专题1.5直角三角形-2021-2022学年八年级数学下册 培优题典【北师大版】

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2021-2022学年八年级数学下册 同步培优题典【北师大版】
专题1.5直角三角形
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021秋•涿州市期中）下列说法中错误的是（　　）
A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：2：4，则△ABC为直角三角形
B．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC为直角三角形
C．在△ABC中，若∠A=12∠B=13∠C，则△ABC为直角三角形
D．在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC为直角三角形
【分析】根据三角形内角和定理求出三角形的三个内角即可判断．
【解析】A、在△ABC中，因为∠A：∠B：∠C＝2：2：4，所以∠C＝90°，∠A＝∠B＝45°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意．
B、在△ABC中，因为∠A＝∠B﹣∠C，所以∠B＝90°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意．
C、在△ABC中，因为∠A=12∠B=13∠C，所以∠C＝90°，∠B＝60°，∠A＝30°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意．
D、在△ABC中，因为∠A＝∠B＝2∠C，所以∠A＝∠B＝72°，∠C＝36°，△ABC不是直角三角形，本选项符合题意，
故选：D．
2．（2021秋•铜梁区校级期中）下列说法不正确的是（　　）
A．等边三角形是等腰三角形
B．所有的等腰三角形都是锐角三角形
C．所有的等边三角形都是锐角三角形
D．直角三角形两锐角的和是个定值
【分析】利用等边三角形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质进行分析即可．
【解析】A、等边三角形是等腰三角形，故原题说法正确；
B、所有的等腰三角形不一定都是锐角三角形，故原题说法错误；
C、所有的等边三角形都是锐角三角形，故原题说法正确；
D、直角三角形两锐角的和是个定值90°，故原题说法正确；
故选：B．
3．（2021秋•交城县期中）已知直角三角形ABC中，有一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数是（　　）
A．50° B．45° C．40° D．30°
【分析】利用直角三角形的性质进行解答即可．
【解析】∵直角三角形ABC中，有一个锐角等于50°，
∴另一个锐角的度数是：90°﹣50°＝40°，
故选：C．
4．（2021秋•萧山区期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案．
【解析】①∵∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，
设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x，
∴5x+2x+3x＝180，
解得：x＝18°，
∴∠5＝18°×5＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
④∵3∠C＝2∠B＝∠A，
∴∠A+∠B+∠C=12∠A+13∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝（108011）°，
∴△ABC为钝角三角形．
∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个，
故选：C．
5．（2021秋•永吉县期中）下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（　　）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等
D．两个锐角对应相等
【分析】根据三角形全等的判定定理判断即可．
【解析】A、根据SAS定理可知，两条直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
B、根据AAS定理可知，斜边和一锐角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
C、根据HL定理可知，斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
D、两个锐角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项符合题意；
故选：D．
6．（2021秋•舞钢市期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB的中点，E是BC的中点，EF⊥CD于点F，则EF的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．125
【分析】根据勾股定理得出AB，进而利用直角三角形的性质得出BD＝DC＝AD＝5，利用三角形面积公式解答即可．
【解析】在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10，
∵D是AB的中点，
∴线段CD是中线，
∴AD＝BD＝CD＝5，△BDC=12S△ABC=12×12×6×8＝12．
如图，连接DE，
∵E为BC边的中点，
∴S△DEC=12S△BDC＝6，
∵S△DEC=12DC•EF，
∴12×5EF＝6，
解得：EF=125，
故选：D．

7．（2021秋•肇州县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AE＝6cm，则AC＝（　　）

A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EA，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B＝15°，根据三角形的外角的性质求出∠AEC＝30°，根据直角三角形的性质计算．
【解析】∵DE垂直平分AB，
∴EB＝EA，
∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝30°，
∴AC=12AE＝3（cm），
故选：D．
8．（2021秋•朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（　　）

A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF的长．
【解析】∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°．
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°．
∴∠DAF＝∠F＝30°，
∴AD＝DF．
∵AB＝11，∠B＝30°，
∴AD＝5.5，
∴DF＝5.5
故选：C．
9．（2021秋•天宁区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（　　）

A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【分析】根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解析】如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，
以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，
边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，
因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，

故选：C．
10．（2021秋•连江县期中）如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE⊥AC，垂足分别为D、E，设PA＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（　　）

