专题3.3期中全真模拟卷03-2021-2022学年八年级数学下学期期中考试高分直通车【北师大版】

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2021-2022学年八年级数学下学期期中考试高分直通车【北师大版】
专题3.3期中全真模拟卷03
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共25题，选择10道、填空8道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列图形中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解析】A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，还是轴对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．
故选：C．
2．将不等式组x≥1x≤3的解集在数轴上表示出来，应是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据小于等于或大于等于用实心圆点在数轴上表示解答．
【解析】不等式组x≥1x≤3的解集为：1≤x≤3，
故选：A．
3．线段CD是由线段AB平移得到的，点A（3，﹣1）的对应点C的坐标是（﹣2，5），则点B（0，4）的对应点D的坐标是（　　）
A．（5，﹣7） B．（4，3） C．（﹣5，10） D．（﹣3，7）
【分析】根据点A（3，﹣1）的对应点为C（﹣2，5），可知横坐标由3变为﹣2，向左移动了5个单位，﹣1变为5，表示向上移动了6个单位，以此规律可得D的对应点的坐标．
【解析】点A（3，﹣1）的对应点C的坐标是（﹣2，5），可知横坐标由3变为﹣2，向左移动了5个单位，﹣1变为5，表示向上移动了6个单位，
于是点B（0，4）的对应点D的横坐标为0﹣5＝﹣5，点D的纵坐标为4+6＝10，
故D（﹣5，10）．
故选：C．
4．如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（　　）

A．AC，BC两边高线的交点处
B．AC，BC两边中线的交点处
C．AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．∠A，∠B两内角平分线的交点处
【分析】要求到三个小区的距离相等，首先思考到A小区、C小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AC的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．
【解析】A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选：C．
5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为（　　）
A．50° B．130° C．50°或130° D．55°或130°
【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为50°；另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为130°．
【解析】①如图1，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝40°，
∴∠A＝50°，
即顶角的度数为50°．
②如图2，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA＝40°，
∴∠BAD＝50°，
∴∠BAC＝130°，
即顶角的度数为130°．
故选：C．

6．△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，若AB＝6，则AC＝（　　）
A．6 B．8 C．5 D．13
【分析】根据等腰三角形的判定与性质即可求解．
【解析】∵△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣50°＝50°，
∴∠C＝∠B，
∴AC＝AB＝6，
故选：A．
7．在四川抗震救灾中，某抢险地段需实行爆破．操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度是1.2厘米/秒，操作人员跑步的速度是5米/秒．为了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过（　　）
A．66厘米 B．76厘米 C．86厘米 D．96厘米
【分析】操作人员所用时间应＜导火线所用时间．据此可列出不等式求解．
【解析】设导火线的长度为x厘米，可列不等式：
400÷5＜x÷1.2，
解得x＞96厘米．
故选：D．
8．如图1，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠ADE都是直角，点C在AE上，△ABC绕着A点经过逆时针旋转后能够与△ADE重合得到图1，再将图1作为“基本图形”绕着A点经过逆时针连续旋转得到图2．两次旋转的角度分别为（　　）


A．45°，90° B．90°，45° C．60°，30° D．30°，60°
【分析】图1中可知旋转角是∠EAB，再结合等腰直角三角形的性质，易求∠EAB；图2中是把图1作为基本图形，那么旋转角就是∠FAB，结合等腰直角三角形的性质易求∠FAB．
【解析】根据图1可知，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，
即△ABC绕点A逆时针旋转45°可到△ADE；
如右图，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝∠CAB＝45°，
∴∠FAB＝∠DAE+∠CAB＝90°，
即图1可以逆时针连续旋转90°得到图2．
故选：A．

9．如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6cm，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，AC与B′C′相交于点H，则图中△AHC′的面积等于（　　）

A．12﹣63 B．14﹣63 C．16﹣63 D．18﹣63
【分析】将△ABC绕点A逆时针旋转15°，得到∠B′AH＝45°﹣15°＝30°，AB＝AB′利用三角函数即可求出B′H的长，然后根据直角三角形的面积公式即可求出阴影部分面积，根据面积的和差，可得答案．
【解析】∵∠B′AH＝∠B′AC′﹣∠HAC′＝45°﹣15°＝30°，
∴B′H＝AB′tan30°＝6×33=23（cm），
S△AB′H=12×6×23=63（cm2），
S△AB'C'=12AB'⋅B'C'=12×6×6=18
S△AHC'=S△AB'C'-S△AB'H=18﹣63cm2，
故选：D．
10．不等式组a-1＜x＜a+23＜x＜5的解集是3＜x＜a+2，则a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．a≤3 C．a＜1或a＞3 D．1＜a≤3
【分析】根据题中所给条件，结合口诀，可得a﹣1与3之间、5和a+2之间都存在一定的不等关系，解这两个不等式即可．
【解析】根据题意可知a﹣1≤3且a+2≤5
所以a≤3
又因为3＜x＜a+2
即a+2＞3
所以a＞1
所以1＜a≤3
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．如图，将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，点E在BC边上，EF与AC交于点G．若∠B＝70°，∠C＝25°，则∠FGC＝　65　°．

