专题3.6期中全真模拟卷06 -2021-2022学年八年级数学下学期期中考试高分直通车【北师大版】

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2021-2022学年八年级数学下学期期中考试高分直通车【北师大版】
专题3.6期中全真模拟卷06
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共25题，选择12道、填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若m＞n，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．2m＜3n B．2+m＞2+n C．2﹣m＞2﹣n D．m2＜n2
【分析】根据不等式的性质解答．
【解析】A、若m＝3，n＝﹣2，则2m＞3n，故不符合题意．
B、若m＞n，则2+m＞2+n，故符合题意．
C、若m＞n，则2﹣m＜2﹣n，故不符合题意．
D、若m＞n，则m2＞n2，故不符合题意．
故选：B．
2．下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此可得结论．
【解析】A．是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．属于中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
3．如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　）

A．35° B．40° C．50° D．65°
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′＝∠CAB，根据旋转的性质可得AC＝AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．
【解析】∵CC′∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC＝AC′，
∴∠CAC′＝180°﹣2∠ACC′＝180°﹣2×65°＝50°，
∴∠CAC′＝∠BAB′＝50°．
故选：C．
4．如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，那么这个不等式组可能是（　　）

A．x＜2x≥3 B．x＞-2x≤3 C．x≥-2x＜3 D．x≤-2x≥3
【分析】根据不等式组解集的确定方法：大小小大中间找，可得答案．
【解析】由数轴上表示的不等式组的解集，得
﹣2＜x≤3．
故选：B．
5．到三角形的三个顶点距离相等的点是（　　）
A．三条角平分线的交点
B．三条中线的交点
C．三条高的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
【分析】根据垂直平分线的性质，可得到三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点．
【解析】三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点．
故选：D．
6．如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO＝1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（　　）

A．﹣0.4 B．-2 C．1-2 D．2-1
【分析】利用勾股定理求出AB的长，可得AB＝AC=2，推出OC=2-1即可解决问题；
【解析】在Rt△AOB中，AB=OB2+OA2=2，
∴AB＝AC=2，
∴OC＝AC﹣OA=2-1，
∴点C表示的数为1-2．
故选：C．
7．直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为（　　）

A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1
【分析】观察函数图象得到，当x＜﹣1时，直线y＝k2x都在直线y＝k1x+b，的上方，于是可得到不等式k2x＞k1x+b的解集．
【解析】当x＜﹣1时，k2x＞k1x+b，
所以不等式k2x＞k1x+b的解集为x＜﹣1．
故选：D．
8．如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（　　）

A．（0，4） B．（2，﹣2） C．（3，﹣2） D．（﹣1，4）
【分析】根据平移和旋转的性质，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，即可得点A的对应点A′的坐标．
【解析】如图，

△A′B′C′即为所求，
则点A的对应点A′的坐标是（﹣1，4）．
故选：D．
9．下列给出的5个图中，能判定△ABC是等腰三角形的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①根据三角形内角和定理得∠A≠∠B≠∠C，则△ABC不是等腰三角形；
②证出∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形；
③由平行线的性质得∠C＝∠CAD＝50°，则∠B＝∠C，得△ABC是等腰三角形；
④由平行线的性质得∠BCA＝∠CAD＝30°，∠BAD＝60°，则∠BAC＝∠BCA，得△ABC是等腰三角形；
⑤先由平行线的性质得∠A＝∠D＝30°，再由三角形的外角性质得∠B＝60°﹣∠A＝30°，则∠B＝∠A，得△ABC是等腰三角形；即可得出结论．
【解析】图①中，∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣66°＝44°，
∴∠A≠∠B≠∠C，
∴△ABC不是等腰三角形；
图②中，∵∠B+∠C＝140°，∠B＝70°，
∴∠C＝140°﹣70°＝70°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
图③中，∵AD∥BC，
∴∠C＝∠CAD＝50°，
∵∠B＝50°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
图④中，∵AD∥BC，
∴∠BCA＝∠CAD＝30°，∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BAC＝60°﹣30°＝30°，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴△ABC是等腰三角形；
图⑤中，∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D＝30°，
∵∠BCD＝∠A+∠B＝60°，
∴∠B＝60°﹣∠A＝30°，
∴∠B＝∠A，
∴△ABC是等腰三角形；
能判定△ABC是等腰三角形的有4个，
故选：C．
10．已知，如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB，下列条件中：①∠AOC＝∠BOC，②PD＝PE，③OD＝OE，④∠DPO＝∠EPO，能判定OC是∠AOB的角平分线的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理和性质定理判断即可．
【解析】∵∠AOC＝∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，①符合题意；
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，
∴OC是∠AOB的角平分线，②符合题意；
在Rt△POD和Rt△POE中，
OD=OEOP=OP，
∴Rt△POD≌Rt△POE，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，③符合题意；
同理，△POD≌△POE，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，④符合题意，
故选：D．
11．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，P为射线OC上一点，如果射线OA上的点D，满足△OPD是等腰三角形，那么∠ODP的度数为（　　）

