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专题1.3等腰三角形的判定-2021-2022学年八年级数学下册 培优题典【北师大版】
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2021-2022学年八年级数学下册 同步培优题典【北师大版】
专题1.3等腰三角形的判定
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021春•海伦市校级期末）下面叙述不可能是等腰三角形的是（ ）
A．有两个内角分别为75°，75°的三角形
B．有两个内角分别为110°和40°的三角形
C．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形
D．有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形
【分析】根据等腰三角形的判定，有两个角相等的三角形是等腰三角形，分别求出每个角的度数，再进行判断即可．
【解析】A、有两个内角分别为75°，75°的三角形，另一内角为30°，可以构成等腰三角形；
B、有两个内角分别为110°和40°的三角形，另一内角为30°，不能构成等腰三角形，
C、有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形，与外角相邻的内角是80°，第三个角是50°，可以构成等腰三角形；
D、有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形，与外角相邻的内角是40°，另外一个内角是40°，可以构成等腰三角形．
故选：B．
2．（2021秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，BD＝AD＝AE，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】由AB＝AC，∠BAC＝108°，得∠B＝∠C＝36°，△ABC是等腰三角形，易求∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，进而可求∠AED＝∠BAE＝72°，从而可判断△ABD、△ADC、△ABE、△ADE、△AEC是等腰三角形．
【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴△ABC是等腰三角形，∠B＝∠C=12（180°﹣108°）＝36°，
∵BD＝AD＝AE，
∴△ABD、△ADE是等腰三角形，∠DAB＝∠B＝36°，∠AED＝∠ADE＝∠B+∠DAB＝72°，
∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝72°﹣36°＝36°，
∴∠EAC＝∠C，
∴△ACE是等腰三角形，AE＝CE，
∵∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠BAE＝∠DAB+∠DAE＝72°，
∴∠BAE＝∠AED，
∴△BAE是等腰三角形，BA＝BE，
同理：△CAD是等腰三角形，
则图中等腰三角形的个数为6个，
故选：D．
3．（2021秋•贡井区校级期中）满足下列条件的三角形：①内角比为1：2：1；②内角比为2：2：5；③内角比为1：1：1；④内角比为1：2：3，其中，是等腰三角形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据三角形的内角和定理及等腰三角形的判定定理分别对各个三角形进行分析判断，即可得到答案．
【解析】①、∵三角形内角比为1：2：1，
∴三角形三个内角分别为45°，90°，45°，
∴三角形是等腰直角三角形；
②、∵三角形内角比为2：2：5，
∴三角形三个内角分别为40°，40°，100°，
∴三角形是等腰三角形；
③、∵三角形内角比为1：1：1，
∴三个内角分别为60°，60°，60°，
∴三角形是等腰三角形；
④、∵三角形内角比为1：2：3，
∴三个内角分别为30°，60°，90°，
∴三角形是直角三角形；
是等腰三角形的有3个，
故选：B．
4．（2021秋•莱州市期中）在三角形中已知两个内角，能判定这个三角形是等腰三角形的是（ ）
A．30°、60° B．40°、70° C．50°、60° D．100°、30°
【分析】由三角形内角和定理和等腰三角形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解析】A、∵三角形中已知两个内角为30°、60°，
∴第三个内角为180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴这个三角形是直角三角形，不是等腰三角形，故选项A不符合题意；
B、∵三角形中已知两个内角为40°、70°，
∴第三个内角为180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴这个三角形由两个内角相等，
∴这个三角形是等腰三角形，故选项B符合题意；
C、∵三角形中已知两个内角为50°、60°，
∴第三个内角为180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴这个三角形不是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D、∵三角形中已知两个内角为100°、30°，
∴第三个内角为180°﹣100°﹣30°＝50°，
∴不是等腰三角形，故选项D不符合题意；
故选：B．
5．（2021秋•临沭县期中）下列给出的5个图中，能判定△ABC是等腰三角形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①根据三角形内角和定理得∠A≠∠B≠∠C，则△ABC不是等腰三角形；
②证出∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形；
③由平行线的性质得∠C＝∠CAD＝50°，则∠B＝∠C，得△ABC是等腰三角形；
④由平行线的性质得∠BCA＝∠CAD＝30°，∠BAD＝60°，则∠BAC＝∠BCA，得△ABC是等腰三角形；
⑤先由平行线的性质得∠A＝∠D＝30°，再由三角形的外角性质得∠B＝60°﹣∠A＝30°，则∠B＝∠A，得△ABC是等腰三角形；即可得出结论．
【解析】图①中，∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣66°＝44°，
∴∠A≠∠B≠∠C，
∴△ABC不是等腰三角形；
图②中，∵∠B+∠C＝140°，∠B＝70°，
∴∠C＝140°﹣70°＝70°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
图③中，∵AD∥BC，
∴∠C＝∠CAD＝50°，
∵∠B＝50°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
图④中，∵AD∥BC，
