专题2.11不等式（组）的新定义问题（重难点培优）-2021-2022学年八年级数学下册 培优题典【北师大版】

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2021-2022学年八年级数学下册 同步培优题典【北师大版】
专题2.11不等式（组）的新定义问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
1．（2021春•仁寿县期末）对于任意实数a、b约定关于⊗的一种运算如下：a⊗b＝2a+b．
例如：（﹣3）⊗2＝2×（﹣3）+2＝﹣4．
（1）3⊗（﹣5）的值等于　1　；
（2）若x满足（x+2）⊗3＞7，求x的取值范围；
（3）若x⊗（﹣y）＝5，且2y⊗x＝7，求x+y的值．
【分析】（1）根据公式a⊗b＝2a+b代入计算可得；
（2）根据公式列出关于x的不等式，解之可得答案；
（3）根据已知条件并结合公式列出关于x、y的方程组，将两个方程相加，再两边都除以3即可得出答案．
【解析】（1）3⊗（﹣5）＝2×3+（﹣5）＝6﹣5＝1，
故答案为：1；
（2）∵（x+2）⊗3＞7，
∴2（x+2）+3＞7，
∴2x+4+3＞7，
∴2x+7＞7，
∴2x＞0，
解得x＞0；
（2）∵x⊗（﹣y）＝5，且2y⊗x＝7，
∴2x-y=5①x+4y=7②，
①+②，得：3x+3y＝12，
∴x+y＝4．
2．（2021•河北模拟）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝mn﹣3n．
例如4☆2＝4×2﹣3×2＝8﹣6＝2，请根据上述知识解决下列问题：
（1）x☆12＞4，求x取值范围；
（2）若|x☆（-14）|＝3，求x的值；
（3）若方程x☆□x＝6，□中是一个常数，且此方程的一个解为x＝1，求□中的常数．
【分析】（1）根据已知公式得出12x-32＞4，解之可得答案；
（2）根据公式得出|-14x+34|＝3，即可得出-14x+34=3或-14x+34=-3，解之可得答案；
（3）根据公式得到□x2﹣3•□x＝6，把x＝1代入得到□﹣3□＝6，即可求得□＝﹣3．
【解析】（1）∵x☆12＞4，
∴12x-32＞4，
解得：x＞11；
（2）∵|x☆（-14）|＝3，
∴|-14x+34|＝3，
∴-14x+34=3或-14x+34=-3，
解得：x＝﹣9或x＝15；
（3）∵方程x☆□x＝6，
∴□x2﹣3•□x＝6，
∵方程的一个解为x＝1，
∴□﹣3□＝6，
∴□＝﹣3．
3．（2021春•丹阳市校级期末）定义一种新运算“a※b”：当a≥b时，a※b＝2a+b；当a＜b时，a※b＝2a﹣b．
例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※12＝2×（﹣6）﹣12＝﹣24．
（1）填空：（﹣2）※3＝　7　；
（2）若（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），则x的取值范围为　x≥7　；
（3）已知（2x﹣6）※（9﹣3x）＜7，求x的取值范围；
（4）小明在计算（2x2﹣2x+4）※（x2+4x﹣6）时随意取了一个x的值进行计算，得出结果是0，小丽判断小明计算错了，小丽是如何判断的？请说明理由．
【分析】（1）根据公式计算可得；
（2）结合公式知3x﹣4≥2x+3，解之可得；
（3）由题意可得2x-6≥9-3x2(2x-6)+(9-3x)＜7或2x-6＜9-3x2(2x-6)-(9-3x)＜7，分别求解可得；
（4）先利用作差法判断出2x2﹣2x+4＞x2+4x﹣6，再根据公式计算（2x2﹣2x+4）※（x2+4x﹣6）即可．
【解析】（1）（﹣2）※3＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7，
故答案为：﹣7；

（2）∵（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），
∴3x﹣4≥2x+3，
解得：x≥7，
故答案为：x≥7．

（3）由题意知2x-6≥9-3x2(2x-6)+(9-3x)＜7或2x-6＜9-3x2(2x-6)-(9-3x)＜7，
解得：3≤x＜10或x＜3，
∴x＜10．