A．2-12x B．3-14x C．1+12x D．2+14x
【分析】利用等边三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可．
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，
∵PD⊥BC，DE⊥AC，
∴BD=12PB，CE=12CD，
∵PA＝x，
∴BP＝4﹣x，
∴BD=12PB＝2-12x，
∴CD＝4﹣（2-12x）＝2+12x，
∴CE＝1+14x，
∴AE＝4﹣（1+14x）＝3-14x，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021秋•宽城区期末）命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是　真　命题．（填“真”或“假”）
【分析】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据等边三角形的判定定理判断即可．
【解析】命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是“三个角都是60°的三角形是等边三角形”，是真命题，
故答案为：真．
12．（2021秋•长宁区期末）命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是　对应角相等的三角形是全等三角形　．
【分析】根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可的出原命题的逆命题．
【解析】命题“全等三角形对应角相等”的题设是“两个三角形是全等三角形”，结论是“它们的对应角相等”，
故其逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，
故答案为：对应角相等的三角形是全等三角形
13．（2021秋•临沭县期中）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，AB∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　AB＝DF（答案不唯一）　，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．

【分析】根据全等三角形的判定定理证明即可证得结论．
【解析】添加的条件是：AB＝DF，
证明：在Rt△ABC和Rt△DFE中，
∴∠ACB＝∠DEF＝90°，
∵AB∥DF，
∴∠ABC＝∠DFE，
∴添加AB＝DF，
在Rt△ABC和Rt△DFE中，
∠ACB=∠DEF∠ABC=∠DFEAB=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DFE（AAS），
故答案为：AB＝DF（答案不唯一）．
14．（2021秋•金乡县期中）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是　AB＝DC（答案不唯一）　．（不添加字母和辅助线）

【分析】根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB＝DC．
【解析】∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，
∴在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB＝DC．
故答案为：AB＝DC（答案不唯一）
15．（2021•北京一模）如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝　90　°．

【分析】易证得Rt△AEC≌Rt△DAB，即可证得∠ACE＝∠ABD，进而证得∠EAC+∠ABD＝90°，得到∠AFB＝90°，即∠CFD＝90°，即可证得∠ACD+∠BDC＝90°．
【解析】在Rt△AEC和Rt△DAB中
AE=ADAC=BD
∴Rt△AEC≌Rt△DAB（HL），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠EAC+∠ABD＝90°，
∴∠AFB＝90°，即∠CFD＝90°，
∴∠ACD+∠BDC＝90°，
故答案为90．

16．（2019秋•勃利县期末）如图，AB⊥BC、DC⊥BC，垂足分别为B、C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，点P为BC边上一动点，当BP＝　2　时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．

【分析】当BP＝2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，由BC＝8可得CP＝6，进而可得AB＝CP，BP＝CD，再结合AB⊥BC、DC⊥BC可得∠B＝∠C＝90°，可利用SAS判定△ABP≌△PCD．
【解析】当BP＝2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，
∵BC＝8，BP＝2，
∴PC＝6，
∵AB⊥BC、DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，
在△ABP和△PCD中AB=PC=6∠B=∠C=90°BP=CD=2，
∴△ABP≌△PCD（SAS），
故答案为：2．
17．（2021秋•西峰区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，CD＝2，则BC＝　6　．

【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝CD＝2，根据直角三角形的性质得到BD＝2DE＝4，结合图形计算即可．
【解析】作DE⊥AB于E，
∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝2，
∵DE⊥AB，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝4，
∴BC＝CD+BD＝6，
故答案为：6．

18．（2021•如皋市一模）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝　5　．

【分析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM＝PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD﹣MD即可求出OM的长．
【解析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△OPD中，cos60°=ODOP=12，OP＝12，
∴OD＝6，
∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，
∴MD＝ND=12MN＝1，
∴OM＝OD﹣MD＝6﹣1＝5．
故答案为：5．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021秋•农安县期末）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求证：CE＝CF；
（2）若CD＝2，求DF的长．

