专题1.10 《三角形的证明》全章复习与巩固（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）学案

这是一份专题1.10 《三角形的证明》全章复习与巩固（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）学案，共12页。学案主要包含了复习目标，要点梳理，典型例题，思路点拨等内容，欢迎下载使用。
专题1.10 《三角形的证明》全章复习与巩固（知识讲解）【复习目标】 了解等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的概念；理解等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质和判定； 能用等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质和判定解一些决问题；3.会运用等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角的平分线的知识解决有关问题．【要点梳理】知识点一、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质：
　　(1)具有三角形的一切性质.
　　(2)两底角相等(等边对等角)
　　(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)
　　(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.
3.判定：
　　(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；
　　(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
　　(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
　要点诠释：
　　(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；
　　(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.
知识点二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.2性质：
　(1)直角三角形中两锐角互余.
　(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.
　(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.
　(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.
　(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3．判定：
　　(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.
　　(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.
　　(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.知识点三、垂直平分线线段垂直平分线定理：线段的垂直平分线的性质定理:线段的垂直平分线上的到这条线段两个端点的距离相等。 线段垂直平分线判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.知识点四、角的平分线角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等.角的平分线的判定定理：在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.【典型例题】类型一、等腰三角形1.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.  （1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；    （2）求证：FB＝FE.    【答案】 （1）解：∵AB＝AC，   ∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，∵BD＝CD，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°
（2）证明：∵BE平分∠ABC，   ∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE.【思路点拨】（1）根据等边对等角得出 ∠C＝∠ABC36°， 根据等腰三角形的三线合一得出 AD⊥BC， 故 ∠ADB＝90°， 从而根据直角三角形的两锐角互余算出∠BAD的度数；
举一反三： 【变式】如图，已知：在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D  ， BC＝CE ． （1）求证：AC＝CD；    （2）若AC＝AE  ， 求∠DEC的度数．    （1）解：证明：     在△ABC和△DEC中， ，  
（2）解：∵∠ACD＝90°，AC＝CD  ， ∴∠1＝∠D＝45°，∵AE＝AC  ， ∴∠3＝∠5＝67.5°，∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°【思路点拨】（1）根据同角的余角相等得出∠ 2 = ∠ 4 ，  r然后利用AAS判断出ABC≌△DEC，再根据全等三角形的对应边相等得出结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质知∠1＝∠D＝45°，又由知道顶角求等腰三角形底角的方法算出∠3＝∠5＝67.5°，利用邻补角的定义算出答案。 类型二、直角三角形2.如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后．点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．若∠1=60°，AE=1．（1）求∠2、∠3的度数；    （2）求长方形纸片ABCD的面积S．    （1）解：如图，∵AD∥BC，∴∠2=∠1=60°；又∵∠4=∠2=60°，∴∠3=180°﹣60°﹣60°=60°
（2）解：在直角△ABE中，由（1）知∠3=60°，∴∠5=90°﹣60°=30°；∴BE=2AE=2，∴AB= = ；∴AD=AE+DE=AE+BE=1+2=3，∴长方形纸片ABCD的面积S为：AB•AD= ×3=3 ．【思路点拨】（1）根据矩形的性质得出AD∥BC，由二直线平行内错角相等得出∠2=∠1=60°；根据折叠的性质∠4=∠2=60°，根据平角的定义得出∠3的度数；
（2）根据矩形的性质得出∠A=90°，根据三角形的内角和得出∠5=30°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出BE的长，根据勾股定理算出AB的长，由AD=AE+DE算出AD的长，根据矩形的面积计算方法即可算出答案。 【变式】 如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为(   )．　A.　　    　 B. 　    　　C.　　    　 D.5
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【答案】B.