∴∠BCA＝∠CAD＝30°，∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BAC＝60°﹣30°＝30°，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴△ABC是等腰三角形；
图⑤中，∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D＝30°，
∵∠BCD＝∠A+∠B＝60°，
∴∠B＝60°﹣∠A＝30°，
∴∠B＝∠A，
∴△ABC是等腰三角形；
能判定△ABC是等腰三角形的有4个，
故选：C．
6．如图，点A在直线MN上，点B在直线MN上方，点P为直线MN上一动点，当△ABP为等腰三角形时，则满足条件的点P的个数为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【分析】分三种情况：①PA＝PB时；②AP＝AB时；③BP＝BA时；分别得出点P的个数，即可得出结论．
【解析】分三种情况：
①PA＝PB时，点P在AB的垂直平分线上，满足条件的点P的为1个；
②AP＝AB时，满足条件的点P有2个；
③BP＝BA时，满足条件的点P有1个；
综上所述，满足条件的点P的个数有4个，
故选：C．
7．（2021秋•道里区校级期中）如图，△ABC，点D在AC上，连接BD，∠ABD＝2∠DBC，∠ADB＝2∠C，∠DBC＝∠A，则图中共有等腰三角形（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据等腰三角形的判定分别证出DB＝DC，AB＝AD，AB＝CB即可．
【解析】图中共有等腰三角形3个，理由如下：
∵∠ADB＝∠C+∠DBC，∠ADB＝2∠C，
∴∠DBC＝∠C，
∴△BCD是等腰三角形，DB＝DC，
∵∠ABD＝2∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴△ABD是等腰三角形，AB＝AD，
∵∠DBC＝∠A，
∴∠A＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，AB＝CB，
故选：D．
8．（2021春•松江区期末）如图，关于△ABC，给出下列四组条件：
①△ABC中，AB＝AC；
②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；
③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；
④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．
其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【分析】根据等腰三角形的判定定理逐个判断即可．
【解析】①、∵△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，故①正确；
②、∵△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣68°﹣56°＝56°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，故②正确；
③∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，故③正确；
④、∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，故④正确；
即正确的个数是4，
故选：D．
9．（2019秋•蜀山区期末）在△ABC中，与∠A相邻的外角是130°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数是（ ）
A．50° B．65°
C．50°或65° D．50°或65°或80°
【分析】依据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质进行判断即可．
【解析】∠A＝180°﹣130°＝50°．
当AB＝AC时，∠B＝∠C=12（180°﹣50°）＝65°；
当BC＝BA时，∠A＝∠C＝50°，则∠B＝180°﹣50°﹣50°＝80°；
当CA＝CB时，∠A＝∠B＝50°．
∠B的度数为50°或65°或80°，
故选：D．
10．（2021秋•澄城县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积等于△BCE的面积；
②∠AFG＝∠AGF；
③∠FAG＝2∠ACF；
④BH＝CH．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【分析】根据三角形中线的性质可证明①；根据三角形的高线可得∠ABC＝∠CAD，利用三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解∠AFC＝∠AGF，可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件无法判定④．
【解析】∵BE是△ABC的中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积等于△BCE的面积，故①正确；
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ABC+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵CF为△ABC的角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF=12∠ACB，
∵∠AFC＝∠ABD+∠BCF，∠AGF＝∠ACF+∠CAD，
∴∠AFC＝∠AGF，故②正确；
∵∠BAD+∠CAD＝∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件无法证明BH＝CH，故④错误，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021春•扬中市期中）若△ABC的边AB＝8cm，周长为18cm，当边BC＝ 8cm或5cm或2 cm时，△ABC为等腰三角形．
【分析】根据已知条件计算得到BC+AC＝10cm．然后利用等腰三角形的性质解答，需要对等腰三角形的腰长进行分类讨论．
【解析】∵△ABC的边AB＝8cm，周长为18cm，
∴BC+AC＝10cm．
①当AB＝BC＝8cm时，AC＝2cm，能构成三角形，符合题意．
②当BC＝AC＝5cm时，能构成三角形，符合题意．
③当AB＝AC＝8cm时，BC＝2cm，能构成三角形，符合题意．
综上所述，BC的长度是8cm或5cm或2cm时，△ABC为等腰三角形．
故答案是：8cm或5cm或2．
12．（2021秋•辉县市校级期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有 8 个．