【分析】（1）证明△DCE中的三个角均为60°，然后再求得∠F＝30°，从而可得到∠CEF＝30°，故此可得到CE＝CF；
（2）先求得CF＝DE，然后由EC＝DC进行求解即可．
【解析】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠B＝EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝30°
∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，
∴∠F＝∠FEC＝30°，
∴CE＝CF．
（2）由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴CE＝DC＝2．
又∵CE＝CF，
∴CF＝2．
∴DF＝DC+CF＝2+2＝4．
20．（2021秋•洮北区期末）如图，上午8时，一条船从A处测得灯塔C在北偏西30°，以15海里/时的速度向正北航行，9时30分到达B处，测得灯塔C在北偏西60°，若船继续向正北方向航行，求轮船何时到达灯塔C的正东方向D处．

【分析】根据三角形的外角的性质求出∠ACB，得到BC的长，根据直角三角形的性质求出BD，计算即可．
【解析】∵∠CBD为△ABC的外角，∠CBD＝60°，∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠ACB＝30°，
∴∠CAB＝∠ACB，
AB＝15×（9.5﹣8）＝22.5，
∴AB＝BC＝22.5，
在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，
∴BD=12BC＝11.25，
∴从B到D用的时间为11.25÷15=34小时＝45分钟，
则当船继续航行，10时15分到达灯塔C在正东方向．
21．（2021秋•宝应县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝2∠B，AD平分∠CAB．
（1）求∠CAD的度数；
（2）延长AC至E，使CE＝AC，求证：DB＝DE．

【分析】（1）利用三角形内角和定理，角平分线的定义可得结论；
（2）利用等腰三角形的判断和线段中垂线的性质可得答案．
【解析】证明：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
又∵∠CAB＝2∠B，
∴∠B＝30°，∠CAB＝60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠DAB＝30°；
（2）∵∠DAB＝30°＝∠B，
∴AD＝DB，
∵AC＝EC，∠ACB＝90°，
∴AD＝DE，
∴DE＝DB．
22．（2019秋•扶沟县期中）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合，那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？

【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝10，可据此求出P点的位置．
②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合，不合题意．
【解析】根据三角形全等的判定方法HL可知：
①当P运动到AP＝BC时，
∵∠C＝∠QAP＝90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，AP=BCPQ=AB，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP＝BC＝10；
②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，不合题意．
综上所述，当点P运动到距离点A为10时，△ABC与△APQ全等．
23．（2019秋•池州校级期中）在△ABC中，∠ACB＝90°．现给出以下3个关系：①CD垂直于AB，②BE平分∠ABC，③∠CFE＝∠CEF，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．

【分析】由①②⇒③，利用三角形的外角的性质解决问题即可（答案不唯一）．
【解析】①②⇒③．
理由：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠DCA＝90°，∠DCA+∠A＝90°，
∴∠BCF＝∠A，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠EBA，
∵∠CFE＝∠BCF+∠EBC，∠BEC＝∠A+∠EBA，
∴∠CFE＝∠CEF．

24．（2019春•丰台区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，P是射线BC上一动点（与B，C点不重合），连接AP．过点C作CD⊥AP于点D，交直线AB于点E，设∠APC＝α．
（1）若点P在线段BC上，且α＝60°，如图1，直接写出∠PAB的大小；
（2）若点P在线段BC上运动，如图2，求∠AED的大小（用含α的式子表示）；
（3）若点P在BC的延长线上运动，且a≠50°，直接写出∠AED的大小（用含α的式子表示）．

【分析】（1）根据三角形外角的的性质可得结论；
（2）根据三角形外角的性质和直角三角形两锐角互余可得结论；
（3）分情况讨论：α＞50°或α＜50°根据三角形内角和可得结论．
【解析】（1）如图1，当α＝60°时，∠APC＝60°，
△APB中，∠PAB＝∠APC﹣∠B＝60°﹣40°＝20°，
（2）如图2，同（1）得：∠PAB＝α﹣40°，
∵CE⊥AP，
∴∠ADE＝90°，
∴∠PAB+∠AED＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠PAB＝90°﹣（α﹣40°）＝130°﹣α，
（3）如图3，当α＞50°时，

△APC中，∠ACP＝90°，∠APC＝α，
∴∠CAP＝90°﹣α，
∵CD⊥AP，
∴∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝90°﹣（50°+90°﹣α）＝α﹣50°，
②如图4，当α＜50°时，

∴∠AED＝90°﹣∠PAE＝90°﹣（α+40°）＝50°﹣α，
综上，∠AED为α﹣50°或50°﹣α．