m＜n．故答案为：m＜n．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
2．（2020·安徽中考真题）已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．
【解析】∵一次函数的函数值随的增大而减小，∴k﹤0，
A．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；
B．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；
C．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；
D．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=﹥0，此选项不符合题意，故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
3．（2020·四川甘孜·中考模拟）一次函数y=kx－2的函数值y随自变量x的增大而减小，则k的取值范围是__．
【答案】k＜0
【分析】根据一次函数图象的增减性来确定k的符号即可.
【解析】解：∵一次函数y=kx-2的函数值y随自变量x的增大而减小，∴k＜0，故答案为k＜0．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
4．（2019·上海）下列函数中，函数值随自变量x的值增大而增大的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】一次函数当时，函数值总是随自变量的增大而增大，反比例函数当时，在每一个象限内，随自变量增大而增大.
【解析】、该函数图象是直线，位于第一、三象限，随增大而增大，故本选项正确；
、该函数图象是直线，位于第二、四象限，随增大而减小，故本选项错误；
、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，随增大而减小，故本选项错误；
、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，随增大而增大，故本选项错误.故选：.
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数的增减性；熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是关键.
5．（2021·贵州贵阳·中考模拟）一次函数y=kx﹣1的图象经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为（ ）
A．（﹣5，3） B．（1，﹣3） C．（2，2） D．（5，﹣1）
【答案】C
【分析】根据函数图象的性质判断系数k＞0，则该函数图象经过第一、三象限，由函数图象与y轴交于负半轴，则该函数图象经过第一、三、四象限，由此得到结论．
【解析】∵一次函数y=kx﹣1的图象的y的值随x值的增大而增大，∴k＞0，
A、把点（﹣5，3）代入y=kx﹣1得到：k=﹣＜0，不符合题意；
B、把点（1，﹣3）代入y=kx﹣1得到：k=﹣2＜0，不符合题意；
C、把点（2，2）代入y=kx﹣1得到：k=＞0，符合题意；
D、把点（5，﹣1）代入y=kx﹣1得到：k=0，不符合题意，故选C．
【点睛】考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，根据题意求得k＞0是解题的关键．
6．（2019·山东临沂·中考真题）下列关于一次函数的说法，错误的是( )
A．图象经过第一、二、四象限 B．随的增大而减小
C．图象与轴交于点 D．当时，
【答案】D
【分析】由，可知图象经过第一、二、四象限；由，可得随的增大而减小；图象与轴的交点为；当时，；
【解析】∵，∴图象经过第一、二、四象限，A正确；
∵，∴随的增大而减小，B正确；
令时，，∴图象与轴的交点为，∴C正确；
令时，，当时，；D不正确；故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式中，与对函数图象的影响是解题的关键．
7．（2021·湖北荆州·中考模拟）已知：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（ ）
A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于（1，0）
C．与y轴交于（0，1） D．y随x的增大而减小
【答案】C
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
【解析】将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=x﹣1+2=x+1，
A、直线y=x+1经过第一、二、三象限，错误；B、直线y=x+1与x轴交于（﹣1，0），错误；
C、直线y=x+1与y轴交于（0，1），正确；D、直线y=x+1，y随x的增大而增大，错误，故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律以及一次函数的图象和性质是解题的关键．
题型9 一次（正比例）函数的图象问题
【解题技巧】
1）．通常画正比例函数y=kx（k≠0）的图象时只需取一点（1，k），然后过原点和这一点画直线．
2)．当k>0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈上升趋势；当k<0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈下降趋势．
3)．正比例函数y=kx中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴．
4)．一次函数图象的位置和函数值y的增减性完全由b和比例系数k的符号决定．
1．（2020·山东济南·中考真题）若m﹣2，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由m＜﹣2得出m+1＜0，1﹣m＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．
【解析】解：∵m＜﹣2，∴m+1＜0，1﹣m＞0，
所以一次函数的图象经过一，二，四象限，故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数的图像与性质，不等式的基本性质，掌握一次函数中的对函数图像的影响是解题的关键 ．
2．（2020·浙江杭州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得解析式即可判断．
【解析】解：∵函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），∴2＝a+a，解得a＝1，∴y＝x+1，
∴直线交y轴的正半轴，且过点（1，2），故选：A．
【点睛】此题考查一次函数表达式及图像的相关知识．
3．（2019·浙江中考真题）已知一次函数和，函数和的图象可能是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数图形的性质，结合题意和，即可得到答案.
【解析】①当，、的图象都经过一、二、三象限
②当，、的图象都经过二、三、四象限
③当，的图象都经过一、三、四象限，的图象都经过一、二、四象限
④当，的图象都经过一、二、四象限，的图象都经过一、三、四象限
满足题意的只有A.故选A.
【点睛】本题考查一次函数图像，解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质.
4．（2020·辽宁沈阳·中考模拟） 在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（ ）
A．、B．C．D．
【答案】B
【解析】一次函数的图象过（1，0）、（0，-1）两个点，观察图象可得，只有选项B符合要求，
故选B.
考点：一次函数的图象.
5．（2018·湖南湘潭·中考真题）若b＞0，则一次函数y=﹣x+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据一次函数的k、b的符号确定其经过的象限即可确定答案．
详解：∵一次函数中 ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故选C．
点睛：主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
6．（2020·湖北省·中考真题）对于一次函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点 B．图象与x轴交于点
C．图象不经过第四象限 D．当时，
【答案】D
【分析】根据一次函数的图像与性质即可求解．
【解析】A.图象经过点，正确； B.图象与x轴交于点，正确
C.图象经过第一、二、三象限，故错误； D.当时，y＞4，故错误；故选D．
【点睛】此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知一次函数的性质特点．
题型10 用待定系数法确定一次函数的解析式
【解题技巧】运用待定系数法求一次函数解析式的步骤可简单记为：一设，二代，三解，四回代．
1．（2020·湖南郴州·）小红在练习仰卧起坐，本月日至日的成绩与日期具有如下关系：
日期（日）
成绩（个）
小红的仰卧起坐成绩y与日期之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为__________．
【答案】y=3x+37．
【分析】利用待定系数法即可求出该函数表达式．
【解析】解：设该函数表达式为y=kx+b，根据题意得：，解得，
∴该函数表达式为y=3x+37．故答案为：y=3x+37．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，会利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键．
2．（2020·上海中考真题）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s(米)与时间t(分钟)的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行____米．
【答案】350．
【分析】当8≤t≤20时，设s=kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s=70t+400，求出t=15时s的值，从而得出答案．
【解析】解：当8≤t≤20时，设s=kt+b，
将(8，960)、(20，1800)代入，得：，解得：，∴s=70t+400；
当t=15时，s=1450，1800﹣1450=350，∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米．
故答案为：350．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式．
3．（2020·山东日照·中考真题）将函数y＝2x的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是（ ）
A．y＝2x+3 B．y＝2x﹣3 C．y＝2（x+3） D．y＝2（x﹣3）
【答案】A
【分析】直接利用一次函数“上加下减”的平移规律即可得出答案．
【解析】解：∵将函数y＝2x的图象向上平移3个单位，∴所得图象的函数表达式为：y＝2x+3．故选：A．
【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，正确记忆“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键．
4．（2020·陕西中考模拟）如图，在矩形AOBC中，A（–2，0），B（0，1）．若正比例函数y=kx的图象经过点C，则k的值为（ ）
A．– B． C．–2 D．2
【答案】A
【分析】根据已知可得点C的坐标为（-2，1），把点C坐标代入正比例函数解析式即可求得k.
【解析】∵A(－2，0)，B(0，1)，∴OA=2，OB=1，
∵四边形OACB是矩形，∴BC=OA=2，AC=OB=1，∵点C在第二象限，∴C点坐标为（-2，1），
∵正比例函数y＝kx的图像经过点C，∴-2k=1，∴k=－，故选A.
【点睛】本题考查矩形的性质，待定系数法求正比例函数解析式，根据已知求得点C的坐标是解题的关键.
5．（2020·江苏常州市·九年级一模）一次函数y=kx+b的图像经过点（-1，2），则k-b的值是（ ）
A．-1 B．2 C．1 D．-2
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质即可得．
【详解】由题意，将点代入一次函数的解析式得；则故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握理解一次函数的性质是解题关键．
6．（2019·平阳县鳌江中学中考模拟）若y与x2﹣1成正比例，且当x＝2时，y＝6，则y与x的函数关系式是_____．
【答案】y＝2x2﹣2．
【分析】利用正比例函数的定义，设y＝k（x2﹣1），然后把x＝2，y＝6代入求出k即可得到y与x的函数关系式．
【解析】设y＝k（x2﹣1），把x＝2，y＝6代入得：k×（22﹣1）＝6，解得：k＝2，所以y＝2（x2﹣1），即y＝2x2﹣2．故答案为y＝2x2﹣2．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式：在利用待定系数法求函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
7．（2020·浙江绍兴·中考真题）我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．
x（厘米）
1
2
4
7
11
12
y（斤）
0.75
1.00
1.50
2.75
3.25
3.50
（1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？（2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？
【答案】（1）x＝7，y＝2.75这组数据错误；（2）秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤．
【分析】（1）利用描点法画出图形即可判断．（2）设函数关系式为y＝kx+b，利用待定系数法解决问题即可.
【解析】解：（1）观察图象可知：x＝7，y＝2.75这组数据错误．
（2）设y＝kx+b，把x＝1，y＝0.75，x＝2，y＝1代入可得，
解得， ∴， 当x＝16时，y＝4.5，
答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤.