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．
【解析】如图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故答案为：8．
13．（2021秋•东台市期中）在△ABC中，∠A＝40°，当∠C＝ 40°或70°或100° 时，△ABC为等腰三角形．
【分析】分三种情形分别讨论即可解决问题；
【解析】①当AB＝AC时，
∵∠A＝40°，
∠C＝∠B＝70°．
②当CA＝CB时，
∵∠A＝∠B＝40°，
∴∠C＝100°．
③当BA＝BC时，
∴∠C＝∠A＝40°，
综上所述，∠C的值为40°或70°或100°，
故答案为40°或70°或100°．
14．（2019秋•江夏区期末）如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，请写出图中有哪些等腰三角形？ △ABD，△BDC，△ABC ．
【分析】先计算出∠BDC，再计算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判断．
【解析】∵∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠DBC﹣∠C＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴△ABD为等腰三角形，
∵∠BDC＝∠A+∠ABC＝36°+36°＝72°，
而∠C＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BDC为等腰三角形，
∵∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形．
故答案为：△ABD，△BDC，△ABC．
15．（2019秋•永定区期末）如图，∠AOB＝56°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为 124°或76°或28° ．
【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．
【解析】∵∠AOB＝56°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝28°，
①当E在E1时，OE＝CE，
∵∠AOC＝∠OCE＝28°，
∴∠OEC＝180°﹣28°﹣28°＝124°；
②当E在E2点时，OC＝OE，
则∠OCE＝∠OEC=12（180°﹣28°）＝76°；
③当E在E3时，OC＝CE，
则∠OEC＝∠AOC＝28°；
故答案为：124°或76°或28°．
16．（2021秋•松山区期末）已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为 70°或40°或20° ．
【分析】分三种情形分别求解即可；
【解析】如图，有三种情形：
①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．
②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．
③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，
故答案为70°或40°或20°
17．（2021秋•朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是 4 秒．
【分析】设运动的时间为x，则AP＝20﹣3x，当APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，则20﹣3x＝2x，解得x即可．
【解析】设运动的时间为x，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，
AP＝20﹣3x，AQ＝2x
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4．
故答案为：4．
18．（2019秋•海淀区期末）如图，已知∠MON，在边ON 上顺次取点P1，P3，P5 …，在边OM 上顺次取点P2，P4，P6 …，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5 …，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5 …
（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一个等腰三角形是 △P1P2P3 ；
（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，则∠MON 的度数α 的取值范围是 18°≤α＜22.5° ．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出∠OP2P3即可判断．
（2）由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，需要满足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，解不等式即可解决问题．
【解析】（1）∵OP1＝P1P2＝P2P3，
∴∠OP2P1＝∠O＝30°，
∠P2P1P3＝∠P2P3P1＝60°，
∴∠OP2P3＝90°，
∴△P2P3P4不存在，
∴以得到的最后一个等腰三角形是△P1P2P3．
故答案为△P1P2P3．
（2）由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，
需要满足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，
∴18°≤α＜22.5°，
故答案为18°≤α＜22.5°．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021秋•道里区期末）如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，BE，CD交于点F．
（1）求证：DC＝EB；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形．
【分析】（1）先证AB＝AC，再由平行线的性质进而得∠ADE＝∠AED，则AD＝AE，因此BD＝CE，然后证△DBC≌△ECB（SAS），即可得出结论；
（2）由（1）得：AB＝AC，AD＝AE，△DBC≌△ECB，则△ABC、△ADE是等腰三角形，∠BCD＝∠CBE，得△BCF是等腰三角形，BF＝CF，再由平行线的性质进而得∠FDE＝∠FED，则△DEF是等腰三角形，FE＝FD．
【解析】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴AB＝AD＝AC＝AE，
即BD＝CE，
在△DBC和△ECB中，
BD=CE∠DBC=∠ECBBC=CB，
∴△DBC≌△ECB（SAS），
∴DC＝EB；