【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAE＝180°﹣70°×2＝40°，那么∠FAG＝40°．得出∠F＝∠C＝25°，再根据三角形外角的性质即可求出∠FGC＝∠FAG+∠F＝65°．
【解析】∵将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，
∴AB＝AE，∠B＝70°，
∴∠BAE＝180°﹣70°×2＝40°，
∴∠FAG＝∠BAE＝40°．
∵将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，
∴△ABC≌△AEF，
∴∠F＝∠C＝25°，
∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝40°+25°＝65°．
故答案为：65．
12．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当x＞1时，y的取值范围是　y＞0　．

【分析】观察函数图象，可找出y随x的增大而增大，当x＝1时，y＝0，再结合一次函数的性质可得出当x＞1时，y＞0．
【解析】观察函数图象，可知：y随x的增大而增大，当x＝1时，y＝0，
∴当x＞1时，y＞0．
故答案为：y＞0．
13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，BC＝5，将△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移2个单位长度，到达△DEF，AC与DE交于点G，则EG的长为　3　．

【分析】根据平移和直角三角形30度的性质知：BE＝2，CG＝2EG，设EG＝x，则CG＝2x，由勾股定理列方程可得结论．
【解析】由平移得：BE＝2，∠DEF＝∠B＝90°，
∵BC＝5，
∴CE＝5﹣2＝3，
∵∠A＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴CG＝2EG，
设EG＝x，则CG＝2x，
由勾股定理得：x2+32＝（2x）2，
x=3或-3（舍），
∴EG=3，
故答案为：3．
14．去年大石桥市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到60%，如果明年（365天）这样的比值要超过75%，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加　55　天．
【分析】设明年空气质量良好的天数比去年要增加x天，由去年该市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到60%且明年（365天）这样的比值要超过75%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
【解析】设明年空气质量良好的天数比去年要增加x天，
依题意，得：365×60%+x＞365×75%，
解得：x＞54.75．
∵x为整数，
∴x的最小值为55．
故答案为：55．
15．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，D是AC边上的点，DA＝DB＝3，则AC的长为　9　．

【分析】由等腰三角形的性质得出∠A＝∠C＝30°，∠DBC＝30°，得出∠DBC＝90°，由直角三角形的性质得出答案．
【解析】∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
∵DA＝DB＝3，
∴∠DBA＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝120°﹣30°＝90°，
∴DC＝2DB＝6，
∴AC＝AD+CD＝3+6＝9．
故答案为：9．
16．已知a+b+c＝0，a＞b＞c，则ca的取值范围是　﹣2＜ca＜-12　．
【分析】首先将a+b+c＝0变形为b＝﹣a﹣c．再将b＝﹣a﹣c代入不等式a＞b，b＞c，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系，联立求得ca的取值范围．
【解析】∵a+b+c＝0，
∴a＞0，c＜0 ①
∴b＝﹣a﹣c，且a＞0，c＜0
∵a＞b＞c
∴﹣a﹣c＜a，即2a＞﹣c②
解得ca＞-2，
将b＝﹣a﹣c代入b＞c，得﹣a﹣c＞c，即a＜﹣2c③
解得ca＜-12，
∴﹣2＜ca＜-12．
故答案为：﹣2＜ca＜-12．
17．在四边形ABCD中，∠ADC与∠BCD的角平分线交于点E，∠DEC＝115°，过点B作BF∥AD交CE于点F，CE＝2BF，∠CBF=54∠BCE，连接BE，S△BCE＝4，则CE＝　4　．