【点睛】此题考查画一次函数的图象的方法，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的实际应用，正确计算是解此题的关键.
题型11 一次函数与方程、不等式结合
【解题技巧】1）．方程ax+b=k（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=k时x的值.
2）．方程ax+b=k（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图象与直线y=k的交点的横坐标．
3）一次函数y=ax+b（a≠0）与一元一次不等式ax+b>0（或ax+b<0）的关系：
ax+b>0的解集⇔y=ax+b中，y>0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴上方部分图象对应的x的取值范围；
ax+b<0的解集⇔y=ax+b中，y<0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴下方部分图象对应的x的取值范围．
1．（2020·浙江湖州·中考真题）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（ ）
A．y＝x+2 B．y＝x+2 C．y＝4x+2 D．y＝x+2
【答案】C
【分析】分别求出点A、B坐标，再根据各选项解析式求出与x轴交点坐标，判断即可．
【解析】解：∵直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B．∴A（﹣1，0），B（﹣3，0）
A. y＝x+2与x轴的交点为（﹣2，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；
B. y＝x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；
C. y＝4x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝4x+2与x轴的交点不在线段AB上；
D. y＝x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；故选：C
【点睛】本题考查了求直线与坐标轴的交点，注意求直线与x轴交点坐标，即把y=0代入函数解析式．
2．（2020·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据方程或方程组得到A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，解得，，
∴A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，∴△AOB的面积＝3×2＝3，故选：B．
【点睛】本题考查了两直线与坐标轴围成图形的面积，求出交点坐标是解题的关键．
3．（2020·湖北咸宁·中考真题）在平面直角坐标系中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在“好点”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“好点”的定义判断出“好点”即是直线y=x上的点，再各函数中令y=x，对应方程无解即不存在“好点”.
【解析】解：根据“好点”的定义，好点即为直线y=x上的点，令各函数中y=x，
A、x=-x，解得：x=0，即“好点”为（0，0），故选项不符合；
B、，无解，即该函数图像中不存在“好点”，故选项符合；
C、，解得：，经检验是原方程的解，即“好点”为（，）和（-，-），故选项不符合；D、，解得：x=0或3，即“好点”为（0，0）和（3，3），故选项不符合；
故选B.
【点睛】本题考查了函数图像上的点的坐标，涉及到解分式方程，一元二次方程，以及一元一次方程，解题的关键是理解“好点”的定义.
4．（2020·贵州遵义·中考真题）如图，直线y＝kx+b（k、b是常数k≠0）与直线y＝2交于点A（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为_____．
【答案】x＜4
【分析】结合函数图象，写出直线在直线y＝2下方所对应的自变量的范围即可．
【解析】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝2交于点A（4，2），∴x＜4时，y＜2，
∴关于x的不等式kx+b＜2的解集为：x＜4．故答案为：x＜4．
【点睛】本题考查的是利用函数图像解不等式，理解函数图像上的点的纵坐标的大小对图像的影响是解题的关键．
5．（2020·湖南益阳·中考真题）一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．随的增大而减小 D．当时，
【答案】B
【分析】根据一次函数的图象与性质判断即可．
【解析】由图象知，k﹥0，且y随x的增大而增大，故A、C选项错误；
图象与y轴负半轴的交点坐标为（0，-1），所以b=﹣1，B选项正确；
当x﹥2时，图象位于x轴的上方，则有y﹥0即﹥0，D选项错误，故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合法熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键．
6．（2020·湖南湘潭·中考真题）如图，直线经过点，当时，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将代入，可得,再将变形整理，得，求解即可．
【解析】解：由题意将代入，可得，即，
整理得，，∴，由图像可知，∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，解题关键在于灵活应用待定系数法和不等式的性质．
7．（2019·山东烟台·中考真题）如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≤mx+n的解集为______．
【答案】的所有值
【分析】把y=2代入y=x+1，求出x的值，从而得到点P的坐标，由于点P是两条直线的交点，根据两个函数图象特点可以求得不等式x+1≤mx+n的解集．
【解析】把y=2代入y=x+1，得x=1，∴点P的坐标为（1，2），
根据图象可以知道当x≤1时，y=x+1的函数值不小于y=mx+n相应的函数值．
因而不等式x+1≤mx+n的解集是：x≤1．故答案为：x≤1．
【点睛】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
题型12 一次函数相关的应用题
【解题技巧】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
1．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）在一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留0.5小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达C地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
（1）甲车行驶速度是___________千米1时，B，C两地的路程为___________千米；
（2）求乙车从B地返回C地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）；（3）出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是15千米？请你直接写出答案．
【答案】（1）60；360；（2）；（3）小时或小时或5小时或6小时或小时.
【分析】（1）根据F点坐标可求出甲车速度，根据M纵坐标可得B，C两地之间距离；
（2）根据甲车比乙车晚1.5小时到达C地得出点E坐标，再求出点N坐标，利用待定系数法求解即可；
（3）根据运动过程，分五种情况讨论：①在乙车到B地之前时，②当乙在B地停留时，③当乙车从B地开始往回走，追上甲车之前，④当乙车追上甲车并超过15km时，⑤当乙车回到C地时，甲车距离C地15千米时.
【解析】解：（1）由题意可得：F（10，600），
∴甲车的行驶速度是：600÷10=60千米/时，M的纵坐标为360，
∴B，C两地之间的距离为360千米，故答案为：60；360；
（2）∵甲车比乙车晚1.5小时到达C地，∴点E（8.5，0），
乙的速度为360×2÷（10-0.5-1.5）=90千米/小时，则360÷90=4，∴M（4，360），N（4.5，360），
设NE表达式为y=kx+b，将N和E代入，，解得：，
∴y（千米）与x（小时）之间的函数关系式为：；
（3）设出发x小时，行驶中的两车之间的路程是15千米，
①在乙车到B地之前时，600-S甲-S乙=15，即600-60x-90x=15，解得：x=；
②∵（600-360）÷60=4小时，360÷90=4小时，∴甲乙同时到达B地，
当乙在B地停留时，15÷60+4=小时；
③当乙车从B地开始往回走，追上甲车之前，15÷（90-60）+4.5=5小时；
④当乙车追上甲车并超过15km时，（30+15）÷（90-60）+4.5=6小时；
⑤当乙车已经回到C地时，甲车距离C地15千米时，（600-15）÷60=小时.
综上：行驶中的两车之间的路程是15千米时，出发时间为小时或小时或5小时或6小时或小时.
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用—行程问题，解题的关键是结合函数图像分析运动过程，理解各个节点的实际意义.
2．（2020·吉林中考真题）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为．在整个过程中，油箱里的油量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示．
（1）机器每分钟加油量为_____，机器工作的过程中每分钟耗油量为_____．
（2）求机器工作时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时的值．
【答案】（1）3，；（2），；（3）5或40．
【分析】（1）根据加油量为即可得；根据时剩余油量为即可得；
（2）根据函数图象，直接利用待定系数法即可得；
（3）先求出机器加油过程中的关于的函数解析式，再求出时，两个函数对应的x的值即可．
【解析】（1）由函数图象得：机器每分钟加油量为
机器工作的过程中每分钟耗油量为 故答案为：3，；
（2）由函数图象得：当时，机器油箱加满，并开始工作；当时，机器停止工作
则自变量的取值范围为，且机器工作时的函数图象经过点
设机器工作时关于的函数解析式
将点代入得： 解得
则机器工作时关于的函数解析式；
（3）设机器加油过程中的关于的函数解析式
将点代入得： 解得 则机器加油过程中的关于的函数解析式
油箱中油量为油箱容积的一半时，有以下两种情况：
①在机器加油过程中:当时，，解得
②在机器工作过程中:当时，，解得
综上，油箱中油量为油箱容积的一半时的值为5或40．
【点睛】本题考查了函数图象、利用待定系数法求一次函数和正比例函数的解析式等知识点，从函数图象中正确获取信息是解题关键．
3．（2020·陕西中考真题）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？
【答案】（1）；（2）这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．
【分析】（1）分段函数，利用待定系数法解答即可；（2）利用（1）的结论，把y＝80代入求出x的值即可解答．
【解析】解：（1）当0≤x≤15时，设y＝kx（k≠0），
∵y＝kx（k≠0）的图象过（15，20），则：20＝15k，解得k＝，∴y＝；
当15＜x≤60时，设y＝k′x+b（k≠0），
∵y＝k′x+b（k≠0）的图象过（15，20），（60，170），
则：，解得，∴y＝，∴；
（2）当y＝80时，80＝，解得x＝33， 33﹣15＝18（天），
∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量的值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．
4．（2020·四川自贡·中考真题）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销，甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．⑴.以（单位：元）表示商品原价，（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出关于的函数关系式；⑵.新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
【答案】（1）；（2）当购买商品原价金额小于200时，选择甲商场更划算；当购买商品原价金额等于200时，选择甲商场和乙商场购物一样划算；当购买商品原价金额大于200时，选择乙商场更划算.
