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考点09 反比例函数-2022年中考数学高频考点专题突破（全国通用）（解析版）
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考点9. 反比例函数
知识框架：
基础知识点：
知识点1-1反比例函数的概念:
一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
知识点1-2反比例函数的图象和性质
表达式
（k是常数，k≠0）
k
k>0
k<0
大致图象
所在象限
第一、三象限
第二、四象限
增减性
在每个象限内，y随x的增大而减小
在每个象限内，y随x的增大而增大
1）反比例函数的图象与性质
（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
2）反比例函数图象的对称性
反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．
3）注意:反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
知识点1-3反比例函数解析式的确定
1）待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
2）待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
（1）设反比例函数解析式为（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
知识点1-4反比例函数中|k|的几何意义
1）反比例函数图象中有关图形的面积
2）涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
知识点1-5反比例函数与一次函数的综合
1）自变量取值范围型
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，后求出交点坐标．针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．
2）求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
3）反比例函数的实际应用:解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．
重难点题型
题型1 反比例函数的定义
【解题技巧】（1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式．
（2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x的指数为1．
1．（2021·山东滨州·中考模拟）下列函数：①y=2x﹣1；②；③y=x2+8x﹣2；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函数的有 ▲ （填序号）
【答案】②⑤．
【解析】反比例函数的定义．
【分析】根据反比例函数的定义逐一作出判断：①y=2x﹣1是一次函数，不是反比例函数；②是反比例函数；③y=x2+8x﹣2是二次函数，不是反比例函数；④不是反比例函数；⑤是反比例函数；⑥中，a≠0时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数．故答案为②⑤．
2．（2020·湖南长沙·中考真题）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开 ，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位：天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由总量=vt，求出v即可．
【解析】解（1）∵vt=106，∴v=，故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
3．（2020·湖北宜昌·中考真题）已知电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：（或者），实际生活中，由于给定已知量不同，因此会有不同的可能图象，图象不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在实际生活中，电压U、电流I、电阻R三者之中任何一个不能为负，依此可得结果．
【解析】A图象反映的是，但自变量R的取值为负值，故选项A错误；B、C、D选项正确，不符合题意．故选：A．
【点睛】此题主要考查了现实生活中函数图象的确立，注意自变量取值不能为负是解答此题的关键．
4．（2019·湖北孝感·中考真题）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂. 小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂l（单位：）的函数解析式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据所给公式列式，整理即可得答案.
【解析】∵阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，∴动力(单位：)关于动力臂(单位：)的函数解析式为：，则，
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键.
5．（2020·浙江台州·中考模拟）已知电流I（安培）、电压U（伏特）、电阻R（欧姆）之间的关系为，当电压为定值时，I关于R的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的图像性质进行判断．
【解析】解：∵，电压为定值，∴I关于R的函数是反比例函数，且图象在第一象限，故选C．
【点睛】本题考查反比例函数的图像，掌握图像性质是解题关键．
题型2反比例函数的性质（过象限问题）
【解题技巧】当k>0时，函数的图象在第一、三象限， 当k<0时，函数的图象在第二、四象限.
1．（2020·辽宁营口·中考真题）反比例函数y＝（x＜0）的图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据题目中的函数解析式和x的取值范围，可以解答本题．
【解析】解：∵反比例函数y＝（x＜0）中，k＝1＞0，∴该函数图象在第三象限，故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的图象,关键在于熟记反比例函数图象的性质.
2．（2020·山东菏泽·中考真题）从，，，这四个数中任取两个不同的数分别作为，的值，得到反比例函数，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是______．
【答案】
【分析】从，，，中任取两个数值作为，的值，表示出基本事件的总数，再表示出其积为负值的基础事件数，按照概率公式求解即可．
【解析】从，，，中任取两个数值作为，的值，其基本事件总数有：
共计12种；
其中积为负值的共有：8种， ∴其概率为：故答案为：．
【点睛】本题结合反比例函数图象的性质，考查了概率的计算，能准确写出基本事件的总数，和满足条件的基本事件数，是解题的关键．
3．（2019·辽宁营口·中考真题）反比例函数的图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据题目中的函数解析式和x的取值范围，可以解答本题．
【解析】∵反比例函数，，∴该函数图象在第四象限，故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的性质和图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
4．（2020·新疆中考模拟）已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y＝kx(k≠0)图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，那么一次函数y＝kx－k的图象不经过( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】当x1＜x2＜0时，y1＞y2，可判定k＞0，所以﹣k＜0，即可判定一次函数y=kx﹣k的图象经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限，故答案选B．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系．
5．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考模拟）已知反比例函数y=的图象在第一、三象限内，则k的值可以是__．(写出满足条件的一个k的值即可)
【答案】1
【分析】在本题中已知“反比例函数的图像在第一、三象限内,”从而得到2-k＞0,顺利求解k的值.
【解析】反比例函数的图像在第一、三象限内可得，2-k＞0解得:k＜2
不妨取k=1,可得已知反比例函数,即可满足的图像在第一、三象限内.
【点睛】熟练掌握反比例函数的性质是本题的解题关键.
6．（2021·江苏南京·中考模拟）反比例函数（为常数，）的图象位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
【解析】∵k≠0，∴k2＞0，∴﹣k2＜0，∴反比例函数（k为常数，k≠0）的图象位于第二、四象限．
故选C．
题型3反比例函数的性质（增减性与比大小问题）
【解题技巧】当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y随x的增大而增大．
1．（2020·山西中考真题）已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先画出反比例函数，利用函数图像的性质得到当时，，，的大小关系．
【解析】解： 反比例函数， 反比例函数图像在第二、四象限，
观察图像：当时，则．故选A．
【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键．
2．（2020·湖北武汉·中考真题）若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】由反比例函数，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，由此分三种情况①若点A、点B在同在第二或第四象限；②若点A在第二象限且点B在第四象限；③若点A在第四象限且点B在第二象限讨论即可．
【解析】解：∵反比例函数，∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
①若点A、点B同在第二或第四象限，∵，∴a-1＞a+1，此不等式无解；
②若点A在第二象限且点B在第四象限，∵，∴，解得：；
③由y1＞y2，可知点A在第四象限且点B在第二象限这种情况不可能．
综上，的取值范围是．故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，不要遗漏．
3．（2020·浙江金华·中考真题）已知点(－2，a)，(2，b)，(3，c)在函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，则，．
【解析】解：，函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，
，，，．故选：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4．（2019·辽宁朝阳·中考真题）若点，，在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由于反比例函数的系数是－8，故把点A、B、C的坐标依次代入反比例函数的解析式，求出的值即可进行比较.
【解析】解：∵点、、在反比例函数的图象上，
∴，，，又∵，∴．故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，难度不大，理解点的坐标与函数图象的关系是解题的关键.
5．（2019·江苏徐州·中考真题）若、都在函数的图象上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意和反比例函数的性质可以解答本题．
【解析】函数，该函数图象在第一、三象限、在每个象限内随的增大而减小，
、都在函数的图象上，且 ，，故选A．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
6．（2019·贵州黔东南·中考真题）若点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( )
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
【答案】C
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论.
【解析】∵点A(﹣4，y1)、B(﹣2，y2)、C(2，y3)都在反比例函数的图象上，
∴，，，又∵﹣＜＜，∴y3＜y1＜y2，故选C.
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数值的大小比较，熟知反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数的解析式是解题的关键.
7．（2019·广东广州·中考真题）若点，，在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点A、B、C分别在反比例函数上，可解得、、的值，然后通过比较大小即可解答.
【解析】解：将A、B、C的横坐标代入反比函数上，得：y1＝－6，y2＝3，y3＝2，
所以，；故选C.
【点睛】本题考查了反比例函数的计算，熟练掌握是解题的关键.
题型4 反比例函数的图象问题
1．（2020·山东威海·中考真题）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解．
【解析】当时，，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一 、三象限，故排除A，C选项；
当时，，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限，故排除B选项，故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解决本题的关键．
2．（2020·青海）若，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】由，得异号，若图象中得到的异号则成立，否则不成立．
【解析】A. 由图象可知：，故A错误；B. 由图象可知：，故B正确；
C. 由图象可知：，但正比例函数图象未过原点，故C错误；
D. 由图象可知：，故D错误；故选：B．
【点睛】本题考查了根据已知参数的取值范围确定函数的大致图象的问题，熟知参数对于函数图象的影响是解题的关键．
3．（2019·山东济南·中考真题）函数与（）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可．
【解析】时，，在一、二、四象限，在一、三象限，无选项符合．
时，，在一、三、四象限，（）在二、四象限，只有D符合；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．
4．（2019·宁夏中考真题）函数和在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点，可以解答本题．
【解析】解：在函数和中，
当时，函数的图象在第一、三象限，函数的图象在第一、二、三象限，故选项A、D错误，选项B正确，
当时，函数的图象在第二、四象限，函数的图象在第一、二、四象限，故选项C错误，故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
5．（2020·山东潍坊·中考模拟）一次函数与反比例函数，其中,为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ）.
A．B．C． D．
【答案】C
【解析】A、由一次函数图象过一、三象限，得a＞0，交y轴负半轴，则b＜0，满足ab＜0，
∴a﹣b＞0，∴反比例函数的图象过一、三象限，所以此选项不正确；
B、由一次函数图象过二、四象限，得a＜0，交y轴正半轴，则b＞0，满足ab＜0，
∴a﹣b＜0，∴反比例函数的图象过二、四象限，所以此选项不正确；
C、由一次函数图象过一、三象限，得a＞0，交y轴负半轴，则b＜0，满足ab＜0，∴a﹣b＞0，
∴反比例函数的图象过一、三象限，所以此选项正确；
D、由一次函数图象过二、四象限，得a＜0，交y轴负半轴，则b＜0，满足ab＞0，与已知相矛盾
所以此选项不正确；故选：C．
考点：1、反比例函数的图象；2、一次函数的图象
6．（2020·山东日照·中考模拟）反比例函数y=的图象如图所示，则一次函数y=kx+b（k≠0）的图象的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由反比例函数的图象得到k，b同号，然后分析各选项一次函数的图象即可.