【分析】设∠BCE＝4x，∠CBF＝5x，设∠ADE＝∠EDC＝y，构建方程组求出x，y，证明∠CFB＝90°，再利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．
【解析】∵∠CBF=54∠BCE，
∴可以假设∠BCE＝4x，则∠CBF＝5x，
∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，
∴∠ADE＝∠EDC，∠ECD＝∠ECB＝4x，设∠ADE＝∠EDC＝y，
∵AD∥BF，
∴∠A+∠ABF＝180°，
∴∠ADC+∠DCB+∠CBF＝180°，
∴2y+13x＝180°①，
∵∠DEC＝115°，
∴∠EDC+∠ECD＝65°，即y+4x＝65° ②，
由①②解得x=10°y=25°，
∴∠BCF＝40°，∠CBF＝50°，
∴∠CFB＝90°，
∴BF⊥EC，
∴CE＝2BF，设BF＝m，则CE＝2m，
∵S△BCE=12•EC•BF＝4，
∴12×2m×m＝4，
∴m＝2或﹣2（舍弃），
∴CE＝2m＝4，
故答案为4．
18．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1B2、△A2B2B3、△A3B3B4、…均为等边三角形，若OB1＝1，则△A8B8B9的边长为　128　

【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出B1A1∥A2B2∥A3B3，以及a2＝2a1，得出a3＝4a1＝4，a4＝8a1＝8，a5＝16a1…进而得出答案．
【解析】设等边三角形的边长一次为a1，a2，a3，…，
∵△A1B1B2是等边三角形，
∴B1A1＝B2A1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OB1＝B1A1＝1，
∴B2A1＝1，
∵△B2A2B3、△B3A3B4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴B1A1∥A2B2∥A3B3，A1B2∥A2B3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴a2＝2a1，a3＝4a1＝4，
a4＝8a1＝8，a5＝16a1，
以此类推：a8＝27＝128，
即△A8B8B9的边长为128，
故答案为：128．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．解不等式与不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（1）5x﹣2＞3（x+1）；
（2）3x-5≤715-x2＜2x．
【分析】（1）根据不等式的解法，去括号，移项合并同类项，系数化为1计算即可得解；
（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解析】（1）去括号得：5x﹣2＞3x+3，
移项得：5x﹣3x＞3+2，
合并同类项得：2x＞5，
解得x＞2.5，
在数轴上表示不等式的解集为：
．

（2）3x-5≤7①15-x2＜2x②，
解不等式①得：x≤4，
解不等式②得：x＞3，
∴不等式组的解集是：3＜x≤4，
在数轴上表示不等式组的解集为：
．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4），请按下列要求画图：
（1）将△ABC先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）画出与△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，并直接写出点A2的坐标．

【分析】（1）将三个顶点分别向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到对应点，再顺次连接即可得；
（2）将△ABC的三个顶点关于原点O成中心对称的对称点，再顺次连接可得．
【解析】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．


（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（5，﹣1）．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E．
（1）若∠A＝40°，求∠EBC的度数；
（2）若AD＝5，△EBC的周长为16，求△ABC的周长．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABC的度数，根据线段的垂直平分线的性质求出∠EBA的度数，计算即可；
（2）根据线段的垂直平分线的性质和三角形的周长公式求出AC+BC+AB＝16+5+5＝26，计算即可．
【解析】（1）∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠EBC＝30°；
（2）∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝BD＝5，EB＝AE，
△EBC的周长＝EB+BC+EC＝EA+BC+EC＝AC+BC＝16，
则△ABC的周长＝AB+BC+AC＝26．
22．甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．“五一”期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打6折．设x（单位：元）表示商品原价，y甲（单位：元）表示在甲商场购物金额，y乙（单位：元）表示在乙商场购物金额．
（1）就两家商场的让利方式分别写出y甲，y乙关于x的函数解析式；
（2）y甲关于x的函数图象如图所示，请在同一直角坐标系中画出y乙关于x的函数图象；
（3）“五一”期间，如何选择这两家商场去购物更省钱？

【分析】（1）根据题意，可以分别写出y甲，y乙关于x的函数解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式可以画出y乙关于x的函数图象；
（3）根据（1）中函数解析式，令0.8x＝0.6x+80，求出x的值，然后即可得到“五一”期间，如何选择这两家商场去购物更省钱．
【解析】（1）由题意可得，
y甲＝0.8x，
当0≤x≤200时，y乙＝x，当x＞200时，y乙＝200+（x﹣200）×0.6＝0.6x+80，
由上可得，y甲关于x的函数解析式是y甲＝0.8x，y乙关于x的函数解析式是y乙=x(0≤x≤200)0.6x+80(x＞200)；
（2）由（1）知，y乙=x(0≤x≤200)0.6x+80(x＞200)，
y乙关于x的函数图象如右图所示；
（3）令0.8x＝0.6x+80，
解得x＝400，
即“五一”期间，当购物少于400元时，选择甲商场更省钱；当购物400时，两家花费一样；当购物超过400元时，选择乙商场更省钱．

