专题1.8三角形的证明与计算综合问题（重难点培优）-2021-2022学年八年级数学下册 培优题典【北师大版】

2021-2022学年八年级数学下册 同步培优题典【北师大版】

专题1.8三角形的证明与计算综合（重难点培优）

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一．解答题（共20小题）

1．阅读下列材料，完成相应任务．

数学活动课上，老师提出了如下问题：

如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：AB+AC＞2AD．

智慧小组的证法如下：

证明：如图2，延长AD至E，使DE＝AD，

∵AD是BC边上的中线

∴BD＝CD

在△BDE和△CDA中

∴△BDE≌△CDA（依据一）

∴BE＝CA

在△ABE中，AB+BE＞AE（依据二）

∴AB+AC＞2AD．

任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：

依据1：　   　；

依据2：　   　．

归纳总结：上述方法是通过延长中线AD，使DE＝AD，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．

任务二：如图3，AD是BC边上的中线，AB＝3，AC＝4，则AD的取值范围是　   　；

任务三：如图4，在图3的基础上，分别以AB和AC为边作等腰直角三角形，在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，AB＝AE；Rt△ACF中，∠CAF＝90°，AC＝AF．连接EF．试探究EF与AD的数量关系，并说明理由．

2．如图，点D，E分别在等边△ABC的边AB，BC上，且BD＝CE，CD，AE交于点F．

（1）如图1，求∠AFD的度数；

（2）如图2，若D，E，M，N分别是△ABC各边上的三等分点，BM，CD交于Q．若△ABC的面积为S，请用S表示四边形ANQF的面积；

（3）如图3，延长CD到点P，使∠BPD＝30°，设AF＝a，CF＝b，请用含a，b的式子表示PC长，并说明理由．

3．如图，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，D为BC的中点，点E、F、G分别为线段AD、AB、BC上的一点．△EFG以E为直角顶点的等腰直角三角形，AB＝8．连结CE．

（1）当G与点D重合时，求AE的长．

（2）当DE＝2时，求△AEF的面积．

（3）①比较△BGF与△CGE的面积大小关系，并说明理由．

②当△BGF的面积为6时，求BG的长．

4．如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．

（1）请用t的代数式表示BP和BQ的长度：BP＝　   　，BQ＝　   　．

（2）若点Q在到达点A后继续沿三角形的边长向点C移动，同时点P也在继续移动，请问在点Q从点A到点C的运动过程中，t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成4：5两部分？

（3）若P、Q两点都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问在它们第一次相遇前，t为何值时，点P、Q能与△ABC的一个顶点构成等边三角形？

5．在△ABC中，∠ABC为锐角，点M为射线AB上一动点，连接CM，以点C为直角顶点，以CM为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN，连接NB．

（1）如图1，图2，若△ABC为等腰直角三角形，

问题初现：①当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，求证：△ACM≌△BCN；

深入探究：②当点M在线段AB的延长线上时，判断线段BN，AM之间的位置关系，并说明理由；

（2）如图3，∠ACB≠90°，若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，MP⊥CM交线段BN于点P，且∠CBA＝45°，BC＝4，当BP有最大值时，求BM的长．

6．在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点A、B两点作过点C的直线m的垂线，垂足分别为点D、E．

（1）如图1，当AC＝CB，点A、B在直线m的同侧时，猜想线段DE，AD和BE三条线段有怎样的数量关系？请直接写出你的结论：　   　；

（2）如图2，当AC＝CB，点A、B在直线m的异侧时，请问（1）中有关于线段DE、AD和BE三条线段的数量关系的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请给出正确的结论，并说明理由．

（3）当AC＝16cm，CB＝30cm，点A、B在直线m的同侧时，一动点M以每秒2cm的速度从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动，同时另一动点N以每秒3cm的速度从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．在运动过程中，分别过点M和点N作MP⊥m于P，NQ⊥m于Q．设运动时间为t秒，当t为何值时，△MPC与△NQC全等？

7．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t，连接AP．

（1）当t＝3秒时，求AP的长度；

（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；

（3）过点D作DE⊥AP于点E，连接PD，在点P的运动过程中，当PD平分∠APC时，直接写出t的值．

8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．

（1）AC＝　   　cm；

（2）出发3秒后，求△ABP的面积；

（3）当t为几秒时，BP平分∠ABC；

（4）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？

9．[初步探索]（1）如图1，在△ABC中，点D是BC延长线上一点，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点P，若∠P＝40°，则∠A＝　   　度；