【分析】（1）根据题意，可以分别写出两家商场对应的关于的函数解析式；
（2）根据（1）中函数关系式，可以得到相应的不等式，从而可以得到新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱．
【解析】解：（1）由题意可得，，
当时，，当时，，
由上可得，；
（2）由题意可知，当购买商品原价小于等于100时，甲商场打9折，乙商场不打折，所以甲商场购物更加划算；当购买商品原价超过100元时，
若，即此时甲商场花费更低，购物选择甲商场；
若，即，此时甲乙商场购物花费一样；
若，即时，此时乙商场花费更低，购物选择乙商场；
综上所述：当购买商品原价金额小于200时，选择甲商场更划算；当购买商品原价金额等于200时，选择甲商场和乙商场购物一样划算；当购买商品原价金额大于200时，选择乙商场更划算．
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
5．（2020·云南中考真题）众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到地和地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：
目的地
车型
地（元/辆）
地（元/辆）
大货车
900
1000
小货车
500
700
现安排上述装好物资的20辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资）中的10辆前往地，其余前往地，设前往地的大货车有辆，这20辆货车的总运费为元．
（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？（2）求与的函数解析式，并直接写出的取值范围；（3）若运往地的物资不少于140吨，求总运费的最小值．
【答案】（1）大货车有辆，则小货车有辆；（2）；（3）当时，（元）．
【分析】（1）设20辆货车中，大货车有辆，则小货车有辆，列一元一次方程可得答案；
（2）先确定调往各地的车辆数，根据题意列出函数关系式即可，根据车辆数不能为负数，得到的取值范围；（3）先求解的范围，再利用函数的性质求解运费的最小值．
【解析】解：（1）设20辆货车中，大货车有辆，则小货车有辆，则
答：20辆货车中，大货车有辆，则小货车有辆．
（2）如下表，调往两地的车辆数如下，
则
由
（3）由题意得：
＞ 所以随的增大而增大，
当时，（元）．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式（组）的应用，同时考查了一次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
6．（2020·贵州遵义·中考真题）为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45元/个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况：
时间
销售数量（个）
销售收入（元）（销售收入＝售价×销售数量）
甲种型号
乙种型号
第一月
22
8
1100
第二月
38
24
2460
（1）求甲、乙两种型号水杯的售价；
（2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个，这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下设购进甲种号水杯a个，利润为w元，写出w与a的函数关系式，并求出第三月的最大利润．
【答案】（1）甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为30元、55元；（2）w＝﹣5a+800，第三月的最大利润为550元．
【分析】（1）设甲种型号的水杯的售价为每个元，乙种型号的水杯每个元，根据题意列出方程组求解即可，（2）根据题意写出利润关于的一次函数关系式，列不等式组求解的范围，从而利用一次函数的性质求利润的最大值．
【解析】解：（1）设甲种型号的水杯的售价为每个元，乙种型号的水杯每个元，则
①②得：
把代入①得：
答：甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为30元、55元；
（2）由题意得：甲种水杯进了个，则乙种水杯进了个，
所以：
又 由①得：，所以不等式组的解集为：
其中为正整数，所以
随的增大而减小，
当时，第三月利润达到最大，最大利润为：元．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，掌握以上知识是解题的关键．
7．（2020·福建中考真题）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
【答案】（1）甲特产15吨，乙特产85吨；（2）26万元．
【分析】（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，根据题意列方程解答；
（2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且，根据题意列函数关系式，再根据函数的性质解答.
【解析】解：（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，
依题意，得，解得，则，
经检验符合题意，所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨；
（2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且，
公司获得的总利润，
因为，所以随着的增大而增大，
又因为，所以当时，公司获得的总利润的最大值为26万元，
故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元.
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用、一次函数的性质等基础知识，考查运算能力、应用意识，考查函数与方程思想，正确理解题意，根据问题列方程或是函数关系式解答问题.
知识框架：
基础知识点：
知识点1-1平面直角坐标系
1）有序实数对
（1）有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对．平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的．（2）经一点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标和纵坐标．有序实数对（a，b）叫做点P的坐标．
2）平面直角坐标系中点的坐标特征
点的位置
横坐标符号
纵坐标符号
第一象限
﹢
+
第二象限
-
+
第三象限
-
-
第四象限
+
-
x轴上
正半轴上
+
0
负半轴上
-
0
y轴上
正半轴上
0
+
负半轴上
0
-
原点
0
0
知识点1-2 坐标的平移对称旋转
（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标（x，-y）；（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标（-x，y）．
（2）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P'（-x，-y）．
（3）点P（x，y）绕坐标原点顺时针旋转90°，其坐标变为P′（y，-x）；
（4）点P（x，y）绕坐标原点顺时针旋转180°，其坐标变为P′（-x，-y）；
（5）点P（x，y）向右（左）平移a个单位，其坐标变为P′（xa，y）；
（6）点P（x，y）向上（下）平移b个单位，其坐标变为P′（x，y±b）；
知识点1-3 函数的相关概念
1）函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。
注：判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。
2）函数的三种表示方法
函数的表示方法一般有三种：解析式法、列表法和图象法，表示函数关系时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．
函数的三种表示方法的优缺点：⑴列表法：对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。
⑵关系式法：全面、准确，但较抽象。⑶图象法：直观、形象、规律明显，但不精确。
3）函数的自变量的取值范围
（1）自变量的取值范围
整式：自变量取一切实数；分式：分母不为零；偶次方根：被开方数为非负数；零指数与负整数指数幂：底数不为零；在实际问题中：自变量的取值范围必须保证每个量都有意义。
（2）函数值：自变量中每个x所对的y的值，即为函数值。
4） 函数的图像及画法
1）函数的图像：对于一个函数，把自变量与应变量的值分别作为点的横坐标、纵坐标，坐标平面内由这些点组成的图形。 如：某天气温随时间的变化
2）已知函数解析式，绘制函数图像步骤：①确定自变量的取值范围；②列表：列出若干自变量与对应应变量的值；③描点：在坐标轴上对应点描点；④连线：平滑曲线依次连接。
知识点1-4 一次函数与正比例函数的概念
1）一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。
特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。故正比例函数是特殊一次函数。
2）函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立。
3）两个函数图象的交点坐标：就是两个解析式组成的方程组的解。
知识点1-5一次（正比例）函数的图象与性质
1）一次函数图象是一条直线；2）已知两点可作图，可求出解析式；
3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（–，0）；
4）过象限、增减性
（过一、二象限）
（过三、四象限）
（过原点）
（过一、三象限）
随的增大而增大
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限
（过二、四象限）
随的增大而减小
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
经过第二、四象限
5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应的纵坐标的大小，就是函数图象上的点的位置的高低。
6）一次函数的平移与位置关系
1）与的位置关系：两直线平行且 两直线垂直
2）、一次函数的平移法则：左加右减，上加下减。
重难点题型
题型1 有序数对与位置的确定
【解题技巧】有序数对的作用：利用有序数对可以在平面内准确表示一个位置．有序数对一般用来表示位置，如用“排”“列”表示教师内座位的位置，用经纬度表示地球上的地点等．
1．（2020·湖北宜昌·中考真题）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（ ）．
A．小李现在位置为第1排第2列 B．小张现在位置为第3排第2列
C．小王现在位置为第2排第2列 D．小谢现在位置为第4排第2列
【答案】B
【分析】由于撤走一排，则四人所在的列数不变、排数减一，据此逐项排除即可．
【解析】解：A. 小李现在位置为第1排第4列，故A选项错误；
B. 小张现在位置为第3排第2列，故B选项正确；C. 小王现在位置为第2排第3列，故C选项错误；
D. 小谢现在位置为第4排第4列，故D选项错误．故选：B．
【点睛】本题考查了位置的确定，根据题目信息、明确行和列的实际意义是解答本题的关键．
2．（2019·浙江义乌·中考真题）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是（ ）
A．在南偏东75º方向处 B．在5km处
C．在南偏东15º方向5km处 D．在南偏东75º方向5km处
【答案】D
【分析】根据方向角的定义解答即可．
【解析】观察图形可得，目标A在南偏东75°方向5km处，故选D．
【点睛】本题考查了方向角的定义，正确理解方向角的意义是解题关键．
3．（2019·甘肃武威·中考真题）中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点__________．
【答案】
【分析】直接利用“帅”位于点，可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．
【解析】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于．
故答案为．
【点睛】本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．
4．（2020·浙江金华市·九年级其他模拟）小明乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间距离是1km（小圆半径是1km），若小艇C在游船的正南方2km，则下列关于小艇A、B的位置描述，正确的是（ ）
A．小艇A在游船的北偏东60°，且距游船3km B．游船在的小艇A北偏东60°，且距游船3km
C．小艇B在游船的北偏西30°，且距游船2km D．小艇B在小艇C的北偏西30°，且距游船2km
【答案】D
【分析】利用方向角的表示方法对各选项进行判断．
【详解】小艇A在游船的北偏东30°，且距游船3km；小艇B在游船的北偏西60°，且距游船2km；
游船在小艇A的南偏西30°，且距游船3km；小艇B在小艇C的北偏西30°，且距游船2km．故选：D．
【点睛】本题考查了坐标确定位置：是熟练掌握平面内特殊位置的点的坐标特征．理解方向角的表示方法．
5．（2020·北京海淀区·九年级二模）共享单车提供了便捷、环保的出行方式．小白同学在北京植物园打开某共享单车APP，如图，“”为小白同学的位置，“★”为检索到的共享单车停放点．为了到达距离最近的共享单车停放点，下列四个区域中，小白同学应该前往的是（ ）
A．F6 B．E6 C．D5 D．F7
【答案】A
【解析】根据图和有序实数对表示位置的方法可得与小白同学距离最近距离最近F6；故答案为A.