（2）解：图中所有的等腰三角形为△ABC、△ADE、△DEF、△BCF，理由如下：
由（1）得：AB＝AC，AD＝AE，△DBC≌△ECB，
∴△ABC、△ADE是等腰三角形，∠BCD＝∠CBE，
∴△BCF是等腰三角形，BF＝CF，
∵DE∥BC，
∴∠FDE＝∠BCD，∠FED＝∠CBE，
∴∠FDE＝∠FED，
∴△DEF是等腰三角形，FE＝FD．
20．（2021秋•五常市期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．
【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC．
（2）根据等腰三角形的判定解答即可．
【解析】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，
∵AD＝AE，
∴DF＝EF，
∵BD＝CE，
∴BF＝CF，
∴AB＝AC．
（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，
∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，
21．（2021秋•临洮县期中）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点E为CD上一点，连接BE，AE，且BE、AE分别平分∠ABC、∠BAD．求证：CD＝AD+BC．
【分析】由角平分线的性质可得出∠DAE＝∠BAE，∠ABE＝∠EBC，由平行线的性质得出∠BAE＝∠DEA，∠ABE＝∠BEC，则可得出AD＝DE，BC＝CE，再利用等量代换可得CD＝AD+BC．
【解析】证明：∵AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，
∴∠DAE＝∠BAE，∠ABE＝∠EBC，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DEA，∠ABE＝∠BEC，
∴∠DAE＝∠DEA，∠EBC＝∠BEC，
∴AD＝DE，BC＝CE．
∴CD＝DE+CE＝AD+BC．
22．（2021秋•仪征市期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点O在BC边上运动（O不与B、C重合），连结AO．作∠AOD＝∠B，OD交AB于点D．
（1）当OD∥AC时，判断△AOB的形状并证明；
（2）在点O的运动过程中，△AOD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDO的度数；若不可以，请说明理由．
【分析】（1）先由等腰三角形的性质得∠C＝∠B＝30°，则∠BAC＝120°，再由平行线的性质得∠OAC＝∠AOD＝30°，求出∠BAO＝90°即可；
（2）分三种情况，由等腰三角形的性质分别求出∠BDO的度数即可．
【解析】（1）△AOB为直角三角形，理由如下：
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵OD∥AC，∠AOD＝∠B＝30°，
∴∠OAC＝∠AOD＝30°，
∴∠BAO＝120°﹣30°＝90°，
∴△AOB是直角三角形；
（2）△AOD的形状可以是等腰三角形，理由如下：
分三种情况：
①DA＝DO时，∠OAD＝∠AOD＝30°，
∴∠BDO＝∠OAD+∠AOD＝60°；
②OA＝OD时，∠ODA＝∠OAD=12（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BDO＝180°﹣75°＝105°；
③AD＝AO时，∠ADO＝∠AOD＝30°，
∴∠OAD＝120°＝∠BAC，点O与C重合，不合题意；
综上所述，∠BDO的度数为60°或105°．
23．（2021秋•永吉县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC边上的点，并且MN∥BC．
（1）△AMN是否是等腰三角形？说明理由；
（2）点P是MN上的一点，并且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．
①求证：△BPM是等腰三角形；
②若△ABC的周长为a，BC＝b（a＞2b），求△AMN的周长（用含a，b的式子表示）．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，由平行线的性质得到∠AMN＝∠ABC，∠ANM＝∠ACB，于是得到∠AMN＝∠ANM，根据等角对等边即可证得结论；
（2）①由角平分线的定义得到∠PBM＝∠PBC，由平行线的性质得到∠MPB＝∠PBC，于是得到∠PBM＝∠MPB，根据等角对等边即可证得结论；
②由①知MB＝MP，同理可得：NC＝NP，故△AMN的周长＝AB+AC，再根据已知条件即可求出结果．
【解析】（1）解：△AMN是是等腰三角形，
理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠ABC，∠ANM＝∠ACB，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴AM＝AN，
∴△AMN是等腰三角形；
（2）①证明：
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBM＝∠PBC，
∵MN∥BC，
∴∠MPB＝∠PBC
∴∠PBM＝∠MPB，
∴MB＝MP，
∴△BPM是等腰三角形；
②由①知MB＝MP，
同理可得：NC＝NP，
∴△AMN的周长＝AM+MP+NP+AN＝AM+MB+NC+AN＝AB+AC，
∵△ABC的周长为a，BC＝b，
∴AB+AC+b＝a，
∴AB+AC＝a﹣b
∴△AMN的周长＝a﹣b．
24．（2021•江干区二模）已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，点D是BC边上一点，且AD＝AC，过点C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F．
（1）若∠CAD＝α，求：
①∠BCA的大小；
②∠BCF的大小；（用含α的式子表示）
（2）求证：AC＝FC．
【分析】（1）①关键等腰三角形的性质即可得到结论；
②过点A作AG⊥BC于点G，由等腰三角形的性质得出∠CAG＝∠DAG=12∠CAD=12α，求出∠DCE＝∠DAG=12∠CAD=12α，即可得出结论；
（2）由直角三角形的性质得出∠BAG＝45°，证出∠BAC＝∠AFC，即可得出结论
【解析】（1）解：①∵AD＝AC，∠CAD＝α，
∴∠BCA=12（180°﹣α）＝90°-12α，
②过点A作AG⊥BC于点G，如图所示：
∴∠DAG+∠ADG＝90°，
∴∠CAG＝∠DAG=12∠CAD=12α，
∵CF⊥AD于点E，
∴∠DCE+∠ADG＝90°，
∴∠DCE＝∠DAG=12∠CAD=12α，
即∠BCF=12α；
（2）证明：∵∠B＝45°，AG⊥BC，
∴∠BAG＝45°，