A．30° B．120°
C．30°或120° D．30°或75°或120°
【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OD＝PD，OP＝OD，OP＝CD，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．
【解析】∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝30°，
①当D在D1时，OD＝PD，
∵∠AOP＝∠OPD＝30°，
∴∠ODP＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
②当D在D2点时，OP＝OD，
则∠OPD＝∠ODP=12（180°﹣30°）＝75°；
③当D在D3时，OP＝DP，
则∠ODP＝∠AOP＝30°；
综上所述：120°或75°或30°，
故选：D．
12．若不等式组x+a≥01-2x＞x-2无解，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣1 B．a＜﹣1 C．a≤1 D．a≤﹣1
【分析】分别求出各不等式的解集，再与已知不等式组无解相比较即可得出a的取值范围．
【解析】x+a≥0①1-2x＞x-2②，
由①得，x≥﹣a，
由②得，x＜1，
∵不等式组无解，
∴﹣a≥1，
解得：a≤﹣1．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
13．“x的3倍与y的和不小于2”用不等式可表示为　3x+y≥2　．
【分析】关系式为：x的3倍+y≥2，把相关数值代入即可．
【解析】“x的3倍与y的和不小于2”用不等式可表示为3x+y≥2，
故答案为：3x+y≥2．
14．不等式2x﹣5≥0的最小整数解为　3　．
【分析】求出不等式的解集，找出最小的整数解即可．
【解析】不等式2x﹣5≥0，
移项得：2x≥5，
解得：x≥52，
则不等式的最小整数解为3，
故答案为：3
15．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，则∠ADE是　15　度．

【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠ADB＝90°，根据三角形内角和定理计算．
【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠ADB＝90°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝75°，
∴∠ADE＝15°，
故答案为：15．
16．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝　4　．

【分析】作PH⊥MN于H，如图，根据等腰三角形的性质得MH＝NH=12MN＝1，在Rt△POH中由∠POH＝60°得到∠OPH＝30°，则根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OH=12OP＝5，然后计算OH﹣MH即可．
【解析】作PH⊥MN于H，如图，
∵PM＝PN，
∴MH＝NH=12MN＝1，
在Rt△POH中，∵∠POH＝60°，
∴∠OPH＝30°，
∴OH=12OP=12×10＝5，
∴OM＝OH﹣MH＝5﹣1＝4．
故答案为4．

17．如图，在△ABC中，∠A＝70°，AC＝BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△A′BC′，点A′恰好落在AC上，连接CC′，则∠ACC′＝　110°　．

【分析】由∠A＝70°，AC＝BC，可知∠ACB＝40°，根据旋转的性质，AB＝BA′，BC＝BC′，∠CBC′＝∠α＝40°，∠BCC′＝70°，于是∠ACC′＝∠ACB+∠BCC′＝110°．
【解析】∵∠A＝70°，AC＝BC，
∴∠BCA＝40°，
根据旋转的性质，AB＝BA′，BC＝BC′，
∴∠α＝180°﹣2×70°＝40°，
∵∠CBC′＝∠α＝40°，
∴∠BCC′＝70°，
∴∠ACC′＝∠ACB+∠BCC′＝110°；
故答案为：110°．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝6，Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的，则线段B′C的长为　37　．

【分析】作B′E⊥AC交CA的延长线于E，由直角三角形的性质求得AC、AE，BC的值，根据旋转再求出对应角和对应线段的长，再在直角△B′EC中根据勾股定理求出B′C的长度．
【解析】如图，作B′E⊥AC交CA的延长线于E．
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝6，
∴∠ABC＝30°，
∴AC=12AB＝3，
∵Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的，
∴AB＝AB′＝6，∠B′AC′＝60°，
∴∠EAB′＝180°﹣∠B′AC′﹣∠BAC＝60°．
∵B′E⊥EC，
∴∠AB′E＝30°，
∴AE＝3，
∴根据勾股定理得出：B′E=62-32=33，
∴EC＝AE+AC＝6，
∴B′C=(EB')2+EC2=27+36=37．
故答案为：37．