6．（2020·河北海港区·中考模拟）如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（－4，2），点B的坐标为（2，－4），则坐标原点为（ ）
A．O1 B．O2 C．O3 D．O4
【答案】A
【解析】因为A点坐标为（－4，2），所以，原点在点A的右边，也在点A的下边2个单位处，从点B来看，B（2，－4），所以，原点在点B的左边，且在点B的上边4个单位处．如下图，O1符合．
考点：平面直角坐标系．
7．（2020·山东威海·中考真题）如图①，某广场地面是用．．三种类型地砖平铺而成的，三种类型地砖上表面图案如图②所示，现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（型）地砖记作，第二块（型）地时记作…若位置恰好为型地砖，则正整数，须满足的条是__________．
【答案】m、n同为奇数或m、n同为偶数
【分析】几何图形，观察A型地砖的位置得到当列数为奇数时，行数也为奇数，当列数为偶数，行数也为偶数的，从而得到m、n满足的条件．
【解析】解：观察图形，A型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，若用（m，n）位置恰好为A型地砖，正整数m，n须满足的条件为m、n同为奇数或m、n同为偶数，故答案为：m、n同为奇数或m、n同为偶数．
【点睛】本题考查了坐标表示位置：通过类比点的坐标考查解决实际问题的能力和阅读理解能力．分析图形，寻找规律是关键．
题型2 点的坐标特征
【解题技巧】（1）第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数；（2）平行于x轴（或垂直于y轴）的直线上的点的纵坐标相等，平行于y轴（或垂直于x轴）的直线上的点的横坐标相等．（3）点P（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，到坐标原点的距离为．
1．（2020·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点到坐标轴的距离及点所在的象限解答即可.
【解析】设点M的坐标为（x，y），
∵点M到x轴的距离为4，∴，∴，
∵点M到y轴的距离为5，∴，∴，
∵点M在第四象限内，∴x=5，y=-4，即点M的坐标为（5，-4）故选：D.
【点睛】此题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，象限内点的坐标的符号特点.
2．（2020·湖南邵阳·中考真题）已知，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，得出，判断选项中的点所在的象限，即可得出答案．
【解析】∵ ∴
选项A：在第一象限;选项B：在第二象限;选项C：在第三象限;选项D：在第四象限.小手盖住的点位于第二象限,故选：B
【点睛】本题考查了点的象限的判断，熟练进行正负的判断是解题的关键．
3．（2020·湖北黄冈·中考真题）在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据点在第三象限，可得，，进而判定出点B横纵坐标的正负，即可解决．
【解析】解：∵点在第三象限，∴，，∴，∴，∴点B在第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握点的坐标特征．
4．（2020·湖南株洲·中考真题）在平面直角坐标系中，点在第二象限内，则a的取值可以是（ ）
A．1 B． C． D．4或-4
【答案】B
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数即可判断．
【解析】解：∵点是第二象限内的点，∴，四个选项中符合题意的数是，故选：B
【点睛】本题考查各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
5．（2020·重庆中考真题）现有四张正面分别标有数字﹣1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背而面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P（m，n）在第二象限的概率为__________．
【答案】
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点P（m，n）在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】解：画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中点P（m，n）在第二象限的结果数为3，
所以点P（m，n）在第二象限的概率＝．故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了点的坐标．
6．（2020·浙江金华·中考真题）点P(m，2)在第二象限内，则m的值可以是(写出一个即可)______．
【答案】－1（答案不唯一，负数即可）
【分析】根据第二象限的点符号是“-，+”，m取负数即可．
【解析】∵点P(m，2)在第二象限内，∴，m取负数即可，如m=-1，
故答案为：－1（答案不唯一，负数即可）．
【点睛】本题考查了已知点所在象限求参数，属于基础题，掌握第二象限点坐标的符号是“-，+”是解题的关键．
7．（2020·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在Rt△CPF中根据勾股定理求出PF的长，再根据垂径定理求出DF的长，进而求出OB，BD的长，从而求出点D的坐标．
【解析】设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，
则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形．
∵OA=8，∴CF=8-5=3，∴PF=4，∴OB=EF=5+4=9．
∵PF过圆心，∴DF=CF=3，∴BD=8-3-3=2，∴D(9，2)．故选A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，以及垂径定理等知识，正确做出辅助线是解答本题的关键．
题型3 坐标的变化（对称、旋转、平移）
【解题技巧】1)一般地，点P与点P1关于x轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数；点P与点P2关于y轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，点P与点P3关于原点对称，则横、纵坐标分别互为相反数，简单记为“关于谁谁不变，关于原点都改变”．
2)图形的平移性质：①平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动；②连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等．
3)图形的旋转性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
③旋转前、后的图形全等；④图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度和方向决定．
1．（2020·四川广安市·中考真题）在平面直角坐标系中，点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，则ab=________．
【答案】12
【分析】根据关于原点对称的两点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数，即求出a和b的值，从而求出结论．
【详解】解：∵点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，∴a=-6，b=-2∴ab=12故答案为：12．
【点睛】此题考查的是根据两点关于原点对称，求参数的值，掌握关于原点对称两点坐标关系是解题关键．
2．（2020·四川雅安·中考模拟）在平面直角坐标系中，P点关于原点的对称点为P1（﹣3，﹣），P点关于x轴的对称点为P2（a、b），则=（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4
【答案】A
【解析】∵P点关于原点的对称点为P1（﹣3，﹣），∴P（3，），
∵P点关于x轴的对称点为P2（a，b），∴P2（3，﹣），∴．故选A．
考点：1、关于原点对称的点的坐标；2、立方根；3、关于x轴、y轴对称的点的坐标．
3．（2021·青海西宁·中考模拟）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+3，﹣2），即（2，﹣2），
则点B关于x轴的对称点B′的坐标是（2，2），故选B．
考点：1.关于x轴、y轴对称的点的坐标；2.坐标与图形变化﹣平移．
4．（2020·柳州市柳林中学中考真题）点A的坐标是（2，﹣3），将点A向上平移4个单位长度得到点A'，则点A'的坐标为_____．
【答案】（2，1）．
【分析】将点A的纵坐标加4，横坐标不变，即可得出点A′的坐标．
【详解】解：将点A（2，﹣3）向上平移4个单位得到点A′，
则点A′的坐标是（2，﹣3+4），即（2，1）．故答案为（2，1）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
5．（2020·山西九年级期中）如图，将一个含角的直角三角尺AOB放在平面直角坐标系中，两条直角边分别与坐标轴重叠．已知，，点D为斜边AB的中点，现将三角尺AOB绕点O顺时针旋转，则点D的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用直角三角形的性质、勾股定理分别求出OB、OA的长，再根据旋转的性质可得的长，从而可得点的坐标，然后根据中点坐标公式即可得．
【详解】在中，，，，
由旋转的性质得：，点为斜边的中点，
将三角尺AOB绕点O顺时针旋转，
点A的对应点落在x轴正半轴上，点B的对应点落在y轴负半轴上，，
又点为斜边的中点，，即，故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、中点坐标公式，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
6．（2020·广东广州·中考真题）如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为_______．
【答案】(4，3)
【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到，求出BD即可得到答案.
【解析】过点A作AH⊥x轴于点H，∵A（1,3），∴AH=3，
由平移得AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴AC=BD，
∵，∴BD=3，∴AC=3，∴C(4，3) 故答案为：(4，3).
【点睛】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系.
7．（2020·广东实验中学附属天河学校九年级期中）如图，的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）.
（1）画出关于点O成中心对称的图形；（2）①画出绕原点O逆时针旋转的； ②直接写出点的坐标为_________.
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）（-2，2）．
【分析】（1）根据中心对称的定义画图即可，（2）根据旋转的定义和要求糊涂即可，
（3）根据所作图，在第二象限，横坐标为-2，纵坐标为2，写出坐标即可．
【详解】（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）由图可知，C2的坐标为（-2，2）．
【点睛】本题考查利用变换作图与点的坐标问题，掌握中心对称的特征，与旋转对称的性质，抓住关建点，中心和方向是解题关键．
题型4 坐标系中的动点和探究规律问题
【解题技巧】1）．动点问题多数情况下会与分类讨论的数学思想及方程、函数思想结合起来进行．
2）．把动点产生的线段长用时间变量t表示出来以后，动点问题就“静态化”处理了．
3）探究规律这类问题通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．
1．（2021·山东菏泽·中考模拟）如图，矩形的顶点的坐标为，是的中点，是上的一点，当的周长最小时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，画出A点关于y轴的对称点A＇,连接A＇D,与y轴交于点E,根据连接两点的连线中，线段最短，可知此时的周长最小，再由A,可得A＇（4,5），因D(-2，0)，即可求得直线DE表达式是，所以点的坐标是，故选B.
2．（2020·山东东营·中考模拟）在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，7），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为_____．
【答案】（﹣，0）
分析：要使得MB-MA的值最大，只需取其中一点关于x轴的对称点，与另一点连成直线，然后求该直线x轴交点即为所求．
【解析】取点B关于x轴的对称点B′，则直线AB′交x轴于点M．点M即为所求．
设直线AB′解析式为：y=kx+b 把点A（-1，-1）B′（2，-7）代入
解得∴直线AB′为：y=-2x-3，
当y=0时，x=-∴M坐标为（-，0）故答案为：（-，0）
点睛：本题考查轴对称-最短路线问题、坐标与图象变换，解答本题的关键是明确题意，利用三角形两边之差小于第三边和一次函数的性质解答．
3．（2020·福建永定区·九年级期中）如图，直角坐标系中两点，P为线段上一动点，作点B关于射线的对称点C，连接，则线段的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】如图，当C位于y轴上时，AC取最小值，通过对称证明，进而求得AC的最小值.
【详解】解：如图，当C位于y轴上时，AC取最小值，
∵C是B关于射线的对称点，∴，，
又∵∴，∴∴，故答案为A.