【解析】∵y=的图象经过第一、三象限，∴kb＞0，∴k，b同号，
选项A图象过二、四象限，则k＜0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；
选项B图象过二、四象限，则k＜0，图象经过原点，则b=0，此时，k，b不同号，故此选项不合题意；
选项C图象过一、三象限，则k＞0，图象经过y轴负半轴，则b＜0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；
选项D图象过一、三象限，则k＞0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b同号，故此选项符合题意；故选D．
考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．
题型5 反比例函数的图象与性质综合
1．（2020·湖南衡阳·中考真题）反比例函数经过点，则下列说法错误的是（ ）
A． B．函数图象分布在第一、三象限
C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】将点（2,1）代入中求出k值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一分析即可．
【解析】将点（2,1）代入中，解得：k=2，A．k=2，此说法正确，不符合题意；
B．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不符合题意；
C．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法错误，符合题意；
D．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法正确，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，理解函数图象上的点与解析式的关系是解答的关键．
2．（2020·广西中考真题）反比例函数y＝（x＜0）的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论：①k＞0；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③该函数图象关于直线y＝﹣x对称；④若点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上．其中正确结论的个数有_____个．
【答案】3
【分析】观察反比例函数y＝（x＜0）的图象可得，图象过第二象限，可得k＜0，然后根据反比例函数的图象和性质即可进行判断．
【解析】观察反比例函数y＝（x＜0）的图象可知：图象过第二象限，∴k＜0，所以①错误；
因为当x＜0时，y随x的增大而增大，所以②正确；因为该函数图象关于直线y＝﹣x对称，所以③正确；
因为点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，所以k＝﹣6，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上，所以④正确．所以其中正确结论的个数为3个．故答案为：3．
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握图象和性质是解题的关键．
3．（2019·江西中考真题）已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2图象相交于点A(2,4)，下列说法正确的是（ ）
A．反比例函数y2的解析式是y2=-8x B．两个函数图象的另一交点坐标为(2,-4)
C．当x<-2或0
【分析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．
【解析】解：∵正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(2,4)，
∴正比例函数y1=2x，反比例函数y2=8x ∴两个函数图象的另一个角点为(-2,-4)∴A，B选项错误
∵正比例函数y1=2x中，y随x的增大而增大，反比例函数y2=8x中，在每个象限内y随x的增大而减小，
∴D选项错误∵当x<-2或0
4．（2020·湖南衡阳·中考模拟）对于反比例函数，下列说法不正确的是
A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而增大
C．图象经过点（1,-2） D．若点，都在图象上，且，则
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】A. k=−2<0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；
B. k=−2<0，当x>0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；
C.∵,∴点(1,−2)在它的图象上，故本选项正确；
D. 若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，,若x1<0< x2,则y2
5．（2020·黑龙江绥化·中考模拟）已知反比例函数，下列结论中不正确的是
A．其图象经过点 B．其图象分别位于第一、第三象限
C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．
【解析】A、当时，，此函数图象过点，故本选项正确；
B、，此函数图象的两个分支位于一三象限，故本选项正确；
C、，当时，y随着x的增大而减小，故本选项正确；
D、当时，，当时，，故本选项错误，故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键.
6．（2021·山东日照·中考模拟）已知反比例函数y=﹣，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（ ）个
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】根据反比例函数的性质，逐一进行判断即可得答案．
【解析】①当x=﹣2时，y=4，即图象必经过点（﹣2，4）；②k=﹣8＜0，图象在第二、四象限内；
③k=﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，错误；
④k=﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，若0＞x＞﹣1，﹣y＞8，故④错误，故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
7．（2021·四川广安·中考模拟）平面直角坐标系xOy中，如果有点P（﹣2，1）与点Q（2，﹣1），那么：①点P与点Q关于x轴对称；②点P与点Q关于y轴对称；③点P与点Q关于原点对称；④点P与点Q都在的图象上，前面的四种描述正确的是( )
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】D
【解析】关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数．
∵点P（﹣2，1）与点Q（2，﹣1），∴P、Q两点关于原点对称，故①②错误，③正确．
又∵（﹣2）×1=﹣2，2×（﹣1）=﹣2，∴点P与点Q都在的图象上，故④正确．
∴③④正确．故选D
题型6 待定系数法求反比例函数的解析式
1．反比例函数的解析式（k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k值，也就确定了反比例函数，因此要确定反比例函数的解析式，只需给一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，代入中即可．
2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在图象上，若乘积不等于k，则点不在图象上．
1．（2020·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为_____．
【答案】-1．
【分析】根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论．
【解析】解：点，，分别在三个不同的象限，点在第二象限，
点一定在第三象限，
在第一象限，反比例函数的图象经过其中两点，
反比例函数的图象经过，，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．
2．（2020·山东滨州·中考真题）若正比例函数的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为________．
【答案】
【分析】利用正比例函数解析式求出交点的横坐标，再将交点的坐标代入反比例函数解析式中求出k即可得到答案.
【解析】令y=2x中y=2，得到2x=2，解得x=1，
∴正比例函数的图象与某反比例函数的图象交点的坐标是（1,2），
设反比例函数解析式为，将点（1,2）代入，得，
∴反比例函数的解析式为，故答案为：.
【点睛】此题考查函数图象上点的坐标，函数图象的交点坐标，待定系数法求反比例函数的解析式，正确计算解答问题.
3．（2020·上海中考真题）已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( )
A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣
【答案】D
【分析】设解析式y=，代入点(2,-4)求出即可．
【解析】设反比例函数解析式为y=，将(2，-4)代入，得：-4=，
解得：k=-8，所以这个反比例函数解析式为y=-．故选：D．
【点睛】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数解析式只需要知道其图像上一点的坐标即可．
4．（2020•无锡）反比例函数y=kx与一次函数y=815x+1615的图形有一个交点B（12，m），则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．23 D．43
【分析】将点B坐标代入一次函数解析式可求点B坐标，再代入反比例函数解析式，可求解．
【解析】∵一次函数y=815x+1615的图象过点B（12，m），∴m=815×12+1615=43，∴点B（12，43），
∵反比例函数y=kx过点B，∴k=12×43=23，故选：C．
5．（2020·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知反比例函数的图像经过点，则的值是_________．
【答案】﹣12
【分析】直接将点代入反比例函数解析式中，解之即可．
【解析】依题意，将点代入，得：，解得：=﹣12，故答案为：﹣12．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握图象上的坐标与解析式的关系是解答的关键．
6．（2019·西藏中考真题）已知点是直线与双曲线（为常数）一支的交点，过点作轴的垂线，垂足为，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】易求得点的坐标，代入（为常数）即可求出．
【解析】由题意，可知点的横坐标是，由点在正比例函数的图象上，
点的坐标为或，
又点在反比例函数（为常数）的图象上，，即，故选：D．
【点睛】本题综合考查反比例函数与一次函数的交点问题．先由正比例函数解析式求点的坐标是解题关键．
7．（2020·浙江嘉兴·中考真题）经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如下表．
x
1
2
3
4
5
6
y
6
2.9
2
1.5
1.2
1
（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式．
（2）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上．若x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由．
【答案】（1）图象见解析，()；（2）y1＞y2，理由见解析．
【分析】（1）利用描点法即可画出函数图象，再利用待定系数法即可得出函数表达式；
（2）根据反比例函数的性质解答即可．
【解析】解：（1）函数图象如图所示，设函数表达式为，
把x＝1，y＝6代入，得k＝6，∴函数表达式为()；
（2）∵k＝6＞0，∴在第一象限，y随x的增大而减小，∴0＜x1＜x2时，则y1＞y2．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象的特点和求函数关系表达式，解题的关键是求出函数表达式，并熟悉反比例函数的性质和特点．
题型7 反比例函数中k的几何意义
【解题技巧】（1）因为反比例函数中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为|k|，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．
1．（2020·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B位于y轴的正半轴上，顶点C，D位于x轴的负半轴上，双曲线y＝（k＜0，x＜0）与▱ABCD的边AB，AD交于点E、F，点A的纵坐标为10，F（﹣12，5），把△BOC沿着BC所在直线翻折，使原点O落在点G处，连接EG，若EG∥y轴，则△BOC的面积是_____．
【答案】
【分析】将点F坐标代入解析式，可求双曲线解析式为y＝−，由平行四边形的性质可得OB=10，BE=6，由勾股定理可求EG的长，由勾股定理可求CO的长，即可求解．
【解析】解：∵双曲线 y＝（k＜0，x＜0）经过点F（﹣12，5），∴k＝﹣60，∴双曲线解析式为 y＝．
∵▱ABCD的顶点A的纵坐标为10，∴BO＝10，点E的纵坐标为10，且在双曲线y＝上，
∴点E的横坐标为﹣6，即BE＝6．
∵△BOC和△BGC关于BC对称，∴BG＝BO＝10，GC＝OC．
∵EG∥y轴，在Rt△BEG中，BE＝6，BG＝10，∴EG＝＝8．
延长EG交x轴于点H，
∵EG∥y轴，∴∠GHC是直角，在Rt△GHC中，设GC＝m，
则有CH＝OH﹣OC＝BE﹣GC＝6﹣m，GH＝EH﹣EG＝10﹣8＝2，则有m2＝22+（6﹣m）2，
∴m=，∴GC＝＝OC，∴S△BOC=××10=，故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题关键．
2．（2020·贵州贵阳·中考真题）如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，则四边形的面积为____．
【答案】3
【分析】根据反比例函数的图象上点的坐标性得出|xy|＝3，进而得出四边形的面积．
【解析】解：如图所示：可得OB×AB＝|xy|＝|k|＝3，则四边形的面积为：3，故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
3．（2020·贵州黔东南·中考真题）如图，点A是反比例函数y（x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y＝的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】连接OA、OB、PC．由于AC⊥y轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系数k的几何意义得到S△APC＝S△AOC＝3，S△BPC＝S△BOC＝1，然后利用S△PAB＝S△APC﹣S△APB进行计算．
【解析】解：如图，
连接OA、OB、PC．∵AC⊥y轴，∴S△APC＝S△AOC＝×|6|＝3，S△BPC＝S△BOC＝×|2|＝1，
∴S△PAB＝S△APC﹣S△BPC＝2．故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
4．（2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在y轴上，点C坐标为（2，﹣2），并且AO：BO＝1：2，点D在函数y＝（x＞0）的图象上，则k的值为_____．
【答案】2
【分析】先根据C的坐标求得矩形OBCE的面积，再利用AO：BO＝1：2，即可求得矩形AOED的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k．
【解析】如图，∵点C坐标为（2，﹣2），∴矩形OBCE的面积＝2×2＝4，
∵AO：BO＝1：2，∴矩形AOED的面积＝2，
∵点D在函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝2，故答案为2．
【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合，涉及矩形的面积之比、反比例函数比例系数k的几何意义，解答的关键是理解系数k的几何意义和矩形的面积比的含义．
5．（2020·湖北鄂州·中考真题）如图，点A是双曲线上一动点，连接，作，且使，当点A在双曲线上运动时，点B在双曲线上移动，则k的值为___________．
【答案】﹣9
【分析】首先根据反比例函数的比例系数k的几何意义求得△AOC的面积，然后证明△OAC∽△BOD，根据相似三角形的面积的性质求得△BOD的面积，依据反比例函数的比例系数k的几何意义即可求解．
【解析】解：如图作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．∵∴=
∵点A是双曲线上∴S△OAC= ∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，
又∵直角△AOC中，∠AOC+∠CAO=90°，∴∠BOD=∠OAC，
又∵∠ACO=∠BDO=90°，∴△OAC∽△BOD，∴=
∴ ∴=9 ∵函数图像位于第四象限∴ｋ＝﹣9故答案为：﹣9
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明△OAC∽△BOD是解题关键．
6．（2020·湖南株洲·中考真题）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（，k为常数且）的图象上，边AB与函数的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为________（结果用含k的式子表示）
【答案】
【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为1，矩形ABCO的面积为k,从而可以求出阴影部分ODBC的面积.
【解析】解：∵D是反比例函数图象上一点
∴根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为=1.