三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．①解不等式2x﹣1≥3x﹣3，并求出它的非负数整数解；
②解不等式组5x-1＜3(x+1)2x-13-5x+12≤1，并求出它的解集分别在数轴上表示出来．
【分析】（1）不等式移项合并后，将x系数化为1，求出解集，进一步求出它的非负数整数解即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，得出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解析】（1）2x﹣1≥3x﹣3，
2x﹣3x≥﹣3+1，
﹣x≥﹣2，
解得：x≤2，
故它的非负数整数解为0，1，2；
（2）5x-1＜3(x+1)①2x-13-5x+12≤1②，
由①解得：x＜2；
由②解得：x≥﹣1，
故原不等式组的解集是﹣1≤x＜2，
在数轴上表示为：

20．在下面的正方形网格中按要求作图．
（1）在图①中将△ABC平移，使点A与点C重合，得到△CPQ；
（2）在图②中将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到△MNC；
（3）在图③中作△FGH，使其与△ABC关于线段DE对称．

【分析】（1）利用A点和C点的位置确定平移的方向与距离，然后画出B、C的对应点P、Q即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点M、N即可；
（3）利用网格特点，画出A、B、C关于直线DE的对称点F、G、H即可．
【解析】（1）如图，△CPQ为所作；
（2）如图，△MNC为所作；
（3）如图，△FGH为所作．

21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE是AC的垂直平分线．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）△BCD的周长是a，BC＝b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）．

【分析】（1）先由AB＝AC，∠A＝36°，可求∠B＝∠ACB=180°-∠A2=72°，然后由DE是AC的垂直平分线，可得AD＝DC，进而可得∠ACD＝∠A＝36°，然后根据外角的性质可求：∠CDB＝∠ACD+∠A＝72°，根据等角对等边可得：CD＝CB，进而可证△BCD是等腰三角形；
（2）由（1）知：AD＝CD＝CB＝b，由△BCD的周长是a，可得AB＝a﹣b，由AB＝AC，可得AC＝a﹣b，进而得到△ACD的周长＝AC+AD+CD＝a﹣b+b+b＝a+b．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB=180°-∠A2=72°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝DC，
∴∠ACD＝∠A＝36°，
∵∠CDB是△ADC的外角，
∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝72°，
∴∠B＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）解：∵AD＝CD＝CB＝b，△BCD的周长是a，
∴AB＝a﹣b，
∵AB＝AC，
∴AC＝a﹣b，
∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝a﹣b+b+b＝a+b．
22．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：a@b＝2a﹣b，例如：5@3＝10﹣3＝7，（﹣3）@5＝﹣6﹣5＝﹣11．
（1）若x@3＜5，求x的取值范围；
（2）已知关于x的方程2（2x﹣1）＝x+1的解满足x@a＜5，求a的取值范围．
【分析】（1）根据新定义列出关于x的不等式，解之可得；
（2）先解关于x的方程得出x＝1，再将x＝1代入x@a＜5列出关于a的不等式，解之可得．
【解析】（1）∵x@3＜5，
∴2x﹣3＜5，
解得：x＜4；

（2）解方程2（2x﹣1）＝x+1，得：x＝1，
∴x@a＝1@a＝2﹣a＜5，
解得：a＞﹣3．
23．为了提倡低碳经济，某公司为了更好得节约能源，决定购买节省能源的10台新机器．现有甲、乙两种型号的设备供选择，其中每台的价格、工作量如下表：

甲型
乙型
价格（万元/台）
12
10
产量（吨/月）
240
180
（1）经预算：该公司购买的节能设备的资金不超过110万元，请列式解答有几种购买方案可供选择；
（2）在（1）的条件下，若每月要求产量不低于2040吨，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案．
【分析】（1）设节省能源的新设备甲型设备x台，乙型设备（10﹣x）台，根据该公司购买节能设备的资金不超过110万元，列出不等式，求出x的值即可得出答案；
（2）根据甲型、乙型的产量和公司要求每月的产量不低于2040吨，列出不等式，求出x的值，确定出方案，然后进行比较即可．
【解析】（1）设购买节省能源的新设备甲型设备x台，乙型设备（10﹣x）台，根据题意得：
12x+10（10﹣x）≤110，
解得：x≤5，
∵x取非负整数，
∴x＝0，1，2，3，4，5，
∴有6种购买方案．

