第二十二讲 圆及其方程-2022年新高二年级数学暑假精品课程（人教A版2019）练习题

第二十二讲 圆及其方程

【考点剖析】

1.圆的定义和圆的方程

2.点与圆的位置关系

平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：

(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；

(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；

(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.

【考点剖析】

考点一　圆的方程

【例1】 (1)(一题多解)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.

(2)(一题多解)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为________.

【答案】(1)x2＋y2－2x＝0　(2)(x－1)2＋(y＋1)2＝2

【解析】　(1)法一　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，

则解得D＝－2，E＝0，F＝0，

故圆的方程为x2＋y2－2x＝0.

法二　设O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，则kOA＝1，kAB＝－1，所以kOA·kAB＝－1，即OA⊥AB，所以△OAB是以角A为直角的直角三角形，则线段BO是所求圆的直径，则圆心为C(1，0)，半径r＝|OB|＝1，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.

(2)法一　∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，

∴设所求圆的圆心为(a，－a).

又∵所求圆与直线x－y＝0相切，

∴半径r＝＝|a|.

又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，

∴d2＋＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1，

∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.

法二　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离d＝，

∴r2＝＋，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①

由于所求圆与直线x－y＝0相切，∴(a－b)2＝2r2.②

又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③

联立①②③，解得

故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.

法三　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为，半径r＝，

∵圆心在直线x＋y＝0上，∴－－＝0，即D＋E＝0，①

又∵圆C与直线x－y＝0相切，

∴＝，

即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)，

∴D2＋E2＋2DE－8F＝0.②

又知圆心到直线x－y－3＝0的距离d＝，

由已知得d2＋＝r2，

∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)，③

联立①②③，解得

故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，

即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.

规律方法　求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：

(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；

(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.

考点二　与圆有关的最值问题　

角度1　斜率型、截距型、距离型最值问题

【例2－1】 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.

(1)求的最大值和最小值；

(2)求y－x的最大值和最小值；

(3)求x2＋y2的最大值和最小值.

【解析】　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆.

(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，

所以设＝k，即y＝kx.

当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±(如图1).

所以的最大值为，最小值为－.

(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±(如图2).

所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.

(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).

又圆心到原点的距离为＝2，

所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.

规律方法　把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见：

(1)形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；

(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；

(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.

角度2　利用对称性求最值

【例2－2】 已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)

A.5－4  B.－1

C.6－2  D.

【答案】A

【解析】P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3).所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝5，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.

规律方法　求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：

(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；

(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.

考点三　与圆有关的轨迹问题

【例3】 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.

【解析】　(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y).

因为P点在圆x2＋y2＝4上，

所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.

故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2).

(2)设PQ的中点为N(x，y).

在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.

设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，

所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.

故线段PQ中点的轨迹方程为

x2＋y2－x－y－1＝0.

规律方法　求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；

(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；

(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；

(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.

1．圆的圆心坐标和半径分别是（    ）

A．(-1，0)，3 B．(1，0)，3

C． D．

【答案】D

【详解】

根据圆的标准方程可得，

的圆心坐标为，半径为，

故选：D.

2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是（    ）

A．m＜ B．m≤

C．m＜2 D．m≤2

【答案】A

【详解】

由D2＋E2－4F＞0得(－1)2＋12－4m＞0，解得m＜

故选：A.

3．点在圆上，点，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由于，所以在圆外，

圆的圆心为，半径，

则的最大值为.

故选：C

4．圆心在C（4，-3），且与直线4x-3y=0相切的圆的方程为（   ）

A．x2+y2+8x+6y=0 B．x2+y2+8x-6y=0

C．x2+y2-8x+6y=0 D．x2+y2-8x-6y=0

【答案】C

【详解】

由题可得圆的半径为圆心到直线的距离，即，

所以圆的方程为，即.

故选：C.

5．圆上动点到直线的距离的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

∵圆，∴圆心，半径，

∴圆心到直线的距离，

∴圆上的点到

直线的距离最小值为，

故选：A.

6．已知：与：，则两圆的位置关系是（    ）

A．相交 B．相离 C．外切 D．内切

【答案】A

【详解】

，

故，两圆半径之和为3，半径之差的绝对值为1，

而，故两圆的位置关系是相交，

故选：A.

7．直线被圆截得的弦长为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】B

【详解】

圆的标准方程为，圆心为，半径为，

所以圆心到直线的距离，

所以弦长，

故选：B .

8．如果实数x，y满足等式(x－1)2＋y2＝，那么的最大值是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

显然，令，即，代入得，

所以，解得．

所以的最大值为．

故选：D．

9．在平面直角坐标系中，直线的方程为，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由直线方程可得该直线横过定点，

又由相切可得该圆的半径等于圆心到直线的距离，

最大值为，

故选：B.

10．设曲线上的点到直线的距离的最大值为a，最小值为b，则的值为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【详解】

由题意，圆的圆心坐标为，半径为，

可得圆心到直线的距离为，

所以，，所以.

故选：C.

二、多选题

11．(多选)已知圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0与直线x－y＝1，则（    ）

A．圆心坐标为(1，－2)

B．圆心到直线的距离为

C．直线与圆相交

D．圆的半径为

【答案】AD

【详解】

把圆的方程化为标准形式得(x－1)2＋(y＋2)2＝2，所以圆心坐标为(1，－2)，半径为，所以圆心到直线x－y＝1的距离为d＝＝，直线与圆相切．

故选：AD

12．若圆：与圆：的交点为，，则（    ）

A．公共弦所在直线方程为

B．线段中垂线方程为

C．公共弦的长为

D．在过，两点的所有圆中，面积最小的圆是圆

【答案】AD

【详解】

解：根据题意，依次分析选项：

对于，圆与圆，联立两个圆的方程可得，即公共弦所在直线方程为，正确，

对于，圆，其圆心为，，圆，其圆心为，直线的方程为，即线段中垂线方程，错误，

对于，圆，即，其圆心为，，半径，圆心，在公共弦上，则公共弦的长为，错误，

对于，圆心，在公共弦上，在过，两点的所有圆中，面积最小的圆是圆，正确，

故选：．

三、解答题

13．已知圆C经过两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2，

（1）求圆C的方程；

（2）求过点且与圆C相切的直线方程．

【详解】

解：（1）由题意设圆，

令，得，则，

令，得，则，

两坐标轴上的四个截距之和是2，

且圆过两点，

将，代入方程得，

解得：，，．

故得圆．

（2）由（1）得圆，即，圆心，半径，

过作圆的切线，显然切线的斜率存在，设斜率为，则切线方程为，即，则，解得或，故切线方程为或

14．已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.

（1）求两圆公共弦所在直线的方程；

（2）求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.

【详解】

解：（1）设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则A，B两点坐标是方程组的解，两式相减得x－y＋4＝0，

A，B两点坐标都满足此方程，

x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程；

(2)解方程组得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2)，

设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，所以b＝a－4，

则＝，解得a＝，

所以圆心为，半径为，

所以圆的方程为＋＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.

15．如图，过点分别作直线与，其中直线与圆交于不同的两点A，B，直线与圆C相切于点Q．

（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）若，求．

【详解】

（Ⅰ）由直线与圆C相切于点Q，可得，所以，

要是最大，只需点到的距离最大，易知此时最大距离为，

的最大值为.

（Ⅱ）若，则，所以过圆心，

此时,

在直角△中，,

在直角△中，.