∵点B在函数（，k为常数且）的图象上，四边形OABC为矩形，
∴根据反比例函数k的几何意义可知：矩形ABCO的面积为k.
∴阴影部分ODBC的面积=矩形ABCO的面积-△AOD的面积=k-1.故答案为：k-1.
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义，本题属于中等题型．
7．（2020·四川达州·中考真题）如图，点A、B在反比函数的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接、，则的面积是__________．
【答案】9
【分析】设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，AC与OB的交点为点E，证得S四边形EBDC=S△AOE即可得S△AOB=S四边形ABDC，根据梯形的面积公式求解即可．
【解析】如图，设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，AC与OB的交点为点E，
∵A、B的纵坐标分别是3和6，代入函数关系式可得横坐标分别为4,2；
∴A（4,3），B（2,6）；∴AC=4，BD=2，CD=3
由反比例函数的几何意义可得S△BOD=S△AOC，∴S四边形EBDC=S△AOE，
∴S△AOB=S四边形ABDC= ，故答案为：9．
【点睛】本题考查了反比例函数中三角形面积的求解，要能够熟练掌握反比例函数的性质和几何意义；双曲线上任意一点向x轴或y轴引垂线，则该点、垂足、原点组成的三角形的面积相等，都是．
8．（2020·湖南邵阳·中考真题）如图，已知点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，的面积是2．则k的值是_________．
【答案】4
【分析】根据△OAB的面积等于2即可得到线段OB与线段AB的乘积，进而得到A点横坐标与纵坐标的乘积，进而求出k值．
【解析】解：设点A的坐标为()，，
由题意可知：，∴，
又点A在反比例函数图像上，故有．故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的图形和性质是解决此类题的关键．
题型8反比例函数与几何图形综合
1．（2020·辽宁朝阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形，且点C在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A． B． C．42 D．
【答案】D
【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可；
【解析】解：∵当x=0时，，∴A(0，4)， ∴OA=4；
∵当y=0时，，∴x=-3，∴B(-3，0)， ∴OB=3；
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵∠CBE+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，∴∠CBE =∠BAO．
在△AOB和△BEC中，，∴△AOB≌△BEC，
∴BE=AO=4，CE=OB=3，∴OE=3+4=7，∴C点坐标为（-7，3），
∵点A在反比例函数的图象上，∴k=-7×3=-21．故选D．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用．
2．（2020·辽宁铁岭·中考真题）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点和点在边上，，连接轴，则的值为（ ）
A． B．3 C．4 D．
【答案】C
【分析】依次可证明△OFE和△AFD为等腰直角三角形，再依据勾股定理求得DF的长度，即可得出D点坐标，从而求得k的值．
【解析】解：∵，，x轴⊥y轴，∴OE=OF=1，∠FOE=90°，∠OEF=∠OFE=45°，
∴，∴，
∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=90°，∵轴，∴∠DFE=∠OEF=45°，
∴∠ADF=45°，，∴
∴D(4，1)，∴，解得，故选：C．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，求反比例函数解析式，勾股定理，矩形的性质．能依据已知点的坐标，得出△OFE是等腰直角三角形是解题关键．
3．（2020·江苏淮安·中考真题）如图，等腰的两个顶点、在反比例函数（）的图象上，．过点作边的垂线交反比例函数（）的图象于点，动点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数（）图象上一点，则__________．
【答案】1
【分析】由，，得到是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，即CD是反比例函数的对称轴，直线CD的关系式是，根据A点的坐标是，代入反比例函数，得反比例函数关系式为，在根据直线CD与反比例函数（）的图象于点，求得点的坐标是（-2，-2），则，根据点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数图象上，得到，则P点的坐标是（1，1），将P（1，1）代入反比例函数，得．
【解析】解：如图示，AB与CD相交于E点，P在反比例函数（）图象上，
∵，，∴是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，
∴CD是反比例函数的对称轴，则直线CD的关系式是，
∵A点的坐标是，代入反比例函数，得
则反比例函数关系式为
又∵直线CD与反比例函数（）的图象于点，
则有，解之得：（D点在第三象限），∴D点的坐标是（-2，-2），∴，
∵点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数图象上，
∴，则P点的坐标是（1，1）（P点在第一象限），
将P（1，1）代入反比例函数，得，故答案为：1．
【点睛】本题考查了用待定系数法求出反比例函数，反比例函数的对称性和解二元一次方程组的应用，熟悉相关性质是解此题的关键．
4．（2020·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为6，4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为_____．
【答案】12
【分析】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为6，4，可得出横坐标，即可表示AE，BE的长，根据菱形的面积为2，求得AE的长，在Rt△AEB中，计算BE的长，列方程即可得出k的值．
【解析】解：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，∵BC∥x轴，∴AE⊥BC，
∵A，B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象，且纵坐标分别为6，4，
∴A（，6），B（，4），∴AE＝2，BE＝﹣＝，
∵菱形ABCD的面积为2，∴BC×AE＝2，即BC＝，∴AB＝BC＝，
在Rt△AEB中，BE＝＝＝1，∴k＝1，∴k＝12，故答案为：12．
【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合，菱形的性质，勾股定理，掌握数形结合的思想是解题关键．
5．（2020·湖南怀化·中考真题）如图，，，，…，，都是一边在轴上的等边三角形，点，，，…，都在反比例函数的图象上，点，，，…，，都在轴上，则的坐标为________．
【答案】
【分析】如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，先在△OCB1中，表示出OC和B1C的长度，表示出B1的坐标，代入反比例函数，求出OC的长度和OA1的长度，表示出A1的坐标，同理可求得A2、A3的坐标，即可发现一般规律．
【解析】如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，
∵△OA1B1为等边三角形，∴∠B1OC=60°，∴，B1C= OC，
设OC的长度为x，则B1的坐标为（），代入函数关系式可得：，
解得，x=1或x=-1（舍去），∴OA1=2OC=2，∴A1（2，0）
设A1D的长度为y，同理，B2D为y，B2的坐标表示为，
代入函数关系式可得，解得：y=或y=（舍去）
∴A1D=，A1A2=，OA2=∴A2（，0）
设A2E的长度为z，同理，B3E为z，B3的坐标表示为，
代入函数关系式可得，解得：z=或z=（舍去）
∴A2E=，A2A3=，OA3=
∴A3（，0），综上可得：An（，0），故答案为：．
【点睛】本题考查图形类规律探索、反比例函数的性质、等边三角形的性质、求解一元二次方程和解直角三角形，灵活运用各类知识求出A1、A2、A3的坐标是解题的关键．
6．（2020·浙江衢州·中考真题）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y=（x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD=3，三角板的斜边FG=，则k=_____．
【答案】
【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，求出MN，FN，进而求出AN、MB，表示出点F、点M的坐标，利用反比例函数k的意义，确定点F的坐标，进而确定k的值即可．
【解析】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN=AD=3，
在Rt△FMN中，∠MFN=30°，∴FN=MN=3，∴AN=MB=8﹣3=5，
设OA=x，则OB=x+3，∴F（x，8），M（x+3，5），∴8x=（x+3）×5，
解得，x=5，∴F（5，8），∴k=5×8=40．故答案为：40．
【点睛】考查反比例函数的图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．
7．（2020·贵州黔南·中考真题）如图，正方形的边长为10，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则该反比例函数的解析式为_________．
【答案】
【分析】过点C作轴于点E，由“AAS”可证，进而得，，可求点C坐标，即可求解．
【解析】解：如图，过点C作轴于E，
∵四边形是正方形，∴，∴，
∵，∴，∴，
又∵，∴，
∴，∴，∴点，
∵反比例函数的图象过点C，∴，
∴反比例函数的解析式为，故答案为：．
【点睛】本题主要是考查正方形的性质及反比例函数，关键是通过正方形的性质构造三角形全等，进而得到点C的坐标，然后根据求解反比例函数解析式的知识进行求解即可．
8．（2020·辽宁大连·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A与D在函数的图象上，轴，垂足为C，点B的坐标为，则k的值为______．
【答案】8
【分析】如图（见解析），先根据正方形的性质、平行线的判定可得轴，从而可得点D的纵坐标为2，再根据正方形的判定与性质可得，从而可得，然后将点D的坐标代入反比例函数的解析式即可．
【解析】如图，连接BD，交AC于点E，点B的坐标为，，
四边形ABCD是正方形，，
轴，轴，点D的纵坐标与点B的纵坐标相同，即为2，
轴，，，四边形OBEC是矩形，
又，四边形OBEC是正方形，，，点D的坐标为，
将点代入反比例函数的解析式得：，解得，故答案为：8．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用、正方形的判定与性质等知识点，熟练运用正方形的判定与性质求出点D的坐标是解题关键．
题型8反比例函数实际应用问题
【解题技巧】用反比例函数解决实际问题的步骤
（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
（5）解：用函数解析式去解决实际问题．
1．（2020·广西玉林·中考真题）南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．设每天打通土石方x千立方米．（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
【答案】（1）（0
（2）根据工期比原计划提前了100天列方程求解即可．
【解析】解：（1）∵共有土石方总量600千立方米，∴（0
经检验x=1是原分式方程的解1+0.2=1.2千立方米，600÷1.2=500天．
答：实际挖掘了500天才能完成首期工程．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出函数关系式；（2）根据工期比原计划提前了100天列出方程．
2．（2020·浙江中考真题）小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y（单位：秒）与训练次数x（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，比较（y1-y2）与（y2-y3）的大小： y1-y2 y2-y3．
【答案】（1）；（2）
【分析】(1)设反比例函数解析式为，将点(3,400)代入求出即可，最后注意自变量的取值范围.
(2) 分别将x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3的值求出，然后再比较大小求解.
【解析】解：(1) 设反比例函数解析式为将点(3,400)代入，即得
故反比例函数的解析式为：.故答案为：.
(2)当x=6时，代入反比例函数中，解得，
当x=8时，代入反比例函数中，解得，
当x=10时，代入反比例函数中，解得，
∴ ∴. 故答案为：>.
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式求法、反比例函数的图像性质等，点在反比例函数上，则将点的坐标代入解析式中，得到等式进而求解.
3．（2020·山东临沂·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系．当时，．（1）写出I关于R的函数解析式；（2）完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
…
…
…
…
（3）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过．那么用电器可变电阻应控制在什么范围内？
【答案】（1）；（2）见解析；（3）控制在3.6以上的范围内
【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设，根据当时，可求出这个反比例函数的解析式；（2）将R的值分别代入函数解析式，即可求出对应的I值，从而完成表格和函数图像；
（3）将I≤10代入函数解析式即可确定电阻的取值范围．
【解析】解：（1）解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设，
∵当时，，代入，得：k=4×9=36，∴；
（2）填表如下：
函数图像如下：
（3）∵I≤10，，∴，∴R≥3.6，即用电器可变电阻应控制在3.6以上的范围内．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
4．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知某厂以小时/千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），且每小时可获得利润元．
（1）某人将每小时获得的利润设为y元，发现时，，所以得出结论：每小时获得的利润，最少是180元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分析说明；
（2）若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产，则1天（按8小时计算）可生产该产品多少千克；（3）要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
【答案】（1）见解析；（2）24千克；（3）该厂应该选取小时/千克的生产速度，最大利润为207400元.