解析：由折叠可知，AD=BD，DE⊥AB， ∴BE=AB
　　　 设BD为x，则CD=8-x
　　　 ∵∠C=90°，AC=4，BC=8，∴AC2+BC2=AB2
　　 　∴AB2=42+82=80，∴AB=，∴BE=
　　　在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2 ，∴42+(8-x)2=x2，解得x=5
　　　在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2，即()2+DE2=52，∴DE=， 故选B.类型三、线段垂直平分线3.如图，在△ABC中，∠C=90°，D为CB上一点，过点D作DE⊥AB于点E.  （1）若CD=DE，判断∠CAD与∠BAD的数量关系；    （2）若AE=EB，CB=10，AC=5,求△ACD的周长.    （1）解：∵DE⊥AB，  ∴∠AED=90°=∠C，在Rt△ACD和Rt△AED中，  ，∴Rt△ACD≌Rt△AED，（HL）∴∠CAD=∠BAD；
（2）解：∵AE=BE，DE⊥AB,  ∴DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴BC=BD+CD=AD+CD=10，∴△ACD的周长=AD+CD+AC=10+5=15.【思路点拨】（1）由题意用HL定理可证 Rt△ACD≌Rt△AED，由全等三角形的对应角相等可求解；
（2）根据线段的垂直平分线的判定“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可判断 DE垂直平分AB， 由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得AD=BD，然后根据线段的构成可求解.【变式】在 中， 的垂直平分线 交 于点 ， 的垂直平分线 交 于点 ， 与 相交于点 ， 的周长为6．  （1） 与 的数量关系为________．    （2）求 的长．    （3）分别连接 ， ， ，若 的周长为16，求 的长．    解：（1）
（2）因为 是 的垂直平分线， 是 的垂直平分线，   所以 ， ，因为 的周长为6，所以 ，所以
（3）因为 是 边的垂直平分线， 是 边的垂直平分线，   所以 ， ，因为 的周长为16，所以 ，所以 ，所以 ．【考点】线段垂直平分线的性质    【解析】【解答】（1）因为 的垂直平分线 交 BC 于点 D ， 所以 AD=BD ，故答案为： AD=BD【思路点拨】（1）根据垂直平分线的性质即可得；（2）先根据垂直平分线的性质可得 ， ，再根据三角形的周长公式、等量代换即可得；（3）先根据垂直平分线的性质可得 ， ，再根据三角形的周长公式可得 ，由此即可得出答案．类型四、角的平分线如图， 的角平分线 相交于点 ．  （1）若 ，则 ________ ；    （2）试探究 与 之间的数量关系并说明理由．    解：（1） 60∵∠ABC=50°，∠ACB=70°， ∴∠A=180°-50°-70°=60°．故答案为:60．（2）∠DPC=90°- ∠A ，   理由： 的平分线相交于点 ， ，  ，∴∠DPC=180°-（90°+ ∠A）=90°- ∠A．故答案为：90°- ∠A．【思路点拨】（1）直接利用三角形的内角和定理求解即可；（2）先根据角平分线的定义得到∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BPC=180°-∠1-∠2=180°- （∠ABC+∠ACB），加上∠ABC+∠ACB=180°-∠A，易得∠BPC=90°+ ∠A，再根据平角的定义解答即可．【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC  ， AD平分∠BAC  ， BF⊥AC于点F  ， 交AD于点E  ， 连接CE ．   （1）求证：BE＝CE；    （2）若AE＝2BD  ， 求∠BAC的度数．    【答案】 （1）证明：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，  ∴BD＝CD，AD⊥BC，∴BE＝CE
（2）解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，  ∴BD＝CD，∴BC＝2BD，又∵AE＝2BD，∴AE＝BC，∵BF⊥AC，AD⊥BC，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∠ACD+∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠DAC，在△AEF和△BCF中， ，∴△AEF≌△BCF（AAS），∴AF＝BF，又∵BF⊥AF，∴∠BAC＝45°．【思路点拨】（1）根据角平分线的性质以及等腰三角形三线合一定理，即可得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质结合余角的性质证明△AEF≌△BCF，根据全等三角形的性质计算得到答案即可。【变式】如图，点F是△ABC的边BC延长线上的一点，且AC=CF， 和 的平分线交于点P.  求证：（1）点P在 的平分线上；    （2）CP垂直平分AF.    （1）证明：如图，过P作PE⊥BD于E，PG⊥AC于G，PH⊥BC于H  ∵P在∠ABC的角平分线上∴PH=PE ∵P在∠ACF的角平分线上∴PG=PH∴PG=PE∴点P在 ∠DAC 的平分线上
（2）证明：∵P在∠ACF的角平分线上  ∴∠ACP=∠PCF∵AC=CF∴CP垂直平分AF.【思路点拨】（1）根据角平分线的性质和判定即可解题；（2）根据等腰三角形三线合一即可证明。