∵∠BAC＝45°+∠CAG，∠AFC＝45°+∠DCE，∠DCE＝∠DAG，∠CAG＝∠DAG，
∴∠BAC＝∠AFC，
∴AC＝FC．
2021-2022学年八年级数学下册 同步培优题典【北师大版】
专题1.3等腰三角形的判定
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021春•海伦市校级期末）下面叙述不可能是等腰三角形的是（ ）
A．有两个内角分别为75°，75°的三角形
B．有两个内角分别为110°和40°的三角形
C．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形
D．有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形
【分析】根据等腰三角形的判定，有两个角相等的三角形是等腰三角形，分别求出每个角的度数，再进行判断即可．
【解析】A、有两个内角分别为75°，75°的三角形，另一内角为30°，可以构成等腰三角形；
B、有两个内角分别为110°和40°的三角形，另一内角为30°，不能构成等腰三角形，
C、有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形，与外角相邻的内角是80°，第三个角是50°，可以构成等腰三角形；
D、有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形，与外角相邻的内角是40°，另外一个内角是40°，可以构成等腰三角形．
故选：B．
2．（2021秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，BD＝AD＝AE，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】由AB＝AC，∠BAC＝108°，得∠B＝∠C＝36°，△ABC是等腰三角形，易求∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，进而可求∠AED＝∠BAE＝72°，从而可判断△ABD、△ADC、△ABE、△ADE、△AEC是等腰三角形．
【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴△ABC是等腰三角形，∠B＝∠C=12（180°﹣108°）＝36°，
∵BD＝AD＝AE，
∴△ABD、△ADE是等腰三角形，∠DAB＝∠B＝36°，∠AED＝∠ADE＝∠B+∠DAB＝72°，
∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝72°﹣36°＝36°，
∴∠EAC＝∠C，
∴△ACE是等腰三角形，AE＝CE，
∵∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠BAE＝∠DAB+∠DAE＝72°，
∴∠BAE＝∠AED，
∴△BAE是等腰三角形，BA＝BE，
同理：△CAD是等腰三角形，
则图中等腰三角形的个数为6个，
故选：D．
3．（2021秋•贡井区校级期中）满足下列条件的三角形：①内角比为1：2：1；②内角比为2：2：5；③内角比为1：1：1；④内角比为1：2：3，其中，是等腰三角形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据三角形的内角和定理及等腰三角形的判定定理分别对各个三角形进行分析判断，即可得到答案．
【解析】①、∵三角形内角比为1：2：1，
∴三角形三个内角分别为45°，90°，45°，
∴三角形是等腰直角三角形；
②、∵三角形内角比为2：2：5，
∴三角形三个内角分别为40°，40°，100°，
∴三角形是等腰三角形；
③、∵三角形内角比为1：1：1，
∴三个内角分别为60°，60°，60°，
∴三角形是等腰三角形；
④、∵三角形内角比为1：2：3，
∴三个内角分别为30°，60°，90°，
∴三角形是直角三角形；
是等腰三角形的有3个，
故选：B．
4．（2021秋•莱州市期中）在三角形中已知两个内角，能判定这个三角形是等腰三角形的是（ ）
A．30°、60° B．40°、70° C．50°、60° D．100°、30°
【分析】由三角形内角和定理和等腰三角形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解析】A、∵三角形中已知两个内角为30°、60°，
∴第三个内角为180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴这个三角形是直角三角形，不是等腰三角形，故选项A不符合题意；
B、∵三角形中已知两个内角为40°、70°，
∴第三个内角为180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴这个三角形由两个内角相等，
∴这个三角形是等腰三角形，故选项B符合题意；
C、∵三角形中已知两个内角为50°、60°，
∴第三个内角为180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴这个三角形不是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D、∵三角形中已知两个内角为100°、30°，
∴第三个内角为180°﹣100°﹣30°＝50°，
∴不是等腰三角形，故选项D不符合题意；
故选：B．
5．（2021秋•临沭县期中）下列给出的5个图中，能判定△ABC是等腰三角形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①根据三角形内角和定理得∠A≠∠B≠∠C，则△ABC不是等腰三角形；
②证出∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形；
③由平行线的性质得∠C＝∠CAD＝50°，则∠B＝∠C，得△ABC是等腰三角形；
④由平行线的性质得∠BCA＝∠CAD＝30°，∠BAD＝60°，则∠BAC＝∠BCA，得△ABC是等腰三角形；
⑤先由平行线的性质得∠A＝∠D＝30°，再由三角形的外角性质得∠B＝60°﹣∠A＝30°，则∠B＝∠A，得△ABC是等腰三角形；即可得出结论．
【解析】图①中，∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣66°＝44°，
∴∠A≠∠B≠∠C，
∴△ABC不是等腰三角形；
图②中，∵∠B+∠C＝140°，∠B＝70°，
∴∠C＝140°﹣70°＝70°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
图③中，∵AD∥BC，
∴∠C＝∠CAD＝50°，
∵∠B＝50°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
图④中，∵AD∥BC，
∴∠BCA＝∠CAD＝30°，∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BAC＝60°﹣30°＝30°，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴△ABC是等腰三角形；