【分析】（1）将y=看成一个正比例函数和一个反比例函数之和，再分贝根据两函数的增减性说明即可；（2）由以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产可得×2=1800，解出t值即可；（3）根据题意表示出生产680千克该产品获得的利润为y=680t·，再求出y的最大值以及此时t值即可.
【解析】解：（1）依据一次函数和反比例函数的增减性质得出结论；
令y=，当t=1时，y=180，
∵当，随t的增大而减小，-3t也随t的增大而减小，
∴-3t+的值随t的增大而减小，∴y=随t的增大而减小，
当t=1时，y取最小，∴他的结论正确；
（2）由题意可得：×2=1800，整理得：，解得：t=或-5（舍），
即以小时/千克的速度匀速生产产品，则1天（按8小时计算）可生产该产品8÷=24千克；
（3）生产680千克该产品获得的利润为：y=680t·
整理得：y=，当t=时，y最大，且为207400元.
故该厂应该选取小时/千克的生产速度，最大利润为207400元.
【点睛】本题考查了函数模型的建立，涉及到一次函数、反比例函数和二次函数，以及二次函数的最值，理解题意，确定函数模型是解题的关键.
5．（2020·湖南郴州·）为了探索函数的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．
列表：
描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：
（1）如图，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
（2）已知点在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
若，则 ；若，则 ；若，则 （填“>”，“=”，“<”）．
（3）某农户要建造一个图所示的长方体形无盖水池，其底面积为平方米，深为米．已知底面造价为千元/平方米，侧面造价为千元/平方米，设水池底面一边的长为米，水池总造价为千元．①请写出与的函数关系式；②若该农户预算不超过千元，则水池底面一边的长应控制在什么范围内?
【答案】（1）见解析；（2）＞；＜；＝；（3）①；②．
【分析】（1）用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可；
（2）观察函数图象可以看出有最低点，即函数有最小值，结合表格提供的信息即可解决问题；
（3）①根据底面面积可求出底面另一条边长，进而可求出水池的侧面积，分别表示出底面和侧面的造价，从而可表示出与的函数关系式；②根据函数关系式结合表格可得出x的控制范围．
【解析】（1）如图1所示；
（2）根据图象和表格可知，
当时，＞；当，则＜；当，则＝；
（3）①∵底面面积为1平方米，一边长为x米，
∴与之相邻的另一边长为米，∴水池侧面面积的和为：
∵底面造价为千元/平方米，侧面造价为千元/平方米，∴
即：与的函数关系式为：；
②∵该农户预算不超过千元，即y≤3.5∴∴，
根据图象或表格可知，当2≤y≤2.5时，，
因此，该农户预算不超过千元，则水池底面一边的长应控制在．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
题型10 反比例函数解答题综合问题
1．（2020·山东枣庄·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点.（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数 的图象与反比例函数 的图象的另一个交点为，连接，求的面积.
【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）的面积为.
【分析】（1）联立两一次函数解出A点坐标，再代入反比例函数即可求解；
（2）联立一次函数与反比例函数求出B点坐标，再根据反比例函数的性质求解三角形的面积.
【解析】（1）由题意：联立直线方程，可得，故A点坐标为（-2,4）
将A（-2,4）代入反比例函数表达式，有，∴;故反比例函数的表达式为
（2）联立直线与反比例函数，
解得，当时，，故B（-8,1）
如图，过A，B两点分别作轴的垂线，交轴于M、N两点，由模型可知S梯形AMNB=S△AOB，
∴S梯形AMNB=S△AOB===
【点睛】此题考查一次函数与反比例函数综合，解题的关键是熟知一次函数与反比例函数的图像与性质.
2．（2020·江苏常州·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D．（1）求a的值及正比例函数的表达式；（2）若，求的面积．
【答案】（1）a=2；y=2x；（2）
【分析】（1）已知反比例函数解析式，点A在反比例函数图象上，故a可求；求出点A的坐标后，点A同时在正比例函数图象上，将点A坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求．
（2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设B点坐标为(b，0)，则D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，可求b值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解．
【解析】（1）已知反比例函数解析式为y=，点A(a，4)在反比例函数图象上,将点A坐标代入，解得a=2，故A点坐标为(2，4)，又∵A点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为y=kx，将点A(2，4)代入正比例函数解析式中，解得k=2，则正比例函数解析式为y=2x．
故a=2；y=2x．
（2）根据第一问的求解结果，以及BD垂直x轴，我们可以设B点坐标为(b，0)，则C点坐标为(b，)、D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，则2b=10，解得b=5，故点B的坐标为(5，0)，D点坐标为(5，10)，C点坐标为(5，)，则在△ACD中，=．故△ACD的面积为．
【点睛】（1）本题主要考查求解正比例函数及反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函数解析式的方法是解答本题的关键．（2）本题根据第一问求解的结果以及BD垂直x轴，利用待定系数法，设B、C、D三点坐标，求出B、C、D三点坐标，是解答本题的关键，同时掌握三角形面积公式，即可求解．
3．（2020·湖北襄阳·）如图，反比例函数和一次函数的图象都经过点和点．（1）______，______；（2）求一次函数的解析式，并直接写出时x的取值范围；（3）若点P是反比例函数的图象上一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积为_________．
【答案】（1）4，2；（2）y=-2x+6，1＜x＜2；（3）2
【分析】（1）把A(1,4)代入求出m的值；再将y=2代入反比例函数式，即可求出n的值；
（2）由（1）可知A、B两点的坐标，将这两点的坐标代入求出k、b的值即可，再根据t图象判定出时x的取值范围；（3）设P点横坐标为a,则纵坐标为，即可知道OM、PM，进而求出面积即可．
【解析】解：（1）把x=1,y=4代入得，4=，解得m=4∴
当y=2时，2= 解得，n=2
（2）把A(1,4)，B(2,2)分别代入得解得∴y2=-2x+6
当y1＜y2时，从图象看得出：1
∴OM=a，PM=,∴S△POM=
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合，根据是正确掌握待定系数法求函数解析式得方法，能根据图形求不等式的解集以及如何求三角形的面积．
4．（2020·山东菏泽·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．
【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；（2）（3，0）或（-5，0）
【分析】（1）将点A坐标代入中求得m，即可得反比例函数的表达式，据此可得点B坐标，再根据A、B两点坐标可得一次函数表达式；
（2）设点P(x，0)，由题意解得PC的长，进而可得点P坐标．
【解析】（1）将点A（1,2）坐标代入中得：m=1×2=2，∴反比例函数的表达式为，
将点B(n，-1)代入中得：，∴n=﹣2，∴B(-2，-1)，
将点A（1，2）、B（-2，-1）代入中得：解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）设点P（x，0），∵直线交轴于点，∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），∴PC=∣x+1∣，
∵的面积是，∴∴解得：，
∴满足条件的点P坐标为（3，0）或（-5，0）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，会用待定系数法求函数的解析式，会用坐标表示线段长是解答的关键．
5．（2020·江苏徐州·中考真题）如图在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点、交反比例函数的图像于点，点在反比例函数的图像上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用点、求解一次函数的解析式，再求的坐标，再求反比例函数解析式；
（2）设 则再表示的长度，列出三角形面积与的函数关系式，利用函数的性质可得答案．
【解析】解：（1）设直线AB为把点、代入解析式得：
解得： 直线为
把代入得： 把代入： ，
（2）设 轴，则 由＜＜，
即当时，
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最值，掌握以上知识是解题的关键．
6．（2020·湖北咸宁·中考真题）如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接，．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）的面积为______；（3）直接写出时x的取值范围．
【答案】（1），；（2）8；（3）-2＜x＜0或x＞6.
【分析】（1）把A代入反比例函数，根据待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式，然后将代入，求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可；
（2）求出一次函数图像与x轴交点坐标，再利用面积公式计算即可；
（3）根据图象得到一次函数图像在反比例函数图像上方时的x取值范围．
【解析】解：（1）把代入反比例函数得：m=6，∴反比例函数的解析式为，
∵点在反比例函数图像上，∴-3a=6，解得a=-2，∴B（-2，-3），
∵一次函数y1=kx+b的图象经过A和B，∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）∵，，一次函数的解析式为，
令y=0，解得：x=4，即一次函数图像与x轴交点为（4，0），
∴S△AOB=，故答案为：8；
（3）由图象可知：时，即一次函数图像在反比例函数图像上方，
x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞6.
【点睛】此题是考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．
7．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段的长是方程的一个根，．请解答下列问题：
（1）求点A，B的坐标；（2）直线交x轴负半轴于点E，交y轴正半轴于点F，交直线于点C．若C是的中点，，反比例函数图象的一支经过点C，求k的值；
（3）在（2）的条件下，过点C作，垂足为D，点M在直线上，点N在直线上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（9，0），B（0，）；（2）-18；（3）存在5个，（9，12）或（9，-12）或（1，0）或（-7，4）或（-15，0）.
【分析】（1）解一元二次方程，得到点A的坐标，再根据可得点B坐标；
（2）利用待定系数法求出直线AB的表达式，根据点C是EF的中点，得到点C横坐标，代入可得点C坐标，根据点C在反比例函数图像上求出k值；（3）画出图形，可得点P共有5个位置，分别求解即可.
【解析】解：（1）∵线段的长是方程的一个根，
解得：x=9或-2（舍），而点A在x轴正半轴，∴A（9，0），∵，∴B（0，）；
（2）∵，∴E（-6，0），设直线AB的表达式为y=kx+b，将A和B代入，
得：，解得：，∴AB的表达式为：，
∵点C是EF的中点，∴点C的横坐标为-3，代入AB中，y=6，则C（-3，6），
∵反比例函数经过点C，则k=-3×6=-18；
（3）存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，
如图，共有5种情况，在四边形DM1P1N1中，M1和点A重合，∴M1（9，0），此时P1（9，12）；
在四边形DP3BN3中，点B和M重合，可知M在直线y=x+3上，
联立：，解得：，∴M（1，4），∴P3（1，0），
同理可得：P2（9，-12），P4（-7，4），P5（-15，0）.
故存在点P使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，
点P的坐标为P1（9，12），P2（9，-12），P3（1，0），P4（-7，4），P5（-15，0）.
【点睛】本题考查了解一元二次方程，一次函数表达式，正方形的性质，反比例函数表达式，难度较大，解题的关键是根据图像画出符合条件的正方形.