（4）∵2x2﹣2x+4﹣（x2+4x﹣6）
＝x2﹣6x+10
＝（x﹣3）2+1＞0
∴2x2﹣2x+4＞x2+4x﹣6，
原式＝2（2x2﹣2x+4）+（x2+4x﹣6）
＝4x2﹣4x+8+x2+4x﹣6
＝5x2+2；
∴小明计算错误．
4．（2021春•邗江区期末）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+2b；当a＜b时，a*b＝a﹣2b．例如：3*（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）*12＝﹣6﹣24＝﹣30．
（1）填空：（﹣4）*3＝　﹣10　．
（2）若（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），则x的取值范围为　x≥5　．
（3）计算（2x2﹣4x+7）*（x2+2x﹣2）＝　4x2+3　．
（4）已知（3x﹣7）*（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围．
【分析】（1）根据公式计算可得；
（2）结合公式知3x﹣4≥x+6，解之可得；
（3）先利用作差法判断出2x2﹣4x+8＞x2+2x﹣2，再根据公式计算（2x2﹣4x+7）*（x2+2x﹣2）即可得；
（4）由题意可得3x-7≥3-2x3x-7+2(3-2x)＜-6或3x-7＜3-2x3x-7-2(3-2x)＜-6，分别求解可得；
【解析】（1）（﹣4）*3＝﹣4﹣2×3＝﹣10，
故答案为：﹣10；

（2）∵（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），
∴3x﹣4≥x+6，
解得：x≥5，
故答案为：x≥5．

（3）∵2x2﹣4x+7﹣（x2+2x﹣2）
＝x2﹣6x+9
＝（x﹣3）2≥0；
∴2x2﹣4x+7≥x2+2x﹣2，
原式＝2x2﹣4x+7+2（x2+2x﹣2）
＝2x2﹣4x+7+2x2+4x﹣4
＝4x2+3；

（4）由题意知3x-7≥3-2x3x-7+2(3-2x)＜-6或3x-7＜3-2x3x-7-2(3-2x)＜-6，
解得：x＞5或x＜1；
5．（2021春•雨花区期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．
如A：x＜0，B：x＜1，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”．
（1）若关于x的不等式A：x+2＞1，B：x＞3，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；
（2）已知关于x的不等式C：x-12＜a+13，D：2x﹣（3﹣x）＜3，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围；
（3）已知2m+n＝k，m﹣n＝3，m≥12，n＜﹣1，且k为整数，关于x的不等式P：kx+6＞x+4，Q：6（2x﹣1）≤4x+2，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据“雅含”关系的定义即可判断；
（2）根据“雅含”关系的定义得出2a+43＜2，解不等式即可；
（3）首先解关于m、n的方程组即可求得m、n的值，然后根据m≥12，n＜﹣1，且k为整数即可得到一个关于k的范围，从而求得k的整数值；
【解析】（1）不等式A：x+2＞1的解集为x＞﹣1，
A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”；
（2）∵不等式C：x-12＜a+13的解集为x＜2a+53，不等式D：2x﹣（3﹣x）＜3的解集为x＜2，且C是D的“子式”，
∴2a+53≤2，
解得a≤12；
（3）由2m+n=km-n=3求得m=k+33n=k-63，
∵m≥12，n＜﹣1，
∴k+33≥12k-63＜-1，
解得﹣1.5≤k＜3，
∵k为整数，
∴k的值为﹣1，0，1，2；
不等式P：kx+6＞x+4整理得，（k﹣1）x＞﹣2；不等式Q：6（2x﹣1）≤4x+2的解集为x≤1，
∵P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
∴不等式P：kx+6＞x+4的解集为x＜-2k-1，
∴k﹣1＜0，且-2k-1＞1，
解得﹣1＜k＜1，
∴k＝0．
6．（2021•张家界）阅读下面的材料：
对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）min{﹣1，3}＝　﹣1　；
（2）当min{2x-32，x+23}=x+23时，求x的取值范围．
【分析】（1）比较大小，即可得出答案；
（2）根据题意判断出2x-32≥x+23，解不等式即可判断x的取值范围．
【解析】（1）由题意得min{﹣1，3}＝﹣1；
故答案为：﹣1；
（2）由题意得：2x-32≥x+23
3（2x﹣3）≥2（x+2）
6x﹣9≥2x+4
4x≥13
x≥134，
∴x的取值范围为x≥134．
7．（2021•通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．
（1）求（﹣2）※3；
（2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．

【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；
（2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得．
【解析】（1）（﹣2）※3=（﹣2）2×3-（﹣2）×3-33=43+23-33=33；
（2）3※m≥﹣6，
则32m﹣3m﹣3m≥﹣6，
解得：m≥﹣2，
将解集表示在数轴上如下：