（2）由题意：240x+180（10﹣x）≥2040，
解得：x≥4，
则x为4或5．
当x＝4时，购买资金为：12×4+10×6＝108（万元），
当x＝5时，购买资金为：12×5+10×5＝110（万元），
则最省钱的购买方案为，应选购甲型设备4台，乙型设备6台．
24．如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．
（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．
（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？
（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

【分析】（1）由三角形ABC为等边三角形，根据等边三角形的三边相等得到AB＝BC＝9cm，由P的速度和时间t表示出P走过的路程CP的长，然后用边长BC减去CP即可表示出BP；由Q的速度及时间t，即可表示出Q走过的路程BQ；
（2）若△PBQ为等边三角形，根据等边三角形的边长相等则有PB＝BQ，由（1）表示出的代数式代入即可列出关于t的方程，求出方程的解即可得到满足题意的t的值；
（3）同时出发，要相遇其实是一个追及问题，由于Q的速度大于P的速度，即Q要追及上P，题意可知两点相距AB+AC即两个边长长，第一次相遇即为Q比P多走两个三角形边长，设出第一次相遇所需的时间，根据Q运动的路程﹣P运动的路程＝18列出关于t的方程，求出方程的解即可求出满足题意的t的值，然后由求出t的值计算出P运动的路程，确定出路程的范围，进而判断出P的位置即为第一次相遇的位置．
【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝9cm，
∵点P的速度为2cm/s，时间为ts，
∴CP＝2t，
则PB＝BC﹣CP＝（9﹣2t）cm；
∵点Q的速度为5cm/s，时间为ts，
∴BQ＝5t；

（2）若△PBQ为等边三角形，
则有BQ＝BP，即9﹣2t＝5t，
解得t=97，
所以当t=97s时，△PBQ为等边三角形；

（3）设ts时，Q与P第一次相遇，
根据题意得：5t﹣2t＝18，
解得t＝6，
则6s时，两点第一次相遇．
当t＝6s时，P走过得路程为2×6＝12cm，
而9＜12＜18，即此时P在AB边上，
则两点在AB上第一次相遇．
25．如图①，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系；（不用证明）
（2）如图②，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
（3）如图③，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；
②你能求出BD与AC所夹的锐角的度数吗？如果能，请直接写出这个锐角的度数；如果不能，请说明理由．

【分析】（1）可以证明△BDE≌△ACE推出BD＝AC，BD⊥AC．
（2）如图2中，不发生变化．只要证明△BED≌△AEC，推出BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，由∠DEC＝90°，推出∠ACE+∠EOC＝90°，因为∠EOC＝∠DOF，所以∠BDE+∠DOF＝90°，可得∠DFO＝180°﹣90°＝90°，即可证明．
（3）①如图3中，结论：BD＝AC，只要证明△BED≌△AEC即可．
②能；由△BED≌△AEC可知，∠BDE＝∠ACE，推出∠DFC＝180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（60°+60°）＝60°即可解决问题．
【解析】（1）结论：BD＝AC，BD⊥AC．
理由：延长BD交AC于F．

∵AE⊥CB
∴∠AEC＝∠BED＝90°．
在△AEC和△BED中，
AE=BE∠AEC=∠BEDEC=ED，
∴△AEC≌△BED，
∴AC＝BD，∠CAE＝∠EBD，
∵∠AEC＝90°，
∴∠C+∠CAE＝90°，
∴∠CBF+∠C＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴AC⊥BD．

（2）如图2中，不发生变化，设DE与AC交于点O，BD与AC交于点F．

理由是：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中，
BE=AE∠BED=∠AECDE=EC，
∴△BED≌△AEC，
∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，
∵∠DEC＝90°，
∴∠ACE+∠EOC＝90°，
∵∠EOC＝∠DOF，
∴∠BDE+∠DOF＝90°，
∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，
∴BD⊥AC；

（3）①如图3中，结论：BD＝AC，

理由是：∵△ABE和△DEC是等边三角形，
∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，
∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，
∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中，
BE=AE∠BED=∠AECDE=EC，
∴△BED≌△AEC，
∴BD＝AC．

②能；设BD与AC交于点F，由△BED≌△AEC可知，∠BDE＝∠ACE，
∴∠DFC＝180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（60°+60°）＝60°，
即BD与AC所成的锐角的度数为60°．