8．（2020·湖南湘潭·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，菱形的顶点的坐标为．（1）求过点的反比例函数的解析式；（2）连接，过点作交轴于点，求直线的解析式．
【答案】（1）反比例函数解析式为；（2）直线的解析式为．
【分析】（1）由A的坐标求出菱形的边长，利用菱形的性质确定出B的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）利用相似三角形的性质得出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD解析式即可．
【解析】过点A作轴，过B作轴，垂足分别为E，F，如图，
，，
∵四边形OABC是菱形，，轴，
，，，
设过B点的反比例函数解析式为 把B点坐标代入得，k=32,
所以，反比例函数解析式为；
（2），，，
，，
又，，，，解得，，
设BD所在直线解析式为，把，分别代入，得：
解得，∴直线的解析式为．
【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
知识框架：
基础知识点：
知识点1-1反比例函数的概念:
一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
知识点1-2反比例函数的图象和性质
表达式
（k是常数，k≠0）
k
k>0
k<0
大致图象
所在象限
第一、三象限
第二、四象限
增减性
在每个象限内，y随x的增大而减小
在每个象限内，y随x的增大而增大
1）反比例函数的图象与性质
（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
2）反比例函数图象的对称性
反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．
3）注意:反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
知识点1-3反比例函数解析式的确定
1）待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
2）待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
（1）设反比例函数解析式为（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
知识点1-4反比例函数中|k|的几何意义
1）反比例函数图象中有关图形的面积
2）涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
知识点1-5反比例函数与一次函数的综合
1）自变量取值范围型
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，后求出交点坐标．针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．
2）求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
3）反比例函数的实际应用:解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．
重难点题型
题型1 反比例函数的定义
【解题技巧】（1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式．
（2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x的指数为1．
1．（2021·山东滨州·中考模拟）下列函数：①y=2x﹣1；②；③y=x2+8x﹣2；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函数的有 ▲ （填序号）
【答案】②⑤．
【解析】反比例函数的定义．
【分析】根据反比例函数的定义逐一作出判断：①y=2x﹣1是一次函数，不是反比例函数；②是反比例函数；③y=x2+8x﹣2是二次函数，不是反比例函数；④不是反比例函数；⑤是反比例函数；⑥中，a≠0时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数．故答案为②⑤．
2．（2020·湖南长沙·中考真题）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开 ，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位：天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由总量=vt，求出v即可．
【解析】解（1）∵vt=106，∴v=，故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
3．（2020·湖北宜昌·中考真题）已知电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：（或者），实际生活中，由于给定已知量不同，因此会有不同的可能图象，图象不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在实际生活中，电压U、电流I、电阻R三者之中任何一个不能为负，依此可得结果．
【解析】A图象反映的是，但自变量R的取值为负值，故选项A错误；B、C、D选项正确，不符合题意．故选：A．
【点睛】此题主要考查了现实生活中函数图象的确立，注意自变量取值不能为负是解答此题的关键．
4．（2019·湖北孝感·中考真题）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂. 小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂l（单位：）的函数解析式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据所给公式列式，整理即可得答案.
【解析】∵阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，∴动力(单位：)关于动力臂(单位：)的函数解析式为：，则，
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键.
5．（2020·浙江台州·中考模拟）已知电流I（安培）、电压U（伏特）、电阻R（欧姆）之间的关系为，当电压为定值时，I关于R的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的图像性质进行判断．
【解析】解：∵，电压为定值，∴I关于R的函数是反比例函数，且图象在第一象限，故选C．
【点睛】本题考查反比例函数的图像，掌握图像性质是解题关键．
题型2反比例函数的性质（过象限问题）
【解题技巧】当k>0时，函数的图象在第一、三象限， 当k<0时，函数的图象在第二、四象限.
1．（2020·辽宁营口·中考真题）反比例函数y＝（x＜0）的图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据题目中的函数解析式和x的取值范围，可以解答本题．
【解析】解：∵反比例函数y＝（x＜0）中，k＝1＞0，∴该函数图象在第三象限，故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的图象,关键在于熟记反比例函数图象的性质.
2．（2020·山东菏泽·中考真题）从，，，这四个数中任取两个不同的数分别作为，的值，得到反比例函数，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是______．
【答案】
【分析】从，，，中任取两个数值作为，的值，表示出基本事件的总数，再表示出其积为负值的基础事件数，按照概率公式求解即可．
【解析】从，，，中任取两个数值作为，的值，其基本事件总数有：
共计12种；
其中积为负值的共有：8种， ∴其概率为：故答案为：．
【点睛】本题结合反比例函数图象的性质，考查了概率的计算，能准确写出基本事件的总数，和满足条件的基本事件数，是解题的关键．
3．（2019·辽宁营口·中考真题）反比例函数的图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据题目中的函数解析式和x的取值范围，可以解答本题．
【解析】∵反比例函数，，∴该函数图象在第四象限，故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的性质和图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
4．（2020·新疆中考模拟）已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y＝kx(k≠0)图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，那么一次函数y＝kx－k的图象不经过( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】当x1＜x2＜0时，y1＞y2，可判定k＞0，所以﹣k＜0，即可判定一次函数y=kx﹣k的图象经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限，故答案选B．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系．
5．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考模拟）已知反比例函数y=的图象在第一、三象限内，则k的值可以是__．(写出满足条件的一个k的值即可)
【答案】1
【分析】在本题中已知“反比例函数的图像在第一、三象限内,”从而得到2-k＞0,顺利求解k的值.
【解析】反比例函数的图像在第一、三象限内可得，2-k＞0解得:k＜2
不妨取k=1,可得已知反比例函数,即可满足的图像在第一、三象限内.
【点睛】熟练掌握反比例函数的性质是本题的解题关键.
6．（2021·江苏南京·中考模拟）反比例函数（为常数，）的图象位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
【解析】∵k≠0，∴k2＞0，∴﹣k2＜0，∴反比例函数（k为常数，k≠0）的图象位于第二、四象限．
故选C．
题型3反比例函数的性质（增减性与比大小问题）
【解题技巧】当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y随x的增大而增大．
1．（2020·山西中考真题）已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先画出反比例函数，利用函数图像的性质得到当时，，，的大小关系．
【解析】解： 反比例函数， 反比例函数图像在第二、四象限，
观察图像：当时，则．故选A．
【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键．
2．（2020·湖北武汉·中考真题）若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】由反比例函数，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，由此分三种情况①若点A、点B在同在第二或第四象限；②若点A在第二象限且点B在第四象限；③若点A在第四象限且点B在第二象限讨论即可．
【解析】解：∵反比例函数，∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
①若点A、点B同在第二或第四象限，∵，∴a-1＞a+1，此不等式无解；
②若点A在第二象限且点B在第四象限，∵，∴，解得：；
③由y1＞y2，可知点A在第四象限且点B在第二象限这种情况不可能．
综上，的取值范围是．故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，不要遗漏．
3．（2020·浙江金华·中考真题）已知点(－2，a)，(2，b)，(3，c)在函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，则，．
【解析】解：，函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，
，，，．故选：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4．（2019·辽宁朝阳·中考真题）若点，，在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由于反比例函数的系数是－8，故把点A、B、C的坐标依次代入反比例函数的解析式，求出的值即可进行比较.
【解析】解：∵点、、在反比例函数的图象上，
∴，，，又∵，∴．故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，难度不大，理解点的坐标与函数图象的关系是解题的关键.
5．（2019·江苏徐州·中考真题）若、都在函数的图象上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意和反比例函数的性质可以解答本题．
【解析】函数，该函数图象在第一、三象限、在每个象限内随的增大而减小，
、都在函数的图象上，且 ，，故选A．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
6．（2019·贵州黔东南·中考真题）若点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( )
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
【答案】C
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论.
【解析】∵点A(﹣4，y1)、B(﹣2，y2)、C(2，y3)都在反比例函数的图象上，
∴，，，又∵﹣＜＜，∴y3＜y1＜y2，故选C.
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数值的大小比较，熟知反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数的解析式是解题的关键.
7．（2019·广东广州·中考真题）若点，，在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点A、B、C分别在反比例函数上，可解得、、的值，然后通过比较大小即可解答.
【解析】解：将A、B、C的横坐标代入反比函数上，得：y1＝－6，y2＝3，y3＝2，
所以，；故选C.
【点睛】本题考查了反比例函数的计算，熟练掌握是解题的关键.
题型4 反比例函数的图象问题
1．（2020·山东威海·中考真题）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解．
【解析】当时，，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一 、三象限，故排除A，C选项；
当时，，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限，故排除B选项，故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解决本题的关键．
2．（2020·青海）若，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】由，得异号，若图象中得到的异号则成立，否则不成立．
【解析】A. 由图象可知：，故A错误；B. 由图象可知：，故B正确；
C. 由图象可知：，但正比例函数图象未过原点，故C错误；
D. 由图象可知：，故D错误；故选：B．
【点睛】本题考查了根据已知参数的取值范围确定函数的大致图象的问题，熟知参数对于函数图象的影响是解题的关键．
3．（2019·山东济南·中考真题）函数与（）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可．
【解析】时，，在一、二、四象限，在一、三象限，无选项符合．
时，，在一、三、四象限，（）在二、四象限，只有D符合；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．
4．（2019·宁夏中考真题）函数和在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点，可以解答本题．
【解析】解：在函数和中，
当时，函数的图象在第一、三象限，函数的图象在第一、二、三象限，故选项A、D错误，选项B正确，
当时，函数的图象在第二、四象限，函数的图象在第一、二、四象限，故选项C错误，故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
5．（2020·山东潍坊·中考模拟）一次函数与反比例函数，其中,为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ）.
A．B．C． D．
【答案】C
【解析】A、由一次函数图象过一、三象限，得a＞0，交y轴负半轴，则b＜0，满足ab＜0，
∴a﹣b＞0，∴反比例函数的图象过一、三象限，所以此选项不正确；
B、由一次函数图象过二、四象限，得a＜0，交y轴正半轴，则b＞0，满足ab＜0，
∴a﹣b＜0，∴反比例函数的图象过二、四象限，所以此选项不正确；
C、由一次函数图象过一、三象限，得a＞0，交y轴负半轴，则b＜0，满足ab＜0，∴a﹣b＞0，
∴反比例函数的图象过一、三象限，所以此选项正确；
D、由一次函数图象过二、四象限，得a＜0，交y轴负半轴，则b＜0，满足ab＞0，与已知相矛盾
所以此选项不正确；故选：C．
考点：1、反比例函数的图象；2、一次函数的图象
6．（2020·山东日照·中考模拟）反比例函数y=的图象如图所示，则一次函数y=kx+b（k≠0）的图象的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由反比例函数的图象得到k，b同号，然后分析各选项一次函数的图象即可.