8．（2021春•昌平区期末）对于平面直角坐标系xOy中的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）给出如下定义：点A与点B的“绝对距离”为：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如：若点A（1，﹣1），点B（﹣2，1），则点A与点B的“绝对距离”为：d（A，B）＝|1﹣（﹣2）|+|﹣1﹣1|＝3+2＝5．已知点P（2，﹣3），根据以上定义，解决下列问题：
（1）d（P，O）＝　5　；
（2）已知点M（x，0），且d（P，M）＝6，求x的值；
（3）已知点N（x﹣1，x﹣3），且d（P，N）＜5，写出x的取值范围是　﹣1＜x＜4　．
（4）在平面直角坐标系xOy中画出满足d（Q，O）＝2时，点Q组成的图形．

【分析】（1）根据“绝对距离”的定义求解即可；
（2）利用“绝对距离”的定义求解即可；
（3）利用“绝对距离”的定义列出关于x的不等式，解不等式即可；
（4）点Q组成的图形就是d（Q，O）＝2的所有点的集合．
【解析】（1）d（P，O）＝|2﹣0|+|﹣3﹣0|＝2+3＝5，
故答案为5；
（2）∵P（2，﹣3），M（x，0），
∴d（P，M）＝|2﹣x|+|﹣3﹣0|＝|2﹣x|+3，
∵d（P，M）＝6，
∴|2﹣x|＝3，
∴2﹣x＝±3，
解得x1＝﹣1，x2＝5；
（3）∵P（2，﹣3），N（x﹣1，x﹣3），
∴d（P，N）＝|2﹣x+1|+|﹣3﹣x+3|＝|3﹣x|+|x|，
∵d（P，N）＜5，
∴|3﹣x|+|x|＜5，
当0≤x≤3时，则有3﹣x+x＜5，不成立；
当x＞3时，则有x﹣3+x＜5，解得x＜4；
当x＜0时，则有3﹣x﹣x＜5，解得x＞﹣1；
故﹣1＜x＜4，
故答案为﹣1＜x＜4；
（4）点Q组成的图形如图所示：