【点睛】本题考查坐标系与图像的性质、三角形全等与轴对称的综合应用，找到AC取最小值的位置是解题的关键.
4．（2019·山东菏泽·中考真题）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点……第次移动到点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标．
【解析】，，，，，，…，，
所以的坐标为，则的坐标是，故选C．
【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度一般．
5．（2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是_____．
【答案】22020
【分析】根据A1（0，2）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据A2（6，0）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规律可得结论．
【解析】∵点A1（0，2），∴第1个等腰直角三角形的面积==2，
∵A2（6，0），∴第2个等腰直角三角形的边长为 =，
∴第2个等腰直角三角形的面积==4=，
∵A4（10，），∴第3个等腰直角三角形的边长为10−6=4，
∴第3个等腰直角三角形的面积==8=，…
则第2020个等腰直角三角形的面积是；故答案为：．
【点睛】本题主要考查坐标与图形变化以及找规律，熟练掌握方法是关键.
6．（2020·四川广安市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角钱OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3……以此类推，则正方形OB2020B2021C2021的顶点B2021的坐标是________．
【答案】（-21011，-21011）
【分析】首先先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9、B10的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出点B2021的坐标．
【详解】解：∵正方形OA1B1C1的边长为2，∴OB1=2，点B1的坐标为（2，2）
∴OB2=2×=4 ∴B2（0，4），同理可知B3（-4，4），B4（-8，0），B5（-8，-8），B6（0，-16），B7（16，-16），B8（32，0），B9（32，32），B10（0，64）．
由规律可以发现，点B1在第一象限角平分线上、B2在y轴正半轴上、B3在第二象限角平分线上、B4在x轴负半轴上、B5在第三象限角平分线上、B6在y轴负半轴上、B7在第四象限角平分线上、B8在x轴正半轴上、B9在第一象限角平分线上、B10在y轴正半轴上，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标的符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，∵2021÷8=252⋯⋯5，
∴B2021和B5都在第三象限角平分线上，且OB2021=2×=2×21010×=21011×
∴点B2021到x轴和y轴的距离都为21011×÷=21011．
∴B2021（-21011，-21011）故答案为：（-21011，-21011）．
【点睛】此题考查的是一个循环规律归纳的题目，解答此题的关键是确定几个点坐标为一个循环，再确定规律即可．
7．（2020·河北九年级期末）如图在平面直角坐标系中，若干个半径为个单位长度、圆心角为的扇形组成一条连续的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为每秒2个单位，在弧线上的速度为每秒个单位长度，则秒时，点的坐标是_______；秒时，点的坐标是_______．
【答案】
【分析】设第n秒时P的位置为Pn， P5可直接求出，根据点的运动规律找出规律，每4秒回x轴，P4n(4n，0)，由2019=504×4+3，回到在P3的位置上，过P3作P3B⊥x轴于B，则OB=3，P3B=，P3（3，-），当t=2019时，OP2019=OP2016+OB，此时P2019点纵坐标与P3纵坐标相同，即可求．
【详解】设n秒时P的位置为Pn，过P5作P5A⊥x轴于A， OP4=OP2+P2P4=4，P4（4，0），当t=5时，由扇形知P4P5=2，OP4=4，在Rt△P4P5A中，∠P5P4A=60º，则∠P4P5A=90º-∠P5P4A=60º =30º，P4A=P4P5=1，
由勾股定理得PA=，OA=OP4+AP4=5，由点P在第一象限，P（5，），
通过图形中每秒后P的位置发现，每4秒一循环，2019=504×4+3，回到相对在P3的位置上，过P3作P3B⊥x轴于B，则OB=3，P3B=，由P3在第四象限，则P3（3，-），当t=2019时，OP2019=OP2016+OB=4×504+3=2019，P2019点纵坐标与P3纵坐标相同，此时P2019坐标为（2019，- ），秒时，点的坐标是（2019，- ）．
故答案为：（5，），（2019，- ）．
【点睛】本题考查规律中点P的坐标问题关键读懂题中的含义，利用点运动的速度，考查直线与弧线的时间，发现都用1秒，而每4秒就回到x轴上，由此发现规律便可解决问题．
题型5函数的自变量取值范围和函数值
1．（2019·四川内江·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】让二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0列式求得相应的取值范围即可．
【解析】由题意得，，，解得，且，故选D．
【点睛】此题考查函数自变量的取值范围，解题关键在于掌握其定义
2．（2021·广西百色·中考模拟）已知函数y＝ 当x＝2时，函数值y为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】先判断出x=2时，所符合的关系式，然后将x=2代入对应的函数关系式即可．∵x=2＞0，∴y=2x+1=2×2+1=5．故答案为5．
考点：函数值．
3．（2020·四川甘孜·中考真题）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解析】解：由题意，得x+3≠0，解得x≠-3．故选：C．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4．（2020·上海中考真题）已知f(x)=，那么f(3)的值是____．
【答案】1．
【分析】根据f(x)=，将代入即可求解．
【解析】解：由题意得：f(x)=，∴将代替表达式中的，∴f(3)==1．故答案为：1．
【点睛】本题考查函数值的求法，解答本题的关键是明确题意，利用题目中新定义解答．
5．（2020·黑龙江穆棱·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是_______．
【答案】
【分析】直接利用二次根式和分式有意义的条件列出不等式组求解即可．
【解析】解：函数中：，解得：．故答案为：．
【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确把握二次根式和分式有意义的条件是解题关键．
6．（2020·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是_____________________．
【答案】x≠7．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解析】解：由有意义，得x-7≠0，解得x≠7，故答案为：x≠7．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
7．（202-·重庆中考模拟）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（ ）
A．9 B．7 C．﹣9 D．﹣7
【答案】C
【分析】先求出x=7时y的值，再将x=4、y=-1代入y=2x+b可得答案．
【解析】∵当x=7时，y=6-7=-1，∴当x=4时，y=2×4+b=-1，解得：b=-9，故选C．
【点睛】本题主要考查函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法．
题型6 函数的图象与实际应用问题
【解题技巧】1）用图象解决问题时，要理清图象的含义，即会识图。
2）在实际问题中，要注意图象与横轴(x轴)、纵轴(y轴)的交点所代表的具体意义。
1．（2020·四川攀枝花·中考真题）甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是（ ）．
A．两人出发1小时后相遇 B．赵明阳跑步的速度为
C．王浩月到达目的地时两人相距 D．王浩月比赵明阳提前到目的地
【答案】C
【分析】根据图像可得两地之间的距离，再分别算出两人的行进速度，据此可得各项数据进而判断各选项.
【解析】解：由图可知：当时间为0h时，两人相距24km，甲乙两地相距24km，
当时间为1h时，甲乙两人之间距离为0，即此时两人相遇，故A正确；
∵24÷1=24，可得两人的速度和为24km/h，由于王浩月先到达目的地，故赵明阳全程用了3h，
∴赵明阳的速度为24÷3=8km/h，故B正确；可知王浩月的速度为24-8=16km/h，
∴王浩月到达目的地时，用了24÷16=h，此时赵明阳行进的路程为：×8=12km，
即此时两人相距12km，故C错误；赵明阳到达目的地时，用了3h，则3-==1.5h，
∴王浩月比赵明阳提前1.5h到目的地，故D正确.故选C.
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，解题时要充分理解题意，读懂函数图像的意义.
2．（2020·湖北黄冈·中考真题）2020年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平，自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液霱求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销．下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间（天）之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】正确理解函数图象与实际问题的关系，题目中的脱销时库存量为0．
【详解】根据题意：一开始销售量与生产量持平，此时图象为平行于x轴的线段，
当下列猛增是库存随着时间的增加而减小，时间t与库存量y之间函数关系的图象为先平，再逐渐减小，最后为0．故选：D．
【点睛】本题要求能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．
3．（2020·湖北恩施·中考真题）甲乙两车从城出发前往城，在整个行程中，汽车离开城的距离与时刻的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）．
A．甲车的平均速度为 B．乙车的平均速度为
C．乙车比甲车先到城 D．乙车比甲车先出发
【答案】D
【分析】根据图象逐项分析判断即可．
【解析】由图象知：A．甲车的平均速度为=，故此选项正确；
B．乙车的平均速度为，故此选项正确；
C．甲10时到达B城，乙9时到达B城，所以乙比甲先到B城，故此选项正确；
D．甲5时出发，乙6时出发，所以乙比甲晚出发1h，故此选项错误，故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象，正确识别图象并能提取相关信息是解答的关键．
4．（2020·浙江省绍兴市锡麟中学月考）如图，在四边形中，，，，，．动点M，N同时从点A出发，点M以的速度沿向终点B运动，点N以的速度沿折线向终点C运动．设点N的运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出AB=cm，可知M由A到B需3秒,N由A到D需2秒,到C需3.5秒.分三种情况讨论:(1)当N在AD上时,即0＜t≤2,画出图形求解; (2) 当N在CD上且M没到达B时,即2＜t＜3, 画出图形求解; (3)当N在CD上且M与B重合时,即3≤t≤3.5, 画出图形求解.即可选出正确答案.