【解析】∵y=的图象经过第一、三象限，∴kb＞0，∴k，b同号，
选项A图象过二、四象限，则k＜0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；
选项B图象过二、四象限，则k＜0，图象经过原点，则b=0，此时，k，b不同号，故此选项不合题意；
选项C图象过一、三象限，则k＞0，图象经过y轴负半轴，则b＜0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；
选项D图象过一、三象限，则k＞0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b同号，故此选项符合题意；故选D．
考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．
题型5 反比例函数的图象与性质综合
1．（2020·湖南衡阳·中考真题）反比例函数经过点，则下列说法错误的是（ ）
A． B．函数图象分布在第一、三象限
C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】将点（2,1）代入中求出k值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一分析即可．
【解析】将点（2,1）代入中，解得：k=2，A．k=2，此说法正确，不符合题意；
B．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不符合题意；
C．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法错误，符合题意；
D．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法正确，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，理解函数图象上的点与解析式的关系是解答的关键．
2．（2020·广西中考真题）反比例函数y＝（x＜0）的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论：①k＞0；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③该函数图象关于直线y＝﹣x对称；④若点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上．其中正确结论的个数有_____个．
【答案】3
【分析】观察反比例函数y＝（x＜0）的图象可得，图象过第二象限，可得k＜0，然后根据反比例函数的图象和性质即可进行判断．
【解析】观察反比例函数y＝（x＜0）的图象可知：图象过第二象限，∴k＜0，所以①错误；
因为当x＜0时，y随x的增大而增大，所以②正确；因为该函数图象关于直线y＝﹣x对称，所以③正确；
因为点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，所以k＝﹣6，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上，所以④正确．所以其中正确结论的个数为3个．故答案为：3．
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握图象和性质是解题的关键．
3．（2019·江西中考真题）已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2图象相交于点A(2,4)，下列说法正确的是（ ）
A．反比例函数y2的解析式是y2=-8x B．两个函数图象的另一交点坐标为(2,-4)
C．当x<-2或0
【分析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．
【解析】解：∵正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(2,4)，
∴正比例函数y1=2x，反比例函数y2=8x ∴两个函数图象的另一个角点为(-2,-4)∴A，B选项错误
∵正比例函数y1=2x中，y随x的增大而增大，反比例函数y2=8x中，在每个象限内y随x的增大而减小，
∴D选项错误∵当x<-2或0
4．（2020·湖南衡阳·中考模拟）对于反比例函数，下列说法不正确的是
A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而增大
C．图象经过点（1,-2） D．若点，都在图象上，且，则
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】A. k=−2<0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；
B. k=−2<0，当x>0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；
C.∵,∴点(1,−2)在它的图象上，故本选项正确；
D. 若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，,若x1<0< x2,则y2
5．（2020·黑龙江绥化·中考模拟）已知反比例函数，下列结论中不正确的是
A．其图象经过点 B．其图象分别位于第一、第三象限
C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．
【解析】A、当时，，此函数图象过点，故本选项正确；
B、，此函数图象的两个分支位于一三象限，故本选项正确；
C、，当时，y随着x的增大而减小，故本选项正确；
D、当时，，当时，，故本选项错误，故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键.
6．（2021·山东日照·中考模拟）已知反比例函数y=﹣，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（ ）个
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】根据反比例函数的性质，逐一进行判断即可得答案．
【解析】①当x=﹣2时，y=4，即图象必经过点（﹣2，4）；②k=﹣8＜0，图象在第二、四象限内；
③k=﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，错误；
④k=﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，若0＞x＞﹣1，﹣y＞8，故④错误，故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
7．（2021·四川广安·中考模拟）平面直角坐标系xOy中，如果有点P（﹣2，1）与点Q（2，﹣1），那么：①点P与点Q关于x轴对称；②点P与点Q关于y轴对称；③点P与点Q关于原点对称；④点P与点Q都在的图象上，前面的四种描述正确的是( )
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】D
【解析】关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数．
∵点P（﹣2，1）与点Q（2，﹣1），∴P、Q两点关于原点对称，故①②错误，③正确．
又∵（﹣2）×1=﹣2，2×（﹣1）=﹣2，∴点P与点Q都在的图象上，故④正确．
∴③④正确．故选D
题型6 待定系数法求反比例函数的解析式
1．反比例函数的解析式（k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k值，也就确定了反比例函数，因此要确定反比例函数的解析式，只需给一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，代入中即可．
2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在图象上，若乘积不等于k，则点不在图象上．
1．（2020·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为_____．
【答案】-1．
【分析】根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论．
【解析】解：点，，分别在三个不同的象限，点在第二象限，
点一定在第三象限，
在第一象限，反比例函数的图象经过其中两点，
反比例函数的图象经过，，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．
2．（2020·山东滨州·中考真题）若正比例函数的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为________．
【答案】
【分析】利用正比例函数解析式求出交点的横坐标，再将交点的坐标代入反比例函数解析式中求出k即可得到答案.
【解析】令y=2x中y=2，得到2x=2，解得x=1，
∴正比例函数的图象与某反比例函数的图象交点的坐标是（1,2），
设反比例函数解析式为，将点（1,2）代入，得，
∴反比例函数的解析式为，故答案为：.
【点睛】此题考查函数图象上点的坐标，函数图象的交点坐标，待定系数法求反比例函数的解析式，正确计算解答问题.
3．（2020·上海中考真题）已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( )
A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣
【答案】D
【分析】设解析式y=，代入点(2,-4)求出即可．
【解析】设反比例函数解析式为y=，将(2，-4)代入，得：-4=，
解得：k=-8，所以这个反比例函数解析式为y=-．故选：D．
【点睛】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数解析式只需要知道其图像上一点的坐标即可．
4．（2020•无锡）反比例函数y=kx与一次函数y=815x+1615的图形有一个交点B（12，m），则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．23 D．43
【分析】将点B坐标代入一次函数解析式可求点B坐标，再代入反比例函数解析式，可求解．
【解析】∵一次函数y=815x+1615的图象过点B（12，m），∴m=815×12+1615=43，∴点B（12，43），
∵反比例函数y=kx过点B，∴k=12×43=23，故选：C．
5．（2020·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知反比例函数的图像经过点，则的值是_________．
【答案】﹣12
【分析】直接将点代入反比例函数解析式中，解之即可．
【解析】依题意，将点代入，得：，解得：=﹣12，故答案为：﹣12．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握图象上的坐标与解析式的关系是解答的关键．
6．（2019·西藏中考真题）已知点是直线与双曲线（为常数）一支的交点，过点作轴的垂线，垂足为，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】易求得点的坐标，代入（为常数）即可求出．
【解析】由题意，可知点的横坐标是，由点在正比例函数的图象上，
点的坐标为或，
又点在反比例函数（为常数）的图象上，，即，故选：D．
【点睛】本题综合考查反比例函数与一次函数的交点问题．先由正比例函数解析式求点的坐标是解题关键．
7．（2020·浙江嘉兴·中考真题）经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如下表．
x
1
2
3
4
5
6
y
6
2.9
2
1.5
1.2
1
（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式．
（2）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上．若x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由．
【答案】（1）图象见解析，()；（2）y1＞y2，理由见解析．
【分析】（1）利用描点法即可画出函数图象，再利用待定系数法即可得出函数表达式；
（2）根据反比例函数的性质解答即可．
【解析】解：（1）函数图象如图所示，设函数表达式为，
把x＝1，y＝6代入，得k＝6，∴函数表达式为()；
（2）∵k＝6＞0，∴在第一象限，y随x的增大而减小，∴0＜x1＜x2时，则y1＞y2．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象的特点和求函数关系表达式，解题的关键是求出函数表达式，并熟悉反比例函数的性质和特点．
题型7 反比例函数中k的几何意义
【解题技巧】（1）因为反比例函数中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为|k|，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．
1．（2020·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B位于y轴的正半轴上，顶点C，D位于x轴的负半轴上，双曲线y＝（k＜0，x＜0）与▱ABCD的边AB，AD交于点E、F，点A的纵坐标为10，F（﹣12，5），把△BOC沿着BC所在直线翻折，使原点O落在点G处，连接EG，若EG∥y轴，则△BOC的面积是_____．
【答案】
【分析】将点F坐标代入解析式，可求双曲线解析式为y＝−，由平行四边形的性质可得OB=10，BE=6，由勾股定理可求EG的长，由勾股定理可求CO的长，即可求解．
【解析】解：∵双曲线 y＝（k＜0，x＜0）经过点F（﹣12，5），∴k＝﹣60，∴双曲线解析式为 y＝．
∵▱ABCD的顶点A的纵坐标为10，∴BO＝10，点E的纵坐标为10，且在双曲线y＝上，
∴点E的横坐标为﹣6，即BE＝6．
∵△BOC和△BGC关于BC对称，∴BG＝BO＝10，GC＝OC．
∵EG∥y轴，在Rt△BEG中，BE＝6，BG＝10，∴EG＝＝8．
延长EG交x轴于点H，
∵EG∥y轴，∴∠GHC是直角，在Rt△GHC中，设GC＝m，
则有CH＝OH﹣OC＝BE﹣GC＝6﹣m，GH＝EH﹣EG＝10﹣8＝2，则有m2＝22+（6﹣m）2，
∴m=，∴GC＝＝OC，∴S△BOC=××10=，故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题关键．
2．（2020·贵州贵阳·中考真题）如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，则四边形的面积为____．
【答案】3
【分析】根据反比例函数的图象上点的坐标性得出|xy|＝3，进而得出四边形的面积．
【解析】解：如图所示：可得OB×AB＝|xy|＝|k|＝3，则四边形的面积为：3，故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
3．（2020·贵州黔东南·中考真题）如图，点A是反比例函数y（x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y＝的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】连接OA、OB、PC．由于AC⊥y轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系数k的几何意义得到S△APC＝S△AOC＝3，S△BPC＝S△BOC＝1，然后利用S△PAB＝S△APC﹣S△APB进行计算．
【解析】解：如图，
连接OA、OB、PC．∵AC⊥y轴，∴S△APC＝S△AOC＝×|6|＝3，S△BPC＝S△BOC＝×|2|＝1，
∴S△PAB＝S△APC﹣S△BPC＝2．故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
4．（2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在y轴上，点C坐标为（2，﹣2），并且AO：BO＝1：2，点D在函数y＝（x＞0）的图象上，则k的值为_____．
【答案】2
【分析】先根据C的坐标求得矩形OBCE的面积，再利用AO：BO＝1：2，即可求得矩形AOED的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k．
【解析】如图，∵点C坐标为（2，﹣2），∴矩形OBCE的面积＝2×2＝4，
∵AO：BO＝1：2，∴矩形AOED的面积＝2，
∵点D在函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝2，故答案为2．
【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合，涉及矩形的面积之比、反比例函数比例系数k的几何意义，解答的关键是理解系数k的几何意义和矩形的面积比的含义．
5．（2020·湖北鄂州·中考真题）如图，点A是双曲线上一动点，连接，作，且使，当点A在双曲线上运动时，点B在双曲线上移动，则k的值为___________．
【答案】﹣9
【分析】首先根据反比例函数的比例系数k的几何意义求得△AOC的面积，然后证明△OAC∽△BOD，根据相似三角形的面积的性质求得△BOD的面积，依据反比例函数的比例系数k的几何意义即可求解．
【解析】解：如图作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．∵∴=
∵点A是双曲线上∴S△OAC= ∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，
又∵直角△AOC中，∠AOC+∠CAO=90°，∴∠BOD=∠OAC，
又∵∠ACO=∠BDO=90°，∴△OAC∽△BOD，∴=
∴ ∴=9 ∵函数图像位于第四象限∴ｋ＝﹣9故答案为：﹣9
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明△OAC∽△BOD是解题关键．
6．（2020·湖南株洲·中考真题）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（，k为常数且）的图象上，边AB与函数的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为________（结果用含k的式子表示）
【答案】
【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为1，矩形ABCO的面积为k,从而可以求出阴影部分ODBC的面积.
【解析】解：∵D是反比例函数图象上一点
∴根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为=1.
∵点B在函数（，k为常数且）的图象上，四边形OABC为矩形，
∴根据反比例函数k的几何意义可知：矩形ABCO的面积为k.