9．（2021春•海淀区校级期末）在平面直角坐标系中，若P、Q两点的坐标分别为P（x1，y1）和Q（x2，y2），则定义|x1﹣x2|和|y1﹣y2|中较小的一个（若它们相等，则取其中任意一个）为P、Q两点的“最佳距离”，记为d（P，Q）例如：P（﹣2，3），Q（0，2）．
因为|x1﹣x2|＝|﹣2﹣0|＝2；|y1﹣y2|＝|3﹣2|＝1，而2＞1，所以d（P，Q）＝|3﹣2|＝1．
（1）请直接写出A（﹣1，1），B（3，﹣4）的“最佳距离”d（A，B）＝　|﹣1﹣3|＝4　；
（2）点D是坐标轴上的一点，它与点C（1，﹣3）的“最佳距离”d（C，D）＝2，请写出点D的坐标　（3，0）或（﹣1，0）　；
（3）若点M（m+1，m﹣10）同时满足以下条件：
a）点M在第四象限；
b）点M与点N（5，0）的“最佳距离”d（M，N）＜2；
c）∠MON＞45°（O为坐标原点）；
请写出满足条件的整点（横纵坐标都为整数的点）M的坐标　（4，﹣7）或（5，﹣6）　．
【分析】（1）根据新概念求得即可；
（2）分两种情况，根据“最佳距离”的定义得出即可；
（3）根据题意得出10-m＞m+15-m+1＜2，解不等式即可求得．
【解析】（1）∵A（﹣1，1），B（3，﹣4），
∴|﹣1﹣3|＝4，|1+4|＝5，
∴d（A，B）＝|﹣1﹣3|＝4；
故答案为|﹣1﹣3|＝4；
（2）∵点C（1，﹣3），d（C，D）＝2，
当点D在x轴上时，设D（m，0），|﹣3﹣0|＞2，
∴|m﹣1|＝2，
∴m＝3或m＝﹣1
当点D在y轴上时，设D（0，n），则|1﹣0|＜2，不合题意，
点D的坐标为（3，0）或（﹣1，0），
故答案为（3，0）或（﹣1，0）；
（3）由题意得：10-m＞m+15-m+1＜2，
解得2＜m＜4.5，
∵横纵坐标都为整数，
∴m＝3和4，
∴M（4，﹣7）或（5，﹣6），
故答案为（4，﹣7）或（5，﹣6）．
10．（2021春•椒江区期末）规定min（m，n）表示m，n中较小的数（m，n均为实数，且mn），例如：min{3，﹣1}＝﹣1，、min{2，3}=2据此解决下列问题：
（1）min{-12，-13}=　-12　；
（2）若min{2x-13，2}=2，求x的取值范围；
（3）若min{2x﹣5，x+3}＝﹣2，求x的值．
【分析】（1）利用题中的新定义确定出所求即可；
（2）利用题中的新定义得出2x-13≥2，计算即可求出x的取值；
（3）利用题中的新定义分类讨论计算即可求出x的值．
【解析】（1）根据题中的新定义得：min{-12，-13}=-12；
故答案为：-12；
（2）由题意2x-13≥2，
解得：x≥3.5；
（3）若2x﹣5＝﹣2，解得：x＝1.5，此时x+3＝4.5＞﹣2，满足题意；
若x+3＝﹣2，解得：x＝﹣5，此时2x﹣5＝﹣15＜﹣2，不符合题意，
综上，x＝1.5．
11．（2021春•石城县期末）阅读材料：分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如x-3x+1＞0，如何求其解集呢？
它的理论依据是，两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为：
若a＞0，b＞0，则ab＞0；若a＜0，b＜0，则ab＞0．
若a＞0，b＜0，则ab＜0；若a＜0，b＞0，则ab＜0．
（1）反之：若ab＞0，则a＞0b＞0或a＜0b＜0，若ab＜0，则：　a＞0b＜0或a＜0b＞0　；
（2）根据上述材料，求不等式x-3x+1≥0的解集．
【分析】（1）根据有理数除法法则求解可得；
（2）根据题意列出不等式组，解之可得．
【解析】（1）若ab＜0，则a＞0b＜0或a＜0b＞0，
故答案为：a＞0b＜0或a＜0b＞0；
（2）由题意知①x-3≥0x+1＞0或②x-3≤0x+1＜0，
解不等式组①得x≥3；
解不等式组②得x＜﹣1，
故不等式的解集为x≥3或x＜﹣1．
12．（2021秋•岳麓区校级月考）定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．
例如：不等式组M：x＞2x＞1是N：x＞-2x＞-1的“子集”．
（1）若关于x的不等式组x＞ax＞-1是不等式组x＞2x＞1的“子集”，则a的取值范围是　a≥2　；
（2）已知a，b，c，d为不互相等的整数，其中a＜b，c＜d，下列三个不等式组A：a≤x≤b，B：c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”，B是C的“子集”，求a﹣b+c﹣d的值．
（3）已知不等式组M：2x≥m3x＜n有解，且M是不等式组N：1＜x≤3的“子集”，则满足条件的有序整数对（m，n）共有多少个？
【分析】（1）根据“子集”的定义确定出a的范围即可；
（2）根据“子集”的定义确定出各自的值，代入原式计算即可求出值；
（3）根据“子集”的定义确定出所求即可．
【解析】（1）∵关于x的不等式组x＞ax＞-1是不等式组x＞2x＞1的“子集”，
∴a≥2，
故答案为a≥2；
（2）∵a，b，c，d为互不相等的整数，其中a＜b，c＜d，
A：a≤x≤b，B：c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，
∴a＝3，b＝4，c＝2，d＝5，
则a﹣b+c﹣d＝3﹣4+2﹣5＝﹣4；
（3）不等式组M整理得：x≥m2x＜n3，
由不等式组有解得到m2＜n3，即m2≤x＜n3，
∵M：1＜x≤3是不等式组的“子集”，
∴m2＞1，n3≤3，即m＞2，n≤9，
当n＝9时，m＝3，4，5，
当n＝8时，m＝3，4，5，
当n＝7时，m＝3，4，
当n＝6时，m＝3，
当n＝5时，m＝3，
共10种情形，
∴满足条件的有序整数对（m，n）有10个
13．（2021春•天心区期中）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．
（1）在方程2x﹣1＝1①，4x﹣3＝0②，x﹣（3x+1）＝﹣5③中，写出是不等式组-x+2＞x-53x-1＞-x+2的相伴方程的序号　①③　．
（2）写出不等式组x+1＜02x-3＜4x+3的一个相伴方程，使得它的根是整数：　x＝﹣2　．
（3）若方程2x﹣1＝3；x3+1＝2都是关于x的不等式组x＜2x-mx-2≤m的相伴方程，求m的取值范围．
【分析】（1）分别解出三个一元一次方程的解和一元一次不等式的解集，方程的解在不等式解集范围内即为所求；
（2）求出不等式组的解集，在此范围内只有x＝﹣2一个整数解，写出符合条件的方程即可；
（3）求出不等式组的解集为m＜x≤m+2，x＝2和x＝3在此范围内，列出不等式m＜2，m+2≥3即可求解．
【解析】（1）分别求解一元一次方程为①x＝1；②x=34；③x＝2；
不等式组的解集为34＜x＜72，
∵x＝1，x＝2是不等式组的解，
∴不等式组的相伴方程是①③；
故答案为①③；
（2）由不等式组x+1＜02x-3＜4x+3，解得，﹣3＜x＜﹣1，则它的相伴方程的解是整数，
所以，相伴方程x＝﹣2，
故答案为x＝﹣2；
（3）x＜2x-mx-2≤m得，
不等式组的解集为m＜x≤m+2，
解方程2x﹣1＝3；x3+1＝2得，x＝2和x＝3，
∵方程2x﹣1＝3；x3+1＝2都是关于x的不等式组x＜2x-mx-2≤m的相伴方程，
∴m＜2，m+2≥3，
∴1≤m＜2．
14．（2019秋•宿松县校级期末）已知：点A（2m+1，3m﹣9）在第四象限．
（1）求m的取值范围；
（2）我们把横、纵坐标均为整数的点称为“整数点”，请写出符合条件的“整数点A”．
【分析】（1）根据第四象限点的坐标特征得出关于m的不等式组，解得即可；
（2）根据m的取值即可求得符合条件的“整数点A”．
【解析】（1）根据题意，得2m+1＞03m-9＜0，解得-12＜m＜3；