【解析】解: ∠A=45°，CD=3cm，AB==cm,
∴M由A到B需3秒,N由A到D需2秒,到C需3.5秒,下面分三种情况讨论:
(1)当N在AD上时,即0＜t≤2,如图1,
作ME⊥AD于E,可知AN=2t,AM=,∴EM=t,∴
故此段图像是一条开口向上的抛物线;
(2) 当N在CD上且M没到达B时,即2＜t＜3,如图2,
作MF⊥CD于F,延长AB与DC的延长线交于O,可知DN=2t-4,AM=,OD=4,OA= ,
∴ON=4-DN=8-2t,OM=,∴MF=4- t,∴,
,,
∴,故此段图像是一条开口向下的抛物线;
(3)当N在CD上且M与B重合时,即3≤t≤3.5,如图3,
可知BC=1,DN=2t-4,∴CN=3-DN=7-2t ,∴,
,,
∴,故此段图像是一条呈下降趋势的线段;综上所述,答案是B.
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式．
5．（2020·四川雅安·中考真题）已知，等边三角形和正方形的边长相等，按如图所示的位置摆放（C点与E点重合），点共线，沿方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为，运动过程中两图形重叠部分的面积为，则下面能大致反映与之间关系的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分点C在EF中点的左侧、点C在EF中点的右侧、点C在F点右侧且B在EF中点的左侧，点C在F点右侧且B在EF中点的右侧四种情况，分别求出函数的表达式即可求解．
【解析】解：设等边三角形ABC和正方形DEFG的边长都为a，运动速度为1，
当点C在EF的中点左侧时，
设AC交DE于点H，则CE=t，HE=ECtan∠ACB=t×=t，
则S=S△CEH=×CE×HE=×t×t=，可知图象为开口向上的二次函数，
当点C在EF的中点右侧时，设AB与DE 交于点M，
则EC=t，BE=a-t，ME=，
∴S=，可知图象为开口向下的二次函数；
当点C在F点右侧且B在EF中点的左侧时，
S=，可知图象为开口向下的二次函数；
当点C在F点右侧且B在EF中点的右侧时，此时BF=2a-t，MF=，
∴，可知图象为开口向上的二次函数；故选：A
【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
6．（2020·贵州铜仁·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别求出0≤x≤4、4＜x＜7时函数表达式，即可求解．
【解析】解：由题意当0≤x≤4时，y＝×AD×AB＝×3×4＝6，
当4＜x＜7时，y＝×PD×AD＝×（7﹣x）×4＝14﹣2x．故选：D．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
7．（2019·辽宁铁岭·中考真题）如图，在中，，，于点G，点D为BC边上一动点，交射线CA于点E，作关于DE的轴对称图形得到，设CD的长为x，与重合部分的面积为y．下列图象中，能反映点D从点C向点B运动过程中，y与x的函数关系的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质可得，由与关于DE对称，即可求出当点F与G重合时x的值，再根据分段函数解题即可．
【解析】解：，，，
与关于DE对称，．当点F与G重合时，，即，，当点F与点B重合时，，即，，如图1，当时，，∴B选项错误；
如图2，当时，，∴选项D错误；
如图3，当时，，∴选项C错误．故选A．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象问题，根据几何知识求出函数解析式是解题的关键．
题型7 一次（正比例）函数的过象限问题
【解题技巧】
函数
字母取值
经过的象限
y=kx+b(k≠0)
k>0，b>0
一、二、三
k>0，b<0
一、三、四
k>0，b=0
一、三
y=kx+b(k≠0)
k<0，b>0
一、二、四
k<0，b<0
二、三、四
k<0，b=0
二、四
1．（2020·辽宁沈阳·中考真题）一次函数的图象经过点，点，那么该图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】如图（见解析），在平面直角坐标系中，先描出点A、B，再过点A、B作直线，然后观察函数图象即可得．
【解析】在平面直角坐标系中，先描出点A、B，再过点A、B作直线，如图所示：
观察函数图象可知，一次函数的图象不经过第四象限 故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图象，依据题意，正确画出函数图象是解题关键．
2．（2020·贵州黔南·中考真题）函数的图象一定不经过第_________象限．
【答案】二
【分析】根据一次函数的图象的性质作答．
【解析】解：由已知，得：．故直线必经过第一、三、四象限．
则不经过第二象限．故答案为：二．
【点睛】考查了一次函数的性质，能够根据k，b的符号正确判断直线所经过的象限．
3．（2020·辽宁丹东·中考真题）一次函数，且，则它的图象不经过第_________象限．
【答案】三
【分析】根据一次函数的性质，即可得到答案．
【解析】解：在一次函数中，
∵，，∴它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限；故答案为：三
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握，，经过第一、二、四象限是解题的关键．
4．（2019·山东潍坊中考真题）当直线经过第二、三、四象限时，则的取值范围是____．
【答案】.
【分析】根据一次函数，，时图象经过第二、三、四象限，可得，，即可求解；
【解析】经过第二、三、四象限，
∴，，∴，，∴，故答案为.
【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数，与对函数图象的影响是解题的关键．
5．（2018·四川广元·中考真题）已知一次函数，其中从1，-2中随机取一个值，从-1，2，3中随机取一个值，则该一次函数的图象经过一，二，三象限的概率为__________
【答案】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该一次函数的图象经过一、二、三象限的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解析】画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，一次函数的图象经过一、二、三象限的有（1，2），（1，3），
∴一次函数的图象经过一、二、三象限的概率为：，故答案为．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.本题用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6．（2019·四川广安·中考真题）一次函数的图像经过的象限是（ ）
A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、四
【答案】C
【分析】根据题一次函数的图像的性质，即可解答本题．
【解析】解：∵一次函数，∴该函数经过第一、三、四象限，故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
7．（2019·江苏扬州·中考真题）若点P在一次函数的图像上，则点P一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质进行判定即可.
【解析】一次函数y=-x+4中k=-1<0，b>0，所以一次函数y=-x+4的图象经过二、一、四象限，
又点P在一次函数y=-x+4的图象上，所以点P一定不在第三象限，故选C.
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握是解题的关键.y=kx+b：当 k>0，b>0时，函数的图象经过一，二，三象限；当 k>0，b<0时，函数的图象经过一，三，四象限；当 k<0，b>0时，函数的图象经过一，二，四象限；当 k<0，b<0时，函数的图象经过二，三，四象限.
题型8 一次（正比例）函数的增减性问题
【解题技巧】当k>0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈上升趋势；当k<0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈下降趋势．
1．（2020·山东临沂·中考真题）点和点在直线上，则m与n的大小关系是_________．
【答案】m＜n
【解析】
【分析】先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据两点的横坐标大小即可得出结论．
【详解】解：∵直线中，k=2＞0，∴此函数y随着x的增大而增大，
∵＜2，∴m＜n．故答案为：m＜n．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
2．（2020·安徽中考真题）已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．
【解析】∵一次函数的函数值随的增大而减小，∴k﹤0，
A．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；
B．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；
C．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；
D．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=﹥0，此选项不符合题意，故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
3．（2020·四川甘孜·中考模拟）一次函数y=kx－2的函数值y随自变量x的增大而减小，则k的取值范围是__．
【答案】k＜0
【分析】根据一次函数图象的增减性来确定k的符号即可.
【解析】解：∵一次函数y=kx-2的函数值y随自变量x的增大而减小，∴k＜0，故答案为k＜0．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
4．（2019·上海）下列函数中，函数值随自变量x的值增大而增大的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】一次函数当时，函数值总是随自变量的增大而增大，反比例函数当时，在每一个象限内，随自变量增大而增大.
【解析】、该函数图象是直线，位于第一、三象限，随增大而增大，故本选项正确；
、该函数图象是直线，位于第二、四象限，随增大而减小，故本选项错误；
、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，随增大而减小，故本选项错误；
、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，随增大而增大，故本选项错误.故选：.
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数的增减性；熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是关键.
5．（2021·贵州贵阳·中考模拟）一次函数y=kx﹣1的图象经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为（ ）
A．（﹣5，3） B．（1，﹣3） C．（2，2） D．（5，﹣1）
【答案】C
【分析】根据函数图象的性质判断系数k＞0，则该函数图象经过第一、三象限，由函数图象与y轴交于负半轴，则该函数图象经过第一、三、四象限，由此得到结论．
【解析】∵一次函数y=kx﹣1的图象的y的值随x值的增大而增大，∴k＞0，
A、把点（﹣5，3）代入y=kx﹣1得到：k=﹣＜0，不符合题意；
B、把点（1，﹣3）代入y=kx﹣1得到：k=﹣2＜0，不符合题意；
C、把点（2，2）代入y=kx﹣1得到：k=＞0，符合题意；
D、把点（5，﹣1）代入y=kx﹣1得到：k=0，不符合题意，故选C．
【点睛】考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，根据题意求得k＞0是解题的关键．
6．（2019·山东临沂·中考真题）下列关于一次函数的说法，错误的是( )
A．图象经过第一、二、四象限 B．随的增大而减小
C．图象与轴交于点 D．当时，
【答案】D
【分析】由，可知图象经过第一、二、四象限；由，可得随的增大而减小；图象与轴的交点为；当时，；
【解析】∵，∴图象经过第一、二、四象限，A正确；
∵，∴随的增大而减小，B正确；
令时，，∴图象与轴的交点为，∴C正确；
令时，，当时，；D不正确；故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式中，与对函数图象的影响是解题的关键．
7．（2021·湖北荆州·中考模拟）已知：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（ ）
A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于（1，0）
C．与y轴交于（0，1） D．y随x的增大而减小
【答案】C
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
【解析】将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=x﹣1+2=x+1，
A、直线y=x+1经过第一、二、三象限，错误；B、直线y=x+1与x轴交于（﹣1，0），错误；
C、直线y=x+1与y轴交于（0，1），正确；D、直线y=x+1，y随x的增大而增大，错误，故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律以及一次函数的图象和性质是解题的关键．
题型9 一次（正比例）函数的图象问题
【解题技巧】
1）．通常画正比例函数y=kx（k≠0）的图象时只需取一点（1，k），然后过原点和这一点画直线．
2)．当k>0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈上升趋势；当k<0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈下降趋势．
3)．正比例函数y=kx中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴．
4)．一次函数图象的位置和函数值y的增减性完全由b和比例系数k的符号决定．
1．（2020·山东济南·中考真题）若m﹣2，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由m＜﹣2得出m+1＜0，1﹣m＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．
【解析】解：∵m＜﹣2，∴m+1＜0，1﹣m＞0，
所以一次函数的图象经过一，二，四象限，故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数的图像与性质，不等式的基本性质，掌握一次函数中的对函数图像的影响是解题的关键 ．
2．（2020·浙江杭州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得解析式即可判断．
【解析】解：∵函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），∴2＝a+a，解得a＝1，∴y＝x+1，
∴直线交y轴的正半轴，且过点（1，2），故选：A．
【点睛】此题考查一次函数表达式及图像的相关知识．
3．（2019·浙江中考真题）已知一次函数和，函数和的图象可能是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数图形的性质，结合题意和，即可得到答案.