∴阴影部分ODBC的面积=矩形ABCO的面积-△AOD的面积=k-1.故答案为：k-1.
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义，本题属于中等题型．
7．（2020·四川达州·中考真题）如图，点A、B在反比函数的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接、，则的面积是__________．
【答案】9
【分析】设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，AC与OB的交点为点E，证得S四边形EBDC=S△AOE即可得S△AOB=S四边形ABDC，根据梯形的面积公式求解即可．
【解析】如图，设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，AC与OB的交点为点E，
∵A、B的纵坐标分别是3和6，代入函数关系式可得横坐标分别为4,2；
∴A（4,3），B（2,6）；∴AC=4，BD=2，CD=3
由反比例函数的几何意义可得S△BOD=S△AOC，∴S四边形EBDC=S△AOE，
∴S△AOB=S四边形ABDC= ，故答案为：9．
【点睛】本题考查了反比例函数中三角形面积的求解，要能够熟练掌握反比例函数的性质和几何意义；双曲线上任意一点向x轴或y轴引垂线，则该点、垂足、原点组成的三角形的面积相等，都是．
8．（2020·湖南邵阳·中考真题）如图，已知点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，的面积是2．则k的值是_________．
【答案】4
【分析】根据△OAB的面积等于2即可得到线段OB与线段AB的乘积，进而得到A点横坐标与纵坐标的乘积，进而求出k值．
【解析】解：设点A的坐标为()，，
由题意可知：，∴，
又点A在反比例函数图像上，故有．故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的图形和性质是解决此类题的关键．
题型8反比例函数与几何图形综合
1．（2020·辽宁朝阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形，且点C在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A． B． C．42 D．
【答案】D
【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可；
【解析】解：∵当x=0时，，∴A(0，4)， ∴OA=4；
∵当y=0时，，∴x=-3，∴B(-3，0)， ∴OB=3；
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵∠CBE+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，∴∠CBE =∠BAO．
在△AOB和△BEC中，，∴△AOB≌△BEC，
∴BE=AO=4，CE=OB=3，∴OE=3+4=7，∴C点坐标为（-7，3），
∵点A在反比例函数的图象上，∴k=-7×3=-21．故选D．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用．
2．（2020·辽宁铁岭·中考真题）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点和点在边上，，连接轴，则的值为（ ）
A． B．3 C．4 D．
【答案】C
【分析】依次可证明△OFE和△AFD为等腰直角三角形，再依据勾股定理求得DF的长度，即可得出D点坐标，从而求得k的值．
【解析】解：∵，，x轴⊥y轴，∴OE=OF=1，∠FOE=90°，∠OEF=∠OFE=45°，
∴，∴，
∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=90°，∵轴，∴∠DFE=∠OEF=45°，
∴∠ADF=45°，，∴
∴D(4，1)，∴，解得，故选：C．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，求反比例函数解析式，勾股定理，矩形的性质．能依据已知点的坐标，得出△OFE是等腰直角三角形是解题关键．
3．（2020·江苏淮安·中考真题）如图，等腰的两个顶点、在反比例函数（）的图象上，．过点作边的垂线交反比例函数（）的图象于点，动点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数（）图象上一点，则__________．
【答案】1
【分析】由，，得到是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，即CD是反比例函数的对称轴，直线CD的关系式是，根据A点的坐标是，代入反比例函数，得反比例函数关系式为，在根据直线CD与反比例函数（）的图象于点，求得点的坐标是（-2，-2），则，根据点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数图象上，得到，则P点的坐标是（1，1），将P（1，1）代入反比例函数，得．
【解析】解：如图示，AB与CD相交于E点，P在反比例函数（）图象上，
∵，，∴是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，
∴CD是反比例函数的对称轴，则直线CD的关系式是，
∵A点的坐标是，代入反比例函数，得
则反比例函数关系式为
又∵直线CD与反比例函数（）的图象于点，
则有，解之得：（D点在第三象限），∴D点的坐标是（-2，-2），∴，
∵点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数图象上，
∴，则P点的坐标是（1，1）（P点在第一象限），
将P（1，1）代入反比例函数，得，故答案为：1．
【点睛】本题考查了用待定系数法求出反比例函数，反比例函数的对称性和解二元一次方程组的应用，熟悉相关性质是解此题的关键．
4．（2020·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为6，4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为_____．
【答案】12
【分析】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为6，4，可得出横坐标，即可表示AE，BE的长，根据菱形的面积为2，求得AE的长，在Rt△AEB中，计算BE的长，列方程即可得出k的值．
【解析】解：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，∵BC∥x轴，∴AE⊥BC，
∵A，B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象，且纵坐标分别为6，4，
∴A（，6），B（，4），∴AE＝2，BE＝﹣＝，
∵菱形ABCD的面积为2，∴BC×AE＝2，即BC＝，∴AB＝BC＝，
在Rt△AEB中，BE＝＝＝1，∴k＝1，∴k＝12，故答案为：12．
【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合，菱形的性质，勾股定理，掌握数形结合的思想是解题关键．
5．（2020·湖南怀化·中考真题）如图，，，，…，，都是一边在轴上的等边三角形，点，，，…，都在反比例函数的图象上，点，，，…，，都在轴上，则的坐标为________．
【答案】
【分析】如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，先在△OCB1中，表示出OC和B1C的长度，表示出B1的坐标，代入反比例函数，求出OC的长度和OA1的长度，表示出A1的坐标，同理可求得A2、A3的坐标，即可发现一般规律．
【解析】如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，
∵△OA1B1为等边三角形，∴∠B1OC=60°，∴，B1C= OC，
设OC的长度为x，则B1的坐标为（），代入函数关系式可得：，
解得，x=1或x=-1（舍去），∴OA1=2OC=2，∴A1（2，0）
设A1D的长度为y，同理，B2D为y，B2的坐标表示为，
代入函数关系式可得，解得：y=或y=（舍去）
∴A1D=，A1A2=，OA2=∴A2（，0）
设A2E的长度为z，同理，B3E为z，B3的坐标表示为，
代入函数关系式可得，解得：z=或z=（舍去）
∴A2E=，A2A3=，OA3=
∴A3（，0），综上可得：An（，0），故答案为：．
【点睛】本题考查图形类规律探索、反比例函数的性质、等边三角形的性质、求解一元二次方程和解直角三角形，灵活运用各类知识求出A1、A2、A3的坐标是解题的关键．
6．（2020·浙江衢州·中考真题）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y=（x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD=3，三角板的斜边FG=，则k=_____．
【答案】
【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，求出MN，FN，进而求出AN、MB，表示出点F、点M的坐标，利用反比例函数k的意义，确定点F的坐标，进而确定k的值即可．
【解析】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN=AD=3，
在Rt△FMN中，∠MFN=30°，∴FN=MN=3，∴AN=MB=8﹣3=5，
设OA=x，则OB=x+3，∴F（x，8），M（x+3，5），∴8x=（x+3）×5，
解得，x=5，∴F（5，8），∴k=5×8=40．故答案为：40．
【点睛】考查反比例函数的图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．
7．（2020·贵州黔南·中考真题）如图，正方形的边长为10，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则该反比例函数的解析式为_________．
【答案】
【分析】过点C作轴于点E，由“AAS”可证，进而得，，可求点C坐标，即可求解．
【解析】解：如图，过点C作轴于E，
∵四边形是正方形，∴，∴，
∵，∴，∴，
又∵，∴，
∴，∴，∴点，
∵反比例函数的图象过点C，∴，
∴反比例函数的解析式为，故答案为：．
【点睛】本题主要是考查正方形的性质及反比例函数，关键是通过正方形的性质构造三角形全等，进而得到点C的坐标，然后根据求解反比例函数解析式的知识进行求解即可．
8．（2020·辽宁大连·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A与D在函数的图象上，轴，垂足为C，点B的坐标为，则k的值为______．
【答案】8
【分析】如图（见解析），先根据正方形的性质、平行线的判定可得轴，从而可得点D的纵坐标为2，再根据正方形的判定与性质可得，从而可得，然后将点D的坐标代入反比例函数的解析式即可．
【解析】如图，连接BD，交AC于点E，点B的坐标为，，
四边形ABCD是正方形，，
轴，轴，点D的纵坐标与点B的纵坐标相同，即为2，
轴，，，四边形OBEC是矩形，
又，四边形OBEC是正方形，，，点D的坐标为，
将点代入反比例函数的解析式得：，解得，故答案为：8．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用、正方形的判定与性质等知识点，熟练运用正方形的判定与性质求出点D的坐标是解题关键．
题型8反比例函数实际应用问题
【解题技巧】用反比例函数解决实际问题的步骤
（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
（5）解：用函数解析式去解决实际问题．
1．（2020·广西玉林·中考真题）南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．设每天打通土石方x千立方米．（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
【答案】（1）（0
（2）根据工期比原计划提前了100天列方程求解即可．
【解析】解：（1）∵共有土石方总量600千立方米，∴（0
经检验x=1是原分式方程的解1+0.2=1.2千立方米，600÷1.2=500天．
答：实际挖掘了500天才能完成首期工程．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出函数关系式；（2）根据工期比原计划提前了100天列出方程．
2．（2020·浙江中考真题）小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y（单位：秒）与训练次数x（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，比较（y1-y2）与（y2-y3）的大小： y1-y2 y2-y3．
【答案】（1）；（2）
【分析】(1)设反比例函数解析式为，将点(3,400)代入求出即可，最后注意自变量的取值范围.
(2) 分别将x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3的值求出，然后再比较大小求解.
【解析】解：(1) 设反比例函数解析式为将点(3,400)代入，即得
故反比例函数的解析式为：.故答案为：.
(2)当x=6时，代入反比例函数中，解得，
当x=8时，代入反比例函数中，解得，
当x=10时，代入反比例函数中，解得，
∴ ∴. 故答案为：>.
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式求法、反比例函数的图像性质等，点在反比例函数上，则将点的坐标代入解析式中，得到等式进而求解.
3．（2020·山东临沂·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系．当时，．（1）写出I关于R的函数解析式；（2）完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
…
…
…
…
（3）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过．那么用电器可变电阻应控制在什么范围内？
【答案】（1）；（2）见解析；（3）控制在3.6以上的范围内
【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设，根据当时，可求出这个反比例函数的解析式；（2）将R的值分别代入函数解析式，即可求出对应的I值，从而完成表格和函数图像；
（3）将I≤10代入函数解析式即可确定电阻的取值范围．
【解析】解：（1）解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设，
∵当时，，代入，得：k=4×9=36，∴；
（2）填表如下：
函数图像如下：
（3）∵I≤10，，∴，∴R≥3.6，即用电器可变电阻应控制在3.6以上的范围内．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
4．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知某厂以小时/千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），且每小时可获得利润元．
（1）某人将每小时获得的利润设为y元，发现时，，所以得出结论：每小时获得的利润，最少是180元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分析说明；
（2）若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产，则1天（按8小时计算）可生产该产品多少千克；（3）要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
【答案】（1）见解析；（2）24千克；（3）该厂应该选取小时/千克的生产速度，最大利润为207400元.