（2）∵-12＜m＜3，
∴m的整数解为：0，1，2，
∴符合条件的“整数点A”有（1，﹣9）、（3，﹣6）、（5，﹣3）．
15．（2021春•通山县期末）阅读材料：形如2＜2x+1＜3的不等式，我们就称之为双连不等式，求解双连不等式的方法一，转化为不等式组求解，如2＜2x+1，2x+1＜3.；方法二，利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去1，得1＜2x＜2，然后同时除以2，得12＜x＜1．
解决下列问题：
（1）请你写一个双连不等式并将它转化为不等式组；
（2）利用不等式的性质解双连不等式2≥﹣2x+3＞﹣5；
（3）已知﹣3≤x＜-52，求3x+5的整数值．
【分析】（1）3＜x﹣2＜5，转化为不等式组3＜x-2x-2＜5；
（2）根据方法二的步骤解答即可；
（3）根据方法二的步骤解答，得出﹣4≤3x+5＜-52，即可得到结论．
【解析】（1）3＜x﹣2＜5，
转化为不等式组3＜x-2x-2＜5；
（2）2≥﹣2x+3＞﹣5，
不等式的左、中、右同时减去3，得﹣1≥﹣2x＞﹣8，
同时除以﹣2，得12≤x＜4；
（3）﹣3≤x＜-52，
不等式的左、中、右同时乘以3，得﹣9≤3x＜-152，
同时加5，得﹣4≤3x+5＜-52，
∴3x+5的整数值﹣4或﹣3．
16．（2021春•微山县期末）阅读新知
现对x，y进行定义一种运算，规定f（x，y）=mx+ny2（其中m，n为常数且mn≠0），等式的右边就是加、减、乘、除四则运算．例如：
f（2，0）=m×2+n×02=m
应用新知
（1）若f（1，1）＝5，f（2，1）＝8，求m，n的值；
拓展应用
（2）已知f（﹣3，0）＞﹣3，f（3，0）＞-92，且m+n＝16，请你求出符合条件的m，n的整数值．
【分析】（1）根据题中的新定义列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值；
（2）根据题中的新定义列出不等式组，求得不等式组的解，根据m+n＝16确定出m、n的整数值．
【解析】（1）根据题中的新定义得：m+n2=52m+n2=8，
解得：m=6n=4；
（2）根据题中的新定义得：-3m+02＞-33m+02＞-92，
解得：﹣3＜m＜2，
∵m、n是整数，且m+n＝16，
∴m=-2n=18或m=-1n=17或m=1n=15．
17．（2021春•凤凰县期末）阅读材料：
我们定义一个关于有理数a，b的新运算，规定：a⊕b＝4a﹣3b．例如：5⊕6＝4×5﹣3×6＝2．完成下列各小题．
（1）若a⊕b＝1，a⊕2b＝﹣5，分别求出a和b的值；
（2）若m满足m⊕2≤0，且3m⊕（﹣8）＞0，求m的取值范围．
【分析】（1）根据新运算，得到方程组，解方程组即可求解；
（2）根据新运算，得到不等式组，解不等式组即可．
【解析】（1）根据题意，得4a-3b=14a-3×2b=-5，
解得：a=74b=2，
∴a和b的值分别为a=74，b＝2；
（2）根据题意，得4m-3×2≤04×3m-3×(-8)＞0，
解得：-2＜m≤32．
∴m的取值范围-2＜m≤32．
18．（2021春•锡山区期末）定义一种新运算“a⊗b”：当a≥b时，a⊗b＝a+2b；当a＜b时，a⊗b＝a﹣2b．
例如：3⊗（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）⊗12＝﹣6﹣24＝﹣30．
（1）填空：（﹣3）⊗（﹣2）＝　1　；
（2）若（3x﹣4）⊗（5+x）＝（3x﹣4）+2（5+x），则x的取值范围为　x≥92　；
（3）已知（5x﹣7）⊗（﹣2x）＞1，求x的取值范围；
（4）利用以上新运算化简：（3m2+5m+10）⊗（2m2﹣m）．
【分析】（1）根据公式计算可得；
（2）结合公式知3x﹣4≥5+x，解之可得；
（3）由题意可得①5x-7≥-2x5x-7+2(-2x)＞1，②5x-7＜-2x5x-7-2(-2x)＞1，分别求解可得；
（4）先利用作差法判断出3m2+5m+10＞2m2﹣m，再新运算化简即可得．
【解析】（1）（﹣3）⊗（﹣2）＝﹣3﹣2×（﹣2）＝1，
故答案为：1；