【解析】①当，、的图象都经过一、二、三象限
②当，、的图象都经过二、三、四象限
③当，的图象都经过一、三、四象限，的图象都经过一、二、四象限
④当，的图象都经过一、二、四象限，的图象都经过一、三、四象限
满足题意的只有A.故选A.
【点睛】本题考查一次函数图像，解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质.
4．（2020·辽宁沈阳·中考模拟） 在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（ ）
A．、B．C．D．
【答案】B
【解析】一次函数的图象过（1，0）、（0，-1）两个点，观察图象可得，只有选项B符合要求，
故选B.
考点：一次函数的图象.
5．（2018·湖南湘潭·中考真题）若b＞0，则一次函数y=﹣x+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据一次函数的k、b的符号确定其经过的象限即可确定答案．
详解：∵一次函数中 ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故选C．
点睛：主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
6．（2020·湖北省·中考真题）对于一次函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点 B．图象与x轴交于点
C．图象不经过第四象限 D．当时，
【答案】D
【分析】根据一次函数的图像与性质即可求解．
【解析】A.图象经过点，正确； B.图象与x轴交于点，正确
C.图象经过第一、二、三象限，故错误； D.当时，y＞4，故错误；故选D．
【点睛】此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知一次函数的性质特点．
题型10 用待定系数法确定一次函数的解析式
【解题技巧】运用待定系数法求一次函数解析式的步骤可简单记为：一设，二代，三解，四回代．
1．（2020·湖南郴州·）小红在练习仰卧起坐，本月日至日的成绩与日期具有如下关系：
日期（日）
成绩（个）
小红的仰卧起坐成绩y与日期之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为__________．
【答案】y=3x+37．
【分析】利用待定系数法即可求出该函数表达式．
【解析】解：设该函数表达式为y=kx+b，根据题意得：，解得，
∴该函数表达式为y=3x+37．故答案为：y=3x+37．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，会利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键．
2．（2020·上海中考真题）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s(米)与时间t(分钟)的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行____米．
【答案】350．
【分析】当8≤t≤20时，设s=kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s=70t+400，求出t=15时s的值，从而得出答案．
【解析】解：当8≤t≤20时，设s=kt+b，
将(8，960)、(20，1800)代入，得：，解得：，∴s=70t+400；
当t=15时，s=1450，1800﹣1450=350，∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米．
故答案为：350．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式．
3．（2020·山东日照·中考真题）将函数y＝2x的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是（ ）
A．y＝2x+3 B．y＝2x﹣3 C．y＝2（x+3） D．y＝2（x﹣3）
【答案】A
【分析】直接利用一次函数“上加下减”的平移规律即可得出答案．
【解析】解：∵将函数y＝2x的图象向上平移3个单位，∴所得图象的函数表达式为：y＝2x+3．故选：A．
【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，正确记忆“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键．
4．（2020·陕西中考模拟）如图，在矩形AOBC中，A（–2，0），B（0，1）．若正比例函数y=kx的图象经过点C，则k的值为（ ）
A．– B． C．–2 D．2
【答案】A
【分析】根据已知可得点C的坐标为（-2，1），把点C坐标代入正比例函数解析式即可求得k.
【解析】∵A(－2，0)，B(0，1)，∴OA=2，OB=1，
∵四边形OACB是矩形，∴BC=OA=2，AC=OB=1，∵点C在第二象限，∴C点坐标为（-2，1），
∵正比例函数y＝kx的图像经过点C，∴-2k=1，∴k=－，故选A.
【点睛】本题考查矩形的性质，待定系数法求正比例函数解析式，根据已知求得点C的坐标是解题的关键.
5．（2020·江苏常州市·九年级一模）一次函数y=kx+b的图像经过点（-1，2），则k-b的值是（ ）
A．-1 B．2 C．1 D．-2
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质即可得．
【详解】由题意，将点代入一次函数的解析式得；则故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握理解一次函数的性质是解题关键．
6．（2019·平阳县鳌江中学中考模拟）若y与x2﹣1成正比例，且当x＝2时，y＝6，则y与x的函数关系式是_____．
【答案】y＝2x2﹣2．
【分析】利用正比例函数的定义，设y＝k（x2﹣1），然后把x＝2，y＝6代入求出k即可得到y与x的函数关系式．
【解析】设y＝k（x2﹣1），把x＝2，y＝6代入得：k×（22﹣1）＝6，解得：k＝2，所以y＝2（x2﹣1），即y＝2x2﹣2．故答案为y＝2x2﹣2．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式：在利用待定系数法求函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
7．（2020·浙江绍兴·中考真题）我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．
x（厘米）
1
2
4
7
11
12
y（斤）
0.75
1.00
1.50
2.75
3.25
3.50
（1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？（2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？
【答案】（1）x＝7，y＝2.75这组数据错误；（2）秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤．
【分析】（1）利用描点法画出图形即可判断．（2）设函数关系式为y＝kx+b，利用待定系数法解决问题即可.
【解析】解：（1）观察图象可知：x＝7，y＝2.75这组数据错误．
（2）设y＝kx+b，把x＝1，y＝0.75，x＝2，y＝1代入可得，
解得， ∴， 当x＝16时，y＝4.5，
答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤.
【点睛】此题考查画一次函数的图象的方法，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的实际应用，正确计算是解此题的关键.
题型11 一次函数与方程、不等式结合
【解题技巧】1）．方程ax+b=k（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=k时x的值.
2）．方程ax+b=k（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图象与直线y=k的交点的横坐标．
3）一次函数y=ax+b（a≠0）与一元一次不等式ax+b>0（或ax+b<0）的关系：
ax+b>0的解集⇔y=ax+b中，y>0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴上方部分图象对应的x的取值范围；
ax+b<0的解集⇔y=ax+b中，y<0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴下方部分图象对应的x的取值范围．
1．（2020·浙江湖州·中考真题）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（ ）
A．y＝x+2 B．y＝x+2 C．y＝4x+2 D．y＝x+2
【答案】C
【分析】分别求出点A、B坐标，再根据各选项解析式求出与x轴交点坐标，判断即可．
【解析】解：∵直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B．∴A（﹣1，0），B（﹣3，0）
A. y＝x+2与x轴的交点为（﹣2，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；
B. y＝x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；
C. y＝4x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝4x+2与x轴的交点不在线段AB上；
D. y＝x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；故选：C
【点睛】本题考查了求直线与坐标轴的交点，注意求直线与x轴交点坐标，即把y=0代入函数解析式．
2．（2020·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据方程或方程组得到A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，解得，，
∴A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，∴△AOB的面积＝3×2＝3，故选：B．
【点睛】本题考查了两直线与坐标轴围成图形的面积，求出交点坐标是解题的关键．
3．（2020·湖北咸宁·中考真题）在平面直角坐标系中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在“好点”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“好点”的定义判断出“好点”即是直线y=x上的点，再各函数中令y=x，对应方程无解即不存在“好点”.
【解析】解：根据“好点”的定义，好点即为直线y=x上的点，令各函数中y=x，
A、x=-x，解得：x=0，即“好点”为（0，0），故选项不符合；
B、，无解，即该函数图像中不存在“好点”，故选项符合；
C、，解得：，经检验是原方程的解，即“好点”为（，）和（-，-），故选项不符合；D、，解得：x=0或3，即“好点”为（0，0）和（3，3），故选项不符合；
故选B.
【点睛】本题考查了函数图像上的点的坐标，涉及到解分式方程，一元二次方程，以及一元一次方程，解题的关键是理解“好点”的定义.