图⑤中，∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D＝30°，
∵∠BCD＝∠A+∠B＝60°，
∴∠B＝60°﹣∠A＝30°，
∴∠B＝∠A，
∴△ABC是等腰三角形；
能判定△ABC是等腰三角形的有4个，
故选：C．
6．如图，点A在直线MN上，点B在直线MN上方，点P为直线MN上一动点，当△ABP为等腰三角形时，则满足条件的点P的个数为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【分析】分三种情况：①PA＝PB时；②AP＝AB时；③BP＝BA时；分别得出点P的个数，即可得出结论．
【解析】分三种情况：
①PA＝PB时，点P在AB的垂直平分线上，满足条件的点P的为1个；
②AP＝AB时，满足条件的点P有2个；
③BP＝BA时，满足条件的点P有1个；
综上所述，满足条件的点P的个数有4个，
故选：C．
7．（2021秋•道里区校级期中）如图，△ABC，点D在AC上，连接BD，∠ABD＝2∠DBC，∠ADB＝2∠C，∠DBC＝∠A，则图中共有等腰三角形（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据等腰三角形的判定分别证出DB＝DC，AB＝AD，AB＝CB即可．
【解析】图中共有等腰三角形3个，理由如下：
∵∠ADB＝∠C+∠DBC，∠ADB＝2∠C，
∴∠DBC＝∠C，
∴△BCD是等腰三角形，DB＝DC，
∵∠ABD＝2∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴△ABD是等腰三角形，AB＝AD，
∵∠DBC＝∠A，
∴∠A＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，AB＝CB，
故选：D．
8．（2021春•松江区期末）如图，关于△ABC，给出下列四组条件：
①△ABC中，AB＝AC；
②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；
③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；
④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．
其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【分析】根据等腰三角形的判定定理逐个判断即可．
【解析】①、∵△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，故①正确；
②、∵△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣68°﹣56°＝56°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，故②正确；
③∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，故③正确；
④、∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，故④正确；
即正确的个数是4，
故选：D．
9．（2019秋•蜀山区期末）在△ABC中，与∠A相邻的外角是130°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数是（ ）
A．50° B．65°
C．50°或65° D．50°或65°或80°
【分析】依据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质进行判断即可．
【解析】∠A＝180°﹣130°＝50°．
当AB＝AC时，∠B＝∠C=12（180°﹣50°）＝65°；
当BC＝BA时，∠A＝∠C＝50°，则∠B＝180°﹣50°﹣50°＝80°；
当CA＝CB时，∠A＝∠B＝50°．
∠B的度数为50°或65°或80°，
故选：D．
10．（2021秋•澄城县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积等于△BCE的面积；
②∠AFG＝∠AGF；
③∠FAG＝2∠ACF；
④BH＝CH．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【分析】根据三角形中线的性质可证明①；根据三角形的高线可得∠ABC＝∠CAD，利用三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解∠AFC＝∠AGF，可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件无法判定④．
【解析】∵BE是△ABC的中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积等于△BCE的面积，故①正确；
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ABC+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵CF为△ABC的角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF=12∠ACB，
∵∠AFC＝∠ABD+∠BCF，∠AGF＝∠ACF+∠CAD，
∴∠AFC＝∠AGF，故②正确；
∵∠BAD+∠CAD＝∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件无法证明BH＝CH，故④错误，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021春•扬中市期中）若△ABC的边AB＝8cm，周长为18cm，当边BC＝ 8cm或5cm或2 cm时，△ABC为等腰三角形．
【分析】根据已知条件计算得到BC+AC＝10cm．然后利用等腰三角形的性质解答，需要对等腰三角形的腰长进行分类讨论．
【解析】∵△ABC的边AB＝8cm，周长为18cm，
∴BC+AC＝10cm．
①当AB＝BC＝8cm时，AC＝2cm，能构成三角形，符合题意．
②当BC＝AC＝5cm时，能构成三角形，符合题意．
③当AB＝AC＝8cm时，BC＝2cm，能构成三角形，符合题意．
综上所述，BC的长度是8cm或5cm或2cm时，△ABC为等腰三角形．
故答案是：8cm或5cm或2．
12．（2021秋•辉县市校级期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有 8 个．
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．
【解析】如图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故答案为：8．