[灵活运用]（2）如图2，已知等边三角形ABC，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，点M、N分别在AB、BC边上运动，且保持∠MON＝60°不变，连接MN．猜想∠BMN与∠BON的数量关系，并说明理由；

[拓展延伸]（3）如图3，已知等边三角形ABC，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，点N在CB的延长线上运动，点M仍在AB边上运动，且保持∠MON＝60°不变，连接NM并延长交AC于点E，请直接写出∠BOM、∠CEM、∠BCE这三个角的数量关系．

10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，过C作直线CE，B关于直线CE的对称点为D，连接AD，BD，CD，CE与BD的交点为E，设∠BCE＝α（0°＜α＜90°）．

（1）若α＝15°，则请直接写出下列两个角的度数：∠ADC＝　   　，∠ADB＝　   　．

（2）随着α的变化，∠ADB的度数是否也发生变化，请说明理由；

（3）当△ABD成为等腰三角形时，求α的值．

11．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点Q在边AC上，CQ＝1，动点P从点A出发，沿射线AC运动，速度为每秒1个单位长度，当点P不与点Q重合时，以PQ为边构造Rt△PQM，使∠PMQ＝∠A，∠QPM＝90°，且M与点B在直线AC的同侧，设点P运动时间为t秒．

（1）AB的长为　   　．

（2）点M落在AB边上时，求t的值；

（3）当点P在线段AC上时，设△PQM与△ABC重合部分图形的周长为l，求l与t之间的函数关系式．

（4）当点M与△ABC的一个顶点（点C除外）连线所在的直线平分△ABC面积时，直接写出t的值．

12．如图1，等边△ABC边长为8，AD是△ABC的中线，P为线段AD（不包括端点A、D）上一动点，以CP为一边且在CP下方作如图所示的等边△CPE，连结BE．

（1）点P在运动过程中，线段BE与AP始终相等吗？说说你的理由；

（2）若延长BE至F，使得CF＝CE＝5，如图2，

①求出此时AP的长；

②当点P在线段AD的延长线上，点F在射线BE上时，判断EF的长是否为定值，若是请直接写出EF的长；若不是请简单说明理由．

13．等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，点O是AB的中点

（1）如图1，求证：CO＝BO；

（2）如图2，点M在边AC上，点N在边BC延长线上，MN﹣AM＝CN，求∠MON的度数；

（3）如图3，AD∥BC，OD∥AC，AD与OD交于点D，Q是OB的中点，连接CQ、DQ，试判断线段CQ与DQ的关系，并给出证明．

14．如图1，在△ABC和△AED中，AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC．

（1）求证：CD＝BE；

（2）如图2，若∠EAD＝60°，点H为AE的中点，求∠BFD的大小；

（3）在（2）的条件下，CD垂直平分AE于H，连结BD，设AD＝m，CD＝n，BD＝p，猜想m，n，p满足的关系式，并证明．

15．如图1，点P、Q分别是边长为6cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s．

（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ的度数变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；

（2）何时△PBQ是直角三角形？

（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP的交点为M，则∠CMQ的度数变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．

16．如图，在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，点D从B点出发，沿射线CB方向以每秒3个单位长度的速度运动，射线MP⊥射线CB且BM＝10，点Q从M点出发，沿射线MP方向以每秒a个单位长度的速度运动，已知D、Q两点同时出发，运动时间为t秒．

（1）当t＝2时，△DMQ是等腰三角形，求a的值．

（2）求t为何值时，△DCA为等腰三角形．

（3）是否存在a，使得△DMQ与△ABC全等，若存在，请直接写出a的值，若不存在，请说明由．

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，以AB为一边向上作等边△ABD，点E在BC的垂直平分线上，且EB⊥AB，连接CE，AE，CD．

（1）判断△CBE的形状，并说明理由；

（2）求证：AE＝DC；

（3）若AE，CD相交于点F，求∠AFD的度数为多少？

18．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在边AB上，点E在边AC的左侧，连接AE．

（1）求证：AE＝BD．

（2）若DE，AD：BD＝1：3，求线段AD长．

（3）试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系．

19．如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F．

（Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC；

（Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD；

（Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　   　．

20．已知△ABC，∠BAC的平分线上有一点O，且OB＝OC．

（1）如图1，若点O在边BC上，求证：△ABC是等腰三角形；

（2）如图2，若点O在△ABC内部，求证AB＝AC；

（3）若点O在△ABC外部，AB＝AC还一定成立吗？请直接写出你的判断，无需说明理由．