【分析】（1）将y=看成一个正比例函数和一个反比例函数之和，再分贝根据两函数的增减性说明即可；（2）由以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产可得×2=1800，解出t值即可；（3）根据题意表示出生产680千克该产品获得的利润为y=680t·，再求出y的最大值以及此时t值即可.
【解析】解：（1）依据一次函数和反比例函数的增减性质得出结论；
令y=，当t=1时，y=180，
∵当，随t的增大而减小，-3t也随t的增大而减小，
∴-3t+的值随t的增大而减小，∴y=随t的增大而减小，
当t=1时，y取最小，∴他的结论正确；
（2）由题意可得：×2=1800，整理得：，解得：t=或-5（舍），
即以小时/千克的速度匀速生产产品，则1天（按8小时计算）可生产该产品8÷=24千克；
（3）生产680千克该产品获得的利润为：y=680t·
整理得：y=，当t=时，y最大，且为207400元.
故该厂应该选取小时/千克的生产速度，最大利润为207400元.
【点睛】本题考查了函数模型的建立，涉及到一次函数、反比例函数和二次函数，以及二次函数的最值，理解题意，确定函数模型是解题的关键.
5．（2020·湖南郴州·）为了探索函数的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．
列表：
描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：
（1）如图，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
（2）已知点在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
若，则 ；若，则 ；若，则 （填“>”，“=”，“<”）．
（3）某农户要建造一个图所示的长方体形无盖水池，其底面积为平方米，深为米．已知底面造价为千元/平方米，侧面造价为千元/平方米，设水池底面一边的长为米，水池总造价为千元．①请写出与的函数关系式；②若该农户预算不超过千元，则水池底面一边的长应控制在什么范围内?
【答案】（1）见解析；（2）＞；＜；＝；（3）①；②．
【分析】（1）用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可；
（2）观察函数图象可以看出有最低点，即函数有最小值，结合表格提供的信息即可解决问题；
（3）①根据底面面积可求出底面另一条边长，进而可求出水池的侧面积，分别表示出底面和侧面的造价，从而可表示出与的函数关系式；②根据函数关系式结合表格可得出x的控制范围．
【解析】（1）如图1所示；
（2）根据图象和表格可知，
当时，＞；当，则＜；当，则＝；
（3）①∵底面面积为1平方米，一边长为x米，
∴与之相邻的另一边长为米，∴水池侧面面积的和为：
∵底面造价为千元/平方米，侧面造价为千元/平方米，∴
即：与的函数关系式为：；
②∵该农户预算不超过千元，即y≤3.5∴∴，
根据图象或表格可知，当2≤y≤2.5时，，
因此，该农户预算不超过千元，则水池底面一边的长应控制在．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
题型10 反比例函数解答题综合问题
1．（2020·山东枣庄·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点.（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数 的图象与反比例函数 的图象的另一个交点为，连接，求的面积.
【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）的面积为.
【分析】（1）联立两一次函数解出A点坐标，再代入反比例函数即可求解；
（2）联立一次函数与反比例函数求出B点坐标，再根据反比例函数的性质求解三角形的面积.
【解析】（1）由题意：联立直线方程，可得，故A点坐标为（-2,4）
将A（-2,4）代入反比例函数表达式，有，∴;故反比例函数的表达式为
（2）联立直线与反比例函数，
解得，当时，，故B（-8,1）
如图，过A，B两点分别作轴的垂线，交轴于M、N两点，由模型可知S梯形AMNB=S△AOB，
∴S梯形AMNB=S△AOB===
【点睛】此题考查一次函数与反比例函数综合，解题的关键是熟知一次函数与反比例函数的图像与性质.
2．（2020·江苏常州·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D．（1）求a的值及正比例函数的表达式；（2）若，求的面积．
【答案】（1）a=2；y=2x；（2）
【分析】（1）已知反比例函数解析式，点A在反比例函数图象上，故a可求；求出点A的坐标后，点A同时在正比例函数图象上，将点A坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求．
（2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设B点坐标为(b，0)，则D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，可求b值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解．
【解析】（1）已知反比例函数解析式为y=，点A(a，4)在反比例函数图象上,将点A坐标代入，解得a=2，故A点坐标为(2，4)，又∵A点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为y=kx，将点A(2，4)代入正比例函数解析式中，解得k=2，则正比例函数解析式为y=2x．
故a=2；y=2x．
（2）根据第一问的求解结果，以及BD垂直x轴，我们可以设B点坐标为(b，0)，则C点坐标为(b，)、D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，则2b=10，解得b=5，故点B的坐标为(5，0)，D点坐标为(5，10)，C点坐标为(5，)，则在△ACD中，=．故△ACD的面积为．
【点睛】（1）本题主要考查求解正比例函数及反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函数解析式的方法是解答本题的关键．（2）本题根据第一问求解的结果以及BD垂直x轴，利用待定系数法，设B、C、D三点坐标，求出B、C、D三点坐标，是解答本题的关键，同时掌握三角形面积公式，即可求解．
3．（2020·湖北襄阳·）如图，反比例函数和一次函数的图象都经过点和点．（1）______，______；（2）求一次函数的解析式，并直接写出时x的取值范围；（3）若点P是反比例函数的图象上一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积为_________．
【答案】（1）4，2；（2）y=-2x+6，1＜x＜2；（3）2
【分析】（1）把A(1,4)代入求出m的值；再将y=2代入反比例函数式，即可求出n的值；
（2）由（1）可知A、B两点的坐标，将这两点的坐标代入求出k、b的值即可，再根据t图象判定出时x的取值范围；（3）设P点横坐标为a,则纵坐标为，即可知道OM、PM，进而求出面积即可．
【解析】解：（1）把x=1,y=4代入得，4=，解得m=4∴
当y=2时，2= 解得，n=2
（2）把A(1,4)，B(2,2)分别代入得解得∴y2=-2x+6
当y1＜y2时，从图象看得出：1
∴OM=a，PM=,∴S△POM=
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合，根据是正确掌握待定系数法求函数解析式得方法，能根据图形求不等式的解集以及如何求三角形的面积．
4．（2020·山东菏泽·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．
【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；（2）（3，0）或（-5，0）
【分析】（1）将点A坐标代入中求得m，即可得反比例函数的表达式，据此可得点B坐标，再根据A、B两点坐标可得一次函数表达式；
（2）设点P(x，0)，由题意解得PC的长，进而可得点P坐标．
【解析】（1）将点A（1,2）坐标代入中得：m=1×2=2，∴反比例函数的表达式为，
将点B(n，-1)代入中得：，∴n=﹣2，∴B(-2，-1)，
将点A（1，2）、B（-2，-1）代入中得：解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）设点P（x，0），∵直线交轴于点，∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），∴PC=∣x+1∣，
∵的面积是，∴∴解得：，
∴满足条件的点P坐标为（3，0）或（-5，0）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，会用待定系数法求函数的解析式，会用坐标表示线段长是解答的关键．
5．（2020·江苏徐州·中考真题）如图在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点、交反比例函数的图像于点，点在反比例函数的图像上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用点、求解一次函数的解析式，再求的坐标，再求反比例函数解析式；
（2）设 则再表示的长度，列出三角形面积与的函数关系式，利用函数的性质可得答案．
【解析】解：（1）设直线AB为把点、代入解析式得：
解得： 直线为
把代入得： 把代入： ，
（2）设 轴，则 由＜＜，
即当时，
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最值，掌握以上知识是解题的关键．
6．（2020·湖北咸宁·中考真题）如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接，．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）的面积为______；（3）直接写出时x的取值范围．
【答案】（1），；（2）8；（3）-2＜x＜0或x＞6.
【分析】（1）把A代入反比例函数，根据待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式，然后将代入，求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可；
（2）求出一次函数图像与x轴交点坐标，再利用面积公式计算即可；
（3）根据图象得到一次函数图像在反比例函数图像上方时的x取值范围．
【解析】解：（1）把代入反比例函数得：m=6，∴反比例函数的解析式为，
∵点在反比例函数图像上，∴-3a=6，解得a=-2，∴B（-2，-3），
∵一次函数y1=kx+b的图象经过A和B，∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）∵，，一次函数的解析式为，
令y=0，解得：x=4，即一次函数图像与x轴交点为（4，0），
∴S△AOB=，故答案为：8；
（3）由图象可知：时，即一次函数图像在反比例函数图像上方，
x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞6.
【点睛】此题是考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．
7．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段的长是方程的一个根，．请解答下列问题：
（1）求点A，B的坐标；（2）直线交x轴负半轴于点E，交y轴正半轴于点F，交直线于点C．若C是的中点，，反比例函数图象的一支经过点C，求k的值；
（3）在（2）的条件下，过点C作，垂足为D，点M在直线上，点N在直线上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（9，0），B（0，）；（2）-18；（3）存在5个，（9，12）或（9，-12）或（1，0）或（-7，4）或（-15，0）.
【分析】（1）解一元二次方程，得到点A的坐标，再根据可得点B坐标；
（2）利用待定系数法求出直线AB的表达式，根据点C是EF的中点，得到点C横坐标，代入可得点C坐标，根据点C在反比例函数图像上求出k值；（3）画出图形，可得点P共有5个位置，分别求解即可.
【解析】解：（1）∵线段的长是方程的一个根，
解得：x=9或-2（舍），而点A在x轴正半轴，∴A（9，0），∵，∴B（0，）；
（2）∵，∴E（-6，0），设直线AB的表达式为y=kx+b，将A和B代入，
得：，解得：，∴AB的表达式为：，
∵点C是EF的中点，∴点C的横坐标为-3，代入AB中，y=6，则C（-3，6），
∵反比例函数经过点C，则k=-3×6=-18；
（3）存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，
如图，共有5种情况，在四边形DM1P1N1中，M1和点A重合，∴M1（9，0），此时P1（9，12）；
在四边形DP3BN3中，点B和M重合，可知M在直线y=x+3上，
联立：，解得：，∴M（1，4），∴P3（1，0），
同理可得：P2（9，-12），P4（-7，4），P5（-15，0）.
故存在点P使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，
点P的坐标为P1（9，12），P2（9，-12），P3（1，0），P4（-7，4），P5（-15，0）.
【点睛】本题考查了解一元二次方程，一次函数表达式，正方形的性质，反比例函数表达式，难度较大，解题的关键是根据图像画出符合条件的正方形.
8．（2020·湖南湘潭·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，菱形的顶点的坐标为．（1）求过点的反比例函数的解析式；（2）连接，过点作交轴于点，求直线的解析式．
【答案】（1）反比例函数解析式为；（2）直线的解析式为．
【分析】（1）由A的坐标求出菱形的边长，利用菱形的性质确定出B的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）利用相似三角形的性质得出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD解析式即可．
【解析】过点A作轴，过B作轴，垂足分别为E，F，如图，
，，
∵四边形OABC是菱形，，轴，
，，，
设过B点的反比例函数解析式为 把B点坐标代入得，k=32,
所以，反比例函数解析式为；
（2），，，
，，
又，，，，解得，，
设BD所在直线解析式为，把，分别代入，得：
解得，∴直线的解析式为．
【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
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