13．（2021秋•东台市期中）在△ABC中，∠A＝40°，当∠C＝ 40°或70°或100° 时，△ABC为等腰三角形．
【分析】分三种情形分别讨论即可解决问题；
【解析】①当AB＝AC时，
∵∠A＝40°，
∠C＝∠B＝70°．
②当CA＝CB时，
∵∠A＝∠B＝40°，
∴∠C＝100°．
③当BA＝BC时，
∴∠C＝∠A＝40°，
综上所述，∠C的值为40°或70°或100°，
故答案为40°或70°或100°．
14．（2019秋•江夏区期末）如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，请写出图中有哪些等腰三角形？ △ABD，△BDC，△ABC ．
【分析】先计算出∠BDC，再计算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判断．
【解析】∵∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠DBC﹣∠C＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴△ABD为等腰三角形，
∵∠BDC＝∠A+∠ABC＝36°+36°＝72°，
而∠C＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BDC为等腰三角形，
∵∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形．
故答案为：△ABD，△BDC，△ABC．
15．（2019秋•永定区期末）如图，∠AOB＝56°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为 124°或76°或28° ．
【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．
【解析】∵∠AOB＝56°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝28°，
①当E在E1时，OE＝CE，
∵∠AOC＝∠OCE＝28°，
∴∠OEC＝180°﹣28°﹣28°＝124°；
②当E在E2点时，OC＝OE，
则∠OCE＝∠OEC=12（180°﹣28°）＝76°；
③当E在E3时，OC＝CE，
则∠OEC＝∠AOC＝28°；
故答案为：124°或76°或28°．
16．（2021秋•松山区期末）已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为 70°或40°或20° ．
【分析】分三种情形分别求解即可；
【解析】如图，有三种情形：
①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．
②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．
③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，
故答案为70°或40°或20°
17．（2021秋•朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是 4 秒．
【分析】设运动的时间为x，则AP＝20﹣3x，当APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，则20﹣3x＝2x，解得x即可．
【解析】设运动的时间为x，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，
AP＝20﹣3x，AQ＝2x
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4．
故答案为：4．
18．（2019秋•海淀区期末）如图，已知∠MON，在边ON 上顺次取点P1，P3，P5 …，在边OM 上顺次取点P2，P4，P6 …，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5 …，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5 …
（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一个等腰三角形是 △P1P2P3 ；
（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，则∠MON 的度数α 的取值范围是 18°≤α＜22.5° ．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出∠OP2P3即可判断．
（2）由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，需要满足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，解不等式即可解决问题．
【解析】（1）∵OP1＝P1P2＝P2P3，
∴∠OP2P1＝∠O＝30°，
∠P2P1P3＝∠P2P3P1＝60°，
∴∠OP2P3＝90°，
∴△P2P3P4不存在，
∴以得到的最后一个等腰三角形是△P1P2P3．
故答案为△P1P2P3．
（2）由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，
需要满足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，
∴18°≤α＜22.5°，
故答案为18°≤α＜22.5°．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021秋•道里区期末）如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，BE，CD交于点F．
（1）求证：DC＝EB；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形．
【分析】（1）先证AB＝AC，再由平行线的性质进而得∠ADE＝∠AED，则AD＝AE，因此BD＝CE，然后证△DBC≌△ECB（SAS），即可得出结论；
（2）由（1）得：AB＝AC，AD＝AE，△DBC≌△ECB，则△ABC、△ADE是等腰三角形，∠BCD＝∠CBE，得△BCF是等腰三角形，BF＝CF，再由平行线的性质进而得∠FDE＝∠FED，则△DEF是等腰三角形，FE＝FD．
【解析】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴AB＝AD＝AC＝AE，
即BD＝CE，
在△DBC和△ECB中，
BD=CE∠DBC=∠ECBBC=CB，
∴△DBC≌△ECB（SAS），
∴DC＝EB；
（2）解：图中所有的等腰三角形为△ABC、△ADE、△DEF、△BCF，理由如下：
由（1）得：AB＝AC，AD＝AE，△DBC≌△ECB，
∴△ABC、△ADE是等腰三角形，∠BCD＝∠CBE，
