专题1.4 直角三角形（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

这是一份专题1.4 直角三角形（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题1.4 直角三角形（专项练习）
一、单选题
1．如图，于点，，，则的度数是（ ）

A．25° B．30° C．35° D．40°
2．中，，的对边分别是，，，下列说法错误的是（ ）
A．如果，则是直角三角形
B．如果，则是直角三角形，且
C．如果，则是直角三角形
D．如果，则是直角三角形
3．设三角形的三边长分别等于下列各组数，其中所对应的三角形是直角三角形的是（ ）
A．2，2，3 B．4，5，6 C．5，6，10 D．6，8，10
4．在如图的网格中，每个小正方形的边长为三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）

A． B．
C． D．点到直线的距离是
5．如图，在中，平分交的延长线于点，垂足为．则结论：①；②CF=CD；③；④；⑤．其中正确的结论个数是（ ）

A． B． C． D．
6．如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，则图中互余的角有( )

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
7．如图，中，，，点是 边上的任意一点，，，垂足分别为 、，那么 等于（ ）

A． B． C． D．
8．如图，是线段上的两点，．以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连结，则一定是（　　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
9．如图，在和中，，则下列说法不正确的是（ ）

A． B． C． D．
10．如图，在中，均为斜边中线，则以为边构成的三角形是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
二、填空题
11．如图，平面直角坐标系中的两个点，过C作轴于B，过B作交y轴于D，且，分别平分，，则的度数为______________________．

12．如图，为直角三角形，，于点，与相等的角是__________．

13．三角形的三边a，b，c满足(a－b)2＝c2－2ab，则这个三角形是______．
14．△ABC中，若AC2+AB2=BC2，则∠B+∠C=________.
15．如图所示，点A为小红家的位置，点B为小明家的位置，点C为学校的位置，三地之间的距离如图，已知学校在小明家的正西方向，则小红家在小明家的__________方向．

16．若一个三角形的三边长分别为5.12.13，则此三角形的最长边上的高为_____．
17．如图，在中，是边上的中线，，，，则_______．

18．把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，则等于___________度．

19．在中，，是边的中线，若，则的大小为______．
20．如图所示，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为______．

21．如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动_____秒时，与的边垂直．

22．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD到点E，使得DE=AD，连接．若AB=5，AC=3，AD=2，则△ABC的面积为_________．

23．如图，在和中，，，，其中点，，在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④正确的是_______．


三、解答题
24．如图，在中，平分．
（1）判断是什么三角形，并说明理由；
（2）若为中点，，求的度数．


25．如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC．
（1）求证：BD=EC．
（2）探究线段BD，DC，AD之间的数量关系并说明理由．
（3）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=8，CD=4，求AD的长．

26． 如图，在△ABC中，AB＝，AC＝，AD是中线，点E在AD的延长线上，且AD＝ED＝2．
（1）求证：△ACD≌△EBD；
（2）求证：AE⊥BE．


27．如图，△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC．
（1）若AD⊥BC于D，∠C＝35°，求∠DAE的大小；
（2）若EF⊥AE交AC于F，求证：∠C＝2∠FEC．


参考答案
1．B
【分析】
根据直角三角形两锐角互余求得，再结合平行线的性质求解即可．
【详解】
在中，，
，，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余及平行线的性质，熟练掌握基本结论且灵活运用是解题关键．
2．B
【分析】
直角三角形的判定方法有：①求得一个角为90°，②利用勾股定理的逆定理．
【详解】
A选项：根据三角形内角和定理，可求出为度，故A正确；
B选项：解得应为度，故B错误；
C选项：设三角分别为，，，根据三角形内角和定理可求得三外角分别为：
度，度，度，则是直角三角形，故C正确；
D选项：化简后有，根据勾股定理，则是直角三角形，故D正确；
故选B．
【点睛】考查了直角三角形的判定的知识，解题的关键是了解直角三角形的判定方法，难度不大．
3．D
【分析】
利用勾股定理的逆定理求解即可
【详解】
A．，不是直角三角形，故此选项错误；
B．，不是直角三角形，故此选项错误；
C．，不是直角三角形，故此选项错误；
D．，是直角三角形，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理并准确利用定理进行判断是解题关键．
4．C
【分析】根据勾股定理以及其逆定理和三角形的面积公式逐项分析即可得到问题答案．
解：AB===2，故选项A正确，不符合题意；
∵AC==，BC==5，
∴AB2+AC2=BC2=25，
∴△ACB是直角三角形，
∴∠CAB=90°，故选项B正确，不符合题意；
S△ABC=AC•AB=××2=5≠，故选项C错误，符合题意；
点A到直线BC的距离== =2，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．熟记勾股定理的内容是解题得关键．
5．D
【分析】根据题意易得，然后根据三角形全等的性质及线段的数量关系可进行排除选项．
解：，
，
平分,
，
在与中，