4．（2020·贵州遵义·中考真题）如图，直线y＝kx+b（k、b是常数k≠0）与直线y＝2交于点A（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为_____．
【答案】x＜4
【分析】结合函数图象，写出直线在直线y＝2下方所对应的自变量的范围即可．
【解析】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝2交于点A（4，2），∴x＜4时，y＜2，
∴关于x的不等式kx+b＜2的解集为：x＜4．故答案为：x＜4．
【点睛】本题考查的是利用函数图像解不等式，理解函数图像上的点的纵坐标的大小对图像的影响是解题的关键．
5．（2020·湖南益阳·中考真题）一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．随的增大而减小 D．当时，
【答案】B
【分析】根据一次函数的图象与性质判断即可．
【解析】由图象知，k﹥0，且y随x的增大而增大，故A、C选项错误；
图象与y轴负半轴的交点坐标为（0，-1），所以b=﹣1，B选项正确；
当x﹥2时，图象位于x轴的上方，则有y﹥0即﹥0，D选项错误，故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合法熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键．
6．（2020·湖南湘潭·中考真题）如图，直线经过点，当时，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将代入，可得,再将变形整理，得，求解即可．
【解析】解：由题意将代入，可得，即，
整理得，，∴，由图像可知，∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，解题关键在于灵活应用待定系数法和不等式的性质．
7．（2019·山东烟台·中考真题）如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≤mx+n的解集为______．
【答案】的所有值
【分析】把y=2代入y=x+1，求出x的值，从而得到点P的坐标，由于点P是两条直线的交点，根据两个函数图象特点可以求得不等式x+1≤mx+n的解集．
【解析】把y=2代入y=x+1，得x=1，∴点P的坐标为（1，2），
根据图象可以知道当x≤1时，y=x+1的函数值不小于y=mx+n相应的函数值．
因而不等式x+1≤mx+n的解集是：x≤1．故答案为：x≤1．
【点睛】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
题型12 一次函数相关的应用题
【解题技巧】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
1．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）在一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留0.5小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达C地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
（1）甲车行驶速度是___________千米1时，B，C两地的路程为___________千米；
（2）求乙车从B地返回C地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）；（3）出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是15千米？请你直接写出答案．
【答案】（1）60；360；（2）；（3）小时或小时或5小时或6小时或小时.
【分析】（1）根据F点坐标可求出甲车速度，根据M纵坐标可得B，C两地之间距离；
（2）根据甲车比乙车晚1.5小时到达C地得出点E坐标，再求出点N坐标，利用待定系数法求解即可；
（3）根据运动过程，分五种情况讨论：①在乙车到B地之前时，②当乙在B地停留时，③当乙车从B地开始往回走，追上甲车之前，④当乙车追上甲车并超过15km时，⑤当乙车回到C地时，甲车距离C地15千米时.
【解析】解：（1）由题意可得：F（10，600），
∴甲车的行驶速度是：600÷10=60千米/时，M的纵坐标为360，
∴B，C两地之间的距离为360千米，故答案为：60；360；
（2）∵甲车比乙车晚1.5小时到达C地，∴点E（8.5，0），
乙的速度为360×2÷（10-0.5-1.5）=90千米/小时，则360÷90=4，∴M（4，360），N（4.5，360），
设NE表达式为y=kx+b，将N和E代入，，解得：，
∴y（千米）与x（小时）之间的函数关系式为：；
（3）设出发x小时，行驶中的两车之间的路程是15千米，
①在乙车到B地之前时，600-S甲-S乙=15，即600-60x-90x=15，解得：x=；
②∵（600-360）÷60=4小时，360÷90=4小时，∴甲乙同时到达B地，
当乙在B地停留时，15÷60+4=小时；
③当乙车从B地开始往回走，追上甲车之前，15÷（90-60）+4.5=5小时；
④当乙车追上甲车并超过15km时，（30+15）÷（90-60）+4.5=6小时；
⑤当乙车已经回到C地时，甲车距离C地15千米时，（600-15）÷60=小时.
综上：行驶中的两车之间的路程是15千米时，出发时间为小时或小时或5小时或6小时或小时.
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用—行程问题，解题的关键是结合函数图像分析运动过程，理解各个节点的实际意义.
2．（2020·吉林中考真题）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为．在整个过程中，油箱里的油量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示．
（1）机器每分钟加油量为_____，机器工作的过程中每分钟耗油量为_____．
（2）求机器工作时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时的值．
【答案】（1）3，；（2），；（3）5或40．
【分析】（1）根据加油量为即可得；根据时剩余油量为即可得；
（2）根据函数图象，直接利用待定系数法即可得；
（3）先求出机器加油过程中的关于的函数解析式，再求出时，两个函数对应的x的值即可．
【解析】（1）由函数图象得：机器每分钟加油量为
机器工作的过程中每分钟耗油量为 故答案为：3，；
（2）由函数图象得：当时，机器油箱加满，并开始工作；当时，机器停止工作
则自变量的取值范围为，且机器工作时的函数图象经过点
设机器工作时关于的函数解析式
将点代入得： 解得
则机器工作时关于的函数解析式；
（3）设机器加油过程中的关于的函数解析式
将点代入得： 解得 则机器加油过程中的关于的函数解析式
油箱中油量为油箱容积的一半时，有以下两种情况：
①在机器加油过程中:当时，，解得
②在机器工作过程中:当时，，解得
综上，油箱中油量为油箱容积的一半时的值为5或40．
【点睛】本题考查了函数图象、利用待定系数法求一次函数和正比例函数的解析式等知识点，从函数图象中正确获取信息是解题关键．
3．（2020·陕西中考真题）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？
【答案】（1）；（2）这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．
【分析】（1）分段函数，利用待定系数法解答即可；（2）利用（1）的结论，把y＝80代入求出x的值即可解答．
【解析】解：（1）当0≤x≤15时，设y＝kx（k≠0），
∵y＝kx（k≠0）的图象过（15，20），则：20＝15k，解得k＝，∴y＝；
当15＜x≤60时，设y＝k′x+b（k≠0），
∵y＝k′x+b（k≠0）的图象过（15，20），（60，170），
则：，解得，∴y＝，∴；
（2）当y＝80时，80＝，解得x＝33， 33﹣15＝18（天），
∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量的值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．
4．（2020·四川自贡·中考真题）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销，甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．⑴.以（单位：元）表示商品原价，（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出关于的函数关系式；⑵.新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
【答案】（1）；（2）当购买商品原价金额小于200时，选择甲商场更划算；当购买商品原价金额等于200时，选择甲商场和乙商场购物一样划算；当购买商品原价金额大于200时，选择乙商场更划算.
【分析】（1）根据题意，可以分别写出两家商场对应的关于的函数解析式；
（2）根据（1）中函数关系式，可以得到相应的不等式，从而可以得到新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱．
【解析】解：（1）由题意可得，，
当时，，当时，，
由上可得，；
（2）由题意可知，当购买商品原价小于等于100时，甲商场打9折，乙商场不打折，所以甲商场购物更加划算；当购买商品原价超过100元时，
若，即此时甲商场花费更低，购物选择甲商场；
若，即，此时甲乙商场购物花费一样；
若，即时，此时乙商场花费更低，购物选择乙商场；
综上所述：当购买商品原价金额小于200时，选择甲商场更划算；当购买商品原价金额等于200时，选择甲商场和乙商场购物一样划算；当购买商品原价金额大于200时，选择乙商场更划算．
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
5．（2020·云南中考真题）众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到地和地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：
目的地
车型
地（元/辆）
地（元/辆）
大货车
900
1000
小货车
500
700
现安排上述装好物资的20辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资）中的10辆前往地，其余前往地，设前往地的大货车有辆，这20辆货车的总运费为元．
（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？（2）求与的函数解析式，并直接写出的取值范围；（3）若运往地的物资不少于140吨，求总运费的最小值．
【答案】（1）大货车有辆，则小货车有辆；（2）；（3）当时，（元）．
【分析】（1）设20辆货车中，大货车有辆，则小货车有辆，列一元一次方程可得答案；
（2）先确定调往各地的车辆数，根据题意列出函数关系式即可，根据车辆数不能为负数，得到的取值范围；（3）先求解的范围，再利用函数的性质求解运费的最小值．
【解析】解：（1）设20辆货车中，大货车有辆，则小货车有辆，则
答：20辆货车中，大货车有辆，则小货车有辆．
（2）如下表，调往两地的车辆数如下，
则
由
（3）由题意得：
＞ 所以随的增大而增大，
当时，（元）．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式（组）的应用，同时考查了一次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
6．（2020·贵州遵义·中考真题）为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45元/个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况：
时间
销售数量（个）
销售收入（元）（销售收入＝售价×销售数量）
甲种型号
乙种型号
第一月
22
8
1100
第二月
38
24
2460
（1）求甲、乙两种型号水杯的售价；
（2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个，这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下设购进甲种号水杯a个，利润为w元，写出w与a的函数关系式，并求出第三月的最大利润．
【答案】（1）甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为30元、55元；（2）w＝﹣5a+800，第三月的最大利润为550元．
【分析】（1）设甲种型号的水杯的售价为每个元，乙种型号的水杯每个元，根据题意列出方程组求解即可，（2）根据题意写出利润关于的一次函数关系式，列不等式组求解的范围，从而利用一次函数的性质求利润的最大值．
【解析】解：（1）设甲种型号的水杯的售价为每个元，乙种型号的水杯每个元，则
①②得：
把代入①得：
答：甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为30元、55元；
（2）由题意得：甲种水杯进了个，则乙种水杯进了个，
所以：
又 由①得：，所以不等式组的解集为：
其中为正整数，所以
随的增大而减小，
当时，第三月利润达到最大，最大利润为：元．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，掌握以上知识是解题的关键．
7．（2020·福建中考真题）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
【答案】（1）甲特产15吨，乙特产85吨；（2）26万元．
【分析】（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，根据题意列方程解答；
（2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且，根据题意列函数关系式，再根据函数的性质解答.
【解析】解：（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，
依题意，得，解得，则，
经检验符合题意，所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨；
（2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且，
公司获得的总利润，
因为，所以随着的增大而增大，
又因为，所以当时，公司获得的总利润的最大值为26万元，
故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元.
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用、一次函数的性质等基础知识，考查运算能力、应用意识，考查函数与方程思想，正确理解题意，根据问题列方程或是函数关系式解答问题.
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