∴△BCF是等腰三角形，BF＝CF，
∵DE∥BC，
∴∠FDE＝∠BCD，∠FED＝∠CBE，
∴∠FDE＝∠FED，
∴△DEF是等腰三角形，FE＝FD．
20．（2021秋•五常市期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．
【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC．
（2）根据等腰三角形的判定解答即可．
【解析】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，
∵AD＝AE，
∴DF＝EF，
∵BD＝CE，
∴BF＝CF，
∴AB＝AC．
（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，
∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，
21．（2021秋•临洮县期中）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点E为CD上一点，连接BE，AE，且BE、AE分别平分∠ABC、∠BAD．求证：CD＝AD+BC．
【分析】由角平分线的性质可得出∠DAE＝∠BAE，∠ABE＝∠EBC，由平行线的性质得出∠BAE＝∠DEA，∠ABE＝∠BEC，则可得出AD＝DE，BC＝CE，再利用等量代换可得CD＝AD+BC．
【解析】证明：∵AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，
∴∠DAE＝∠BAE，∠ABE＝∠EBC，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DEA，∠ABE＝∠BEC，
∴∠DAE＝∠DEA，∠EBC＝∠BEC，
∴AD＝DE，BC＝CE．
∴CD＝DE+CE＝AD+BC．
22．（2021秋•仪征市期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点O在BC边上运动（O不与B、C重合），连结AO．作∠AOD＝∠B，OD交AB于点D．
（1）当OD∥AC时，判断△AOB的形状并证明；
（2）在点O的运动过程中，△AOD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDO的度数；若不可以，请说明理由．
【分析】（1）先由等腰三角形的性质得∠C＝∠B＝30°，则∠BAC＝120°，再由平行线的性质得∠OAC＝∠AOD＝30°，求出∠BAO＝90°即可；
（2）分三种情况，由等腰三角形的性质分别求出∠BDO的度数即可．
【解析】（1）△AOB为直角三角形，理由如下：
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵OD∥AC，∠AOD＝∠B＝30°，
∴∠OAC＝∠AOD＝30°，
∴∠BAO＝120°﹣30°＝90°，
∴△AOB是直角三角形；
（2）△AOD的形状可以是等腰三角形，理由如下：
分三种情况：
①DA＝DO时，∠OAD＝∠AOD＝30°，
∴∠BDO＝∠OAD+∠AOD＝60°；
②OA＝OD时，∠ODA＝∠OAD=12（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BDO＝180°﹣75°＝105°；
③AD＝AO时，∠ADO＝∠AOD＝30°，
∴∠OAD＝120°＝∠BAC，点O与C重合，不合题意；
综上所述，∠BDO的度数为60°或105°．
23．（2021秋•永吉县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC边上的点，并且MN∥BC．
（1）△AMN是否是等腰三角形？说明理由；
（2）点P是MN上的一点，并且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．
①求证：△BPM是等腰三角形；
②若△ABC的周长为a，BC＝b（a＞2b），求△AMN的周长（用含a，b的式子表示）．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，由平行线的性质得到∠AMN＝∠ABC，∠ANM＝∠ACB，于是得到∠AMN＝∠ANM，根据等角对等边即可证得结论；
（2）①由角平分线的定义得到∠PBM＝∠PBC，由平行线的性质得到∠MPB＝∠PBC，于是得到∠PBM＝∠MPB，根据等角对等边即可证得结论；
②由①知MB＝MP，同理可得：NC＝NP，故△AMN的周长＝AB+AC，再根据已知条件即可求出结果．
【解析】（1）解：△AMN是是等腰三角形，
理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠ABC，∠ANM＝∠ACB，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴AM＝AN，
∴△AMN是等腰三角形；
（2）①证明：
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBM＝∠PBC，
∵MN∥BC，
∴∠MPB＝∠PBC
∴∠PBM＝∠MPB，
∴MB＝MP，
∴△BPM是等腰三角形；
②由①知MB＝MP，
同理可得：NC＝NP，
∴△AMN的周长＝AM+MP+NP+AN＝AM+MB+NC+AN＝AB+AC，
∵△ABC的周长为a，BC＝b，
∴AB+AC+b＝a，
∴AB+AC＝a﹣b
∴△AMN的周长＝a﹣b．
24．（2021•江干区二模）已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，点D是BC边上一点，且AD＝AC，过点C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F．
（1）若∠CAD＝α，求：
①∠BCA的大小；
②∠BCF的大小；（用含α的式子表示）
（2）求证：AC＝FC．
【分析】（1）①关键等腰三角形的性质即可得到结论；
②过点A作AG⊥BC于点G，由等腰三角形的性质得出∠CAG＝∠DAG=12∠CAD=12α，求出∠DCE＝∠DAG=12∠CAD=12α，即可得出结论；
（2）由直角三角形的性质得出∠BAG＝45°，证出∠BAC＝∠AFC，即可得出结论
【解析】（1）解：①∵AD＝AC，∠CAD＝α，
∴∠BCA=12（180°﹣α）＝90°-12α，
②过点A作AG⊥BC于点G，如图所示：
∴∠DAG+∠ADG＝90°，
∴∠CAG＝∠DAG=12∠CAD=12α，
∵CF⊥AD于点E，
∴∠DCE+∠ADG＝90°，
∴∠DCE＝∠DAG=12∠CAD=12α，
即∠BCF=12α；
（2）证明：∵∠B＝45°，AG⊥BC，
∴∠BAG＝45°，
∵∠BAC＝45°+∠CAG，∠AFC＝45°+∠DCE，∠DCE＝∠DAG，∠CAG＝∠DAG，
∴∠BAC＝∠AFC，
∴AC＝FC．
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