，


，
，故①正确．
②①中，
，故②正确．
③①中

，
在中，
，
，
，
，
即，故③正确．
④由③可知，，
易知，
若，则有，
则有，则可得为等边三角形，
这与①中的矛盾，故④错误．
⑤由③可知，，
，故⑤正确．
四项正确，
故选．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
6．C
【分析】直接利用直角三角形两锐角之和等于90°即可得到答案.
解：∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∠BAD+∠CAD=90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90°，
∠C+∠CAD=90°，
综上，共有4对互余的角.
故选C.
【点睛】本题主要考查余角，解此题的关键在于准确分析题图，切勿遗漏.
7．B
【分析】根据直角三角形的两锐角互余和平角的定义可求得∠EDF的度数．
解：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∠B=50°，∠C=60°，
∴∠EDB=90°-50°=40°，∠FDC=90°-60°=30°，
∴∠EDF=180°-40°-30°=110°．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．注意：垂直和直角总是联系在一起．
8．B
【分析】先根据题意确定AC、BC、AB的长，然后运用勾股定理逆定理判定即可．
解：由题意得：AC=AN=2AM=8,BC=MB=MN+NB=4+2=6,AB=AM+MN+NB=10
∴AC2=64, BC2=36, AB2=100,
∴AC2+BC2=AB2
∴一定是直角三角形．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，根据题意确定AC、BC、AB的长是解答本题的关键．
9．D
【分析】
根据HL定理分别证明Rt△ABC≌Rt△ADE和Rt△AEO≌Rt△ACO，根据全等三角形的性质可判断各选项．
解：解：∵，
∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL）
∴，∠BAC=∠DAE，
故A选项正确；
∴∠BAC-∠EAC=∠DAE-∠EAC，即，
故B选项正确；
连接AO，

∵AE=AC，AO=AO，
∴Rt△AEO≌Rt△ACO（HL），
∴，故C选项正确；
无法得出，故D选项错误；
故选：D．
【点睛】本题全等三角形的性质与判断．掌握证明直角三角形全等的HL定理是解题关键．
10．B
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线的性质可得，再根据勾股定理可得结论．
解：∵分别是斜边上的中线
∴
∵
∴
整理得，
∴以为边构成的三角形是直角三角形，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形的判定，熟练掌握相关定理是解答此题的关键．
11．45°
【分析】连接AD，根据角平分线的定义得到AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，得到∠EAO+∠EDO=45°，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】连接AD，如图所示：