23．如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G，DH⊥AC交AC的延长线于点H，
（1）D点到B、C两点的距离相等吗？为什么？
（2）D点到∠BAC两边的距离相等吗？为什么？
（3）探求BG和CH之间的大小关系，并证明你的结论．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质解答即可；
（2）依据角平分线的性质解答；
（3）连接BD、CD，利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD＝DH，DG＝DC，依据HL定理可判断出Rt△BDG≌Rt△CDH，根据全等三角形的性质即可得出结论．
【解析】（1）相等．
∵D是线段BC垂直平分线上的一点，
∴D点到B、C两点的距离相等；

（2）相等．
∵点D在∠BAC的角平分线上，
∴D点到∠BAC两边的距离相等；

（3）BG＝CH．
连接BD、CD，
∵D是线段BC垂直平分线上的点，
∴BD＝DC，
∵D是∠BAC平分线上的点，DG⊥AB，DH⊥AC
∴DG＝DH，
∴Rt△BDG≌Rt△CDH，
∴BG＝CH．

24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段AB上，DE与BC相交于点F，连接BE．
（Ⅰ）求证：DC平分∠ADE；
（Ⅱ）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）若BE＝BD，求∠ABC的大小．（直接写出结果即可）

【分析】（Ⅰ）利用等腰三角形的性质以及旋转不变性解决问题即可．
（Ⅱ）结论：AB⊥BE．证明∠DBE+∠DCE＝180°，即可解决问题．
（Ⅲ）设BC交DE于O．连接AO．想办法证明△ACO是等腰直角三角形，OA＝OB即可解决问题．
【解答】（Ⅰ）证明：∵△DCE是由△ACB旋转得到，
∴CA＝CD，∠A＝∠CDE，
∴∠A＝∠CDA，
∴∠CDA＝∠CDE，
∴CD平分∠ADE．

（Ⅱ）解：结论：BE⊥AB．
由旋转的性质可知，∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CD，CB＝CE，
∴∠CAD＝∠CDA＝∠CBE＝∠CEB，
∵∠ABC+∠CAB+∠ACD+∠DCB＝180°，
∴∠ABC+∠CBE+∠DCB+∠BCE＝180°，
∴∠DCE+∠DBE＝180°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠DBE＝90°，
∴BE⊥AB．

（Ⅲ）如图，设BC交DE于O．连接AO，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于H，作BT⊥CE于T，

∵∠H＝∠BTC＝∠HCT＝90°，
∴∠HBT＝∠DBE＝90°，
∴∠DBH＝∠EBT，
∵BD＝BE，∠H＝∠BTE＝90°
∴△BHD≌△BTE（AAS），
∴BH＝BT，
∵BH⊥CH，BT⊥CE，
∴∠DCO＝∠DEB＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠OCD，
∵CD＝CD，∠ADC＝∠ODC，
∴△ACD≌△OCD（ASA），
∴AC＝OC，
∴∠AOC＝∠CAO＝45°，
∵∠ADO＝135°，
∴∠CAD＝∠ADC＝67.5°，
∴∠ABC＝22.5°，
∵∠AOC＝∠OAB+∠ABO，
∴∠OAB＝∠ABO＝22.5°．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点（不与原点O重合），以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ．
（1）求点B的坐标；
（2）在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．
（3）连接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标．

【分析】（1）如图，作辅助线；证明∠BOC＝30°，OB＝2，借助直角三角形的边角关系即可解决问题；
（2）证明△APO≌△AQB，得到∠ABQ＝∠AOP＝90°，即可解决问题；
（3）根据点P在x的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果．
【解析】（1）如图1，过点B作BC⊥x轴于点C，
∵△AOB为等边三角形，且OA＝2，
∴∠AOB＝60°，OB＝OA＝2，
∴∠BOC＝30°，而∠OCB＝90°，
∴BC=12OB＝1，OC=3，
∴点B的坐标为B（3，1）；

（2）∠ABQ＝90°，始终不变．理由如下：
∵△APQ、△AOB均为等边三角形，
∴AP＝AQ、AO＝AB、∠PAQ＝∠OAB，
∴∠PAO＝∠QAB，
在△APO与△AQB中，
AP=AQ∠PAO=∠QABAO=AB，
∴△APO≌△AQB（SAS），
∴∠ABQ＝∠AOP＝90°；

（3）当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，
∵AB∥OQ，∠BQO＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°．
又OB＝OA＝2，可求得BQ=3，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP＝BQ=3，
∴此时P的坐标为（-3，0）．
当点P在x轴正半轴时，点Q必在第一象限，OQ和AB不可能平行；