（2）∵（3x﹣4）⊗（5+x）＝（3x﹣4）+2（5+x），
∴3x﹣4≥5+x，
解得：x≥92，
故答案为：x≥92．

（3）由题意可知分两种情况讨论：
①5x-7≥-2x5x-7+2(-2x)＞1，解之得x＞8，
②5x-7＜-2x5x-7-2(-2x)＞1，解之得89＜x＜1，
综上所述：x的取值范围为x＞8或89＜x＜1；

（4）（3m2+5m+10）﹣（2m2﹣m）
＝m2+6m+10
＝（m+3）2+1＞0，
原式＝（3m2+5m+10）+2（2m2﹣m）＝7m2+3m+10．
19．（2021春•崇川区校级期末）若x为实数，定义：[x]表示不大于x的最大整数．
（1）例如[1.6]＝1，[π]＝　3　，[﹣2.82]＝　﹣3　．（请填空）
（2）[x]+1是大于x的最小整数，对于任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，利用这个不等式，求出满足[x]＝2x﹣1的所有解．
【分析】（1）根据[x]表示不大于x的最大整数即可求解；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，本题得以解决．
【解析】（1）[π]＝3，[﹣2.82]＝﹣3．
（2）∵对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，[x]＝2x﹣1，
∴2x﹣1≤x＜2x﹣1+1，
解得0＜x≤1，
∵2x﹣1是整数，
∴x＝0.5或x＝1，
故答案为：3，﹣3．
20．（2021春•长沙期末）对x、y定义一种新运算F，规定：F（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数）．例如：F（2，3）＝2a+3b．
（1）已知F（2，﹣1）＝﹣1，F（3，0）＝3．
①求a，b的值．
②已知关于p的不等式组F(3-2p，3)≥4F(2，2-3p)＜-1求p的取值范围；
（2）若运算F满足-2＜F(1，2)≤4-1＜F(2，1)≤5，请你求出F（k，k）的取值范围（用含k的代数式表示，这里k为常数且k＞0）．
【分析】（1）①根据F（2，﹣1）＝﹣1，F（3，0）＝3列出关于a、b的方程组，解之可得；
②由F(3-2p，3)≥4F(2，2-3p)＜-1列出关于p的不等式组，解之可得；
（2）根据-2＜F(1，2)≤4-1＜F(2，1)≤5列出关于a、b的不等式组，相加得出a+b的取值范围，再进一步求解可得．
【解析】（1）①由题意知2a-b=-13a=3，
解得a=1b=3；
②由题意知3-2p+9≥42+6-9p＜-1，
解得1＜p≤4；
（2）由题意知-2＜a+2b≤4-1＜2a+b≤5，
∴﹣3＜3a+3b≤9，
∴﹣1＜a+b≤3，
∵F（k，k）＝ka+kb，且﹣k＜k（a+b）≤3k，
∴﹣k＜F（k，k）≤3k．