∵BD∥AC，
∴∠BAC=∠ABD，
∵∠ABD+∠ODB=90°，
∴∠BAC+∠ODB=90°，
∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，
∴，
∴，
∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，即∠AED+∠EAO+∠OAD+∠EDO+∠ODA=180°，
∵∠OAD+∠ODA=90°，
∴∠AED+45°+90°=180°，
∴∠AED=45°．
故答案为：45°．
【点睛】本题考查平行线的性质，坐标与图形，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余等．熟练掌握相关定理，能得出角度之间的关系是解题关键．
12．∠B
【分析】
根据直角三角形的两个锐角互余及余角的性质可以得出答案．
解：∵为直角三角形，，
∴，
∵于点，
∴，
∴．
故答案为：∠B．
【点睛】
本题考查直角三角形的有关知识，熟练应用直角三角形两个锐角互余及余角性质是解题关键．
13．直角三角形．
【分析】首先对等式进行变形得到a2+b2=c2，然后依据勾股定理的逆定理进行判断即可．
解：∵（a-b）2=c2-2ab，
∴a2-2ab+b2=c2-2ab，
∴a2+b2=c2．
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
14．90
【分析】根据题意可知，三角形为直角三角形，根据等式可以判断∠A为90°，即可根据三角形的内角和定理计算得到∠B+∠C的度数.
解：∵AC2+AB2=BC2
∴∠A=90°
∴∠B+∠C=90°
故答案为：90
【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的逆定理，根据定理得出最长边所对的角为直角是解题的关键.
15．正北
【分析】
根据题中给出的三条边的关系，可知，也就是说这个三角形是直角三角形，而学校在小明家的正东方，所以小红家在小明家的正北方，据此解答即可.
解：因为，所以小明家、小红家、学校三点构成了一个直角三角形，而学校在小明家的正东方，则小红家在小明家的正北方向.
故答案为
小红家在小明家的正北方向.
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和方向问题，若三角形三条边的关系满足一条边的平方加上另一条边的平方等于第三条边的平方，据此可判定是直角三角形.
16．
【分析】首先根据三角形的三边长证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式计算出斜边上的高即可．
【详解】∵，
∴此三角形是直角三角形，
设最长边上的高为h，由三角形面积得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形的面积计算，关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
17．
【分析】延长到点，使，连接，证明，，再根据勾股定理的逆定理证得，即=90°，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】

延长到点，使，连接，
是边上的中线，
，
在和中，

，
，，
，，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的应用，做辅助线构造全等三角形及证得∠BAD=∠CED=90°是关键．
18．210
【分析】由题意得：∠1=∠D+∠DGA，∠2=∠F+∠FHB，然后由对顶角相等的性质得∠1=∠D+CGH，∠2=∠F+∠CHG，最后由直角三角形两锐角互余的性质可以算出∠1+∠2的值 ．
解：如图，给两三角板的两个交点标上G、H符号，


则∠1=∠D+∠DGA=∠D+CGH，∠2=∠F+∠FHB=∠F+∠CHG，
∴∠1+∠2=∠D+CGH+∠F+∠CHG
=∠D+∠F+（CGH+∠CHG）
=30°+90°+90°
=210°，
故答案为210 ．
【点睛】本题考查直角三角形的应用，灵活运用直角三角形两锐角互余、三角形的外角性质和对顶角相等的定理求解是解题关键．
19．40
【分析】
利用等腰三角形三线合一的性质结合直角三角形两锐角互余的性质即可求解．
【详解】∵，是边的中线，

∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90，
∵，
∴∠B=90-∠BAD=40，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记并灵活运用等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
20．45°
【分析】分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出∠ABC的度数．
【详解】如图，连接AC．

根据勾股定理可以得到：
AC=BC=，AB=，
∵，即，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．
21．或或．
【分析】设运动时间为然后分当、和三种情况运用勾股定理解答即可．
解：设运动时间为
则，
当时，如图1所示，
过点作于点

