数学八年级下册第一章 三角形的证明3 线段的垂直平分线课时练习

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第一单元         第3课时线段的垂直平分线 一、选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（　　）A．30°           B．40°          C．50°        D．60°【答案】B；【解析】∵∠B=90°，∠BAE=10°∴∠AEB=80°,由垂直平分线的性质，AE=CE，∠EAC=∠C, ∵∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,∴∠C=40°2．如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，BC=8cm，AC=5cm，则△ADC的周长为（　　）A．14cm     B．13cm      C．11cm      D．9cm【答案】B；【解析】解：∵DE是边AB的垂直平分线，∴BD=AD，∴△ADC的周长为AC+DC+AD=AC+BC=5+8=13cm．故选B.3．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（　　）A．48°    B．36°    C．30°    D．24°【答案】A；【解析】解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=24°，∵∠A=60°，∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF=CF，∴∠FCB=24°，∴∠ACF=72°﹣24°=48°，故选：A．4．如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，E为AB上一点，且CE=EB，ED⊥CB于D，则下列结论中不一定成立的是（　　）A．AE=BE        B．CE=AB         C．∠CEB=2∠A       D．AC=AB【答案】D；【解析】∵CE=EB，∴∠B=∠BCE．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=90°，∠A+∠B=90°．
∴∠A=∠ACE．
∴AE=CE=EB．
故选项A、B都正确；
∵∠ACB=90°，ED⊥CB，
∴AC∥ED．
则∠A=∠DEB，∠CED=∠ACE．
又∠A=∠ACE，
∴∠CEB=2∠A．
故选项C正确；
当∠B=30°或∠A=60°时，选项D才成立．
故选D．5．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（　　） A、80°  B、70°    C、60°  D、50°【答案】C；【解析】三角形垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等．6.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（　　） A、6  B、5     C、4  D、3【答案】B;【解析】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，∴PB=PA，而已知线段PA=5，∴PB=5．7.如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（　　） A、两人都正确 B、两人都错误   C、甲正确，乙错误  D、甲错误，乙正确【答案】D；【解析】∵CP是线段AB的中垂线，∴△ABC是等腰三角形，即AC=BC，∠A=∠B，作AC、BC之中垂线分别交AB于D、E，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，∵∠A=∠B，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，∵AC=BC，∴△ACD≌△BCE，∴AD=EB，∵AD=DC，EB=CE，∴AD=DC=EB=CE．8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（　　） A、AE=BE  B、AC=BE     C、CE=DE  D、∠CAE=∠B【答案】B；【解析】A、根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE．故该选项正确；B、因为AE＞AC，AE=BE，所以AC＜BE．故该选项错误；C、根据等角对等边，得∠BAE=∠B=30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得∠BAC=60°．则∠CAE=∠BAE=30°，根据角平分线的性质，得CE=DE．故该选项正确；D、根据C的证明过程．故该选项正确．9.如图，AC=AD，BC=BD，则有（　　）A、AB垂直平分CD      B、CD垂直平分AB  C、AB与CD互相垂直平分  D、CD平分∠ACB【答案】A；【解析】∵AC=AD，BC=BD，∴点A，B在线段CD的垂直平分线上．∴AB垂直平分CD．10.如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则（　　）A．点P在∠ABC的平分线上         B．点P在∠ACB的平分线上C．点P在边AB的垂直平分线上     D．点P在边BC的垂直平分线上【答案】D；【解析】解：∵PB=PC，∴P在线段BC的垂直平分线上，故选D．二、填空题11．如图，ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．（1）若∠A＝35°，则∠BPC＝_____；（2）若AB＝5 cm，BC＝3 cm，则ΔPBC的周长＝_____．【答案】70, 8；【解析】由垂直平分线的性质，AP＝BP，∠A＝∠ABP＝35°，∠BPA＝110°，∠BPC＝70°．ΔPBC的周长＝BP＋PC＋BC＝ AP＋PC＋BC＝5＋3＝8cm．12．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为       ．【答案】6；【解析】∵ED+DC+EC=24，①（AB+AC+BC）-（AE+ED+DC+AC）=12即BE+BD-DE=12．②∵BE=CE，BD=DC，∴①-②得，DE=6．13.如图:已知,在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于　_________　．【答案】8；【解析】∵△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，∴AD=BD，AE=CE∴△ADE的周长=AD+AE+DE=BD+DE+CE=BC=8．△ADE的周长等于8．14.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：（1）BD平分∠ABC；（2）AD=BD=BC；（3）△BDC的周长等于AB+BC；（4）D是AC中点．其中正确的命题序号是　            　．【答案】（1）（2）（3）；【解析】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠ABD=∠A=36°，∴∠DBC=72°﹣36°=36°，∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，∴BD=BC；（1）BD平分∠ABC正确；（2）AD=BD=CD正确；（3）△BDC的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=AB+BC，正确；（4）AD=BD≠CD，所以D不是AC的中点，故本选项错误．故正确的命题是（1）（2）（3）．三、解答题15.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．
（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；
（2）求证：BG2-GE2=EA2．【解析】证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC
∴DB=DC，
∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，
∴∠HBD=∠ACD，
∵在△DBH和△DCA中
  
∴△DBH≌△DCA（ASA），
∴BH=AC．

               （2）连接CG，
∵∠ABC=45°，CD⊥AB（∠CDB=90°），
∴∠BCD=45°=∠ABC，
∴DB=CD，
∵F为BC的中点，
∴DF垂直平分BC，
∴BG=CG，
∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，
∴EC=EA，
在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2-GE2=CE2，
∵CE=AE，BG=CG，
∴BG2-GE2=EA2．16.如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．【解析】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，∴AM=CM，BN=CN，∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，∵△CMN的周长为15cm，∴AB=15cm；（2）∵∠MFN=70°，∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，∵AM=CM，BN=CN，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．