，

中有，
，

中，，
中，，
，
，
解得：；
当时，如图2所示，

由可知，
又
；
当时，如图3所示，

过点作于点
由知，
中有，
中有，
，
又


当点移动秒或秒或秒时，与边垂直．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本题的关键．
22．6
【分析】先利用SAS定理证明，于是得到，然后根据勾股定理逆定理证得△ABE为直角三角形，即可求解．
解：∵AD为BC边上的中线，AD=DE，∠ADC=∠BDE
∴
∴
∵AD=2，DE=AD
∴AE=2AD=4
∴
∴
∴
∴BE⊥AE
∴
∴
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，熟练进行逻辑推理是解题关键．
23．①②③
【分析】根据题意易证△ABD≌△ACE，根据三角形全等的性质及余角的性质、角的和差关系可进行判断，进而得出正确答案．
解：，∠DAC=∠DAC，
，
，，
△ABD≌△ACE，
BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，
，
∠ABC+∠ACB=90°，
∠DBC+∠DCB=90°，
BD⊥CE，
由题意可知不一定成立，
综上所述：①②③正确；
故答案为①②③．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键．
24．【分析】
（1）由角平分线定义及平行线性质可得∠DEB=∠DBE，所以△DBE是等腰三角形；
（2）由等腰三角形性质、角平分线定义及直角三角形性质可以得到解答．
解（1）△DBE是等腰三角形，理由如下：
∵BE平分 ∠ABC,
∴∠DBE=∠CBE，
∵DE//BC，
∴∠DEB=∠CBE，
∴∠DEB=∠DBE，
∴△DBE是等腰三角形；
（2）由（1）知，△DBE是等腰三角形，
∵F为 BE 中点，∴DF⊥BE，∴△DFE是直角三角形，
∵∠ABC=58°，∴∠DEB=∠EBC=，
∴∠EDF=90°-∠DEB=61°．
【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握等腰三角形性质、直角三角形性质、角平分线定义及平行线性质是解题关键．
25．【分析】
（1）由题意可以得到△BAD≌△CAE，所以由三角形全等的性质即可得到BD=EC；
（2）连结DE，由（1）可得△BAD≌△CAE，所以得到∠ACE＝∠B，∠DCE＝90°，最后结合勾股定理可以得到；
（3）作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，则同（1）可得△BAD≌△CAE，从而CE=8，又由已知可得∠EDC＝90°，所以结合CD可得DE的值，最后由△DAE是直角三角形可以得到AD的长度．
（1）证明：由题意得：∠BAC=∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
∴在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE，∴BD=EC．
（2），理由如下：
如图，连结DE，


由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，
∴∠DCE＝90°，
∴，
又在Rt△ADE中，，
∵AD＝AE，
∴；
（3）作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，


∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
∴在△BAD与△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE＝BD＝8，
∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，
∴∠EDC＝90°，
∴DE＝，
∵∠DAE＝90°，
∴AD＝AE＝．
【点睛】本题考查三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、直角三角形的判定和性质、勾股定理并综合运用是解题关键．
26．【分析】（1）根据SAS证明△ACD≌△EBD即可；
（2）由全等三角形的性质得出BE=AC=，利用勾股定理逆定理证得△ABE是直角三角形，即可得出AE⊥BE．
【详解】
（1）∵AD是中线，
∴BD=CD
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD△EBD（SAS）；
（2）∵△ACD△EBD，
∴BE=AC=，
∴，，，
∴，
∴△ABE是直角三角形，且，
∴AE⊥BE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理逆定理的运用，三角形的面积计算方法，掌握三角形全等的判定方法与勾股定理逆定理是解决问题的关键．
27．(1)17.5°；(2)证明过程见解析
【分析】
(1)首先计算出∠B，∠BAC的度数，根据AE是∠BAC的角平分线可得∠EAC=37.5°，再根据Rt△ADC中直角三角形两锐角互余可得∠DAC的度数，进而可得答案；
(2)过A作AD⊥BC于D，证明∠DAE=∠FEC，由三角形内角和定理得到∠EAC=90°-∠C，进而可得∠DAE=∠DAC-∠EAC，利用等量代换可得∠DAE=∠C即可求解．
解：(1) 解：∵∠C=35°，∠B=2∠C，∴∠B=70°，
∴在△ABC中，由内角和定理可知：∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-35°=75°，
∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=37.5°，
∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，两锐角互余，∴∠DAC=90°-35°=55°，
∴∠DAE=55°-37.5°=17.5°，
故答案为：17.5°；
(2)过A点作AD⊥BC于D点，如下图所示：

∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°，
∴∠AED+∠FEC=90°，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠FEC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=∠BAC=(180°-∠B-∠C)=(180°-3∠C)=90°-∠C，
∵∠DAE=∠DAC-∠EAC，
∴∠DAE=∠DAC-(90°-∠C)=(90°-∠C)-(90°-∠C)=∠C，
∴∠FEC=∠C，
∴∠C=2∠FEC．
【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形中两锐角互余等知识点，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键．