专题2.7 一元一次不等式与一次函数（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）学案

专题2.7  一元一次不等式与一次函数（知识讲解）

【学习目标】

1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．

2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．

【要点梳理】

 要点一、一次函数与一元一次不等式

　　由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.

     要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.

要点二、一元一次方程与一元一次不等式

我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.

要点三、如何确定两个不等式的大小关系

（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．

【典型例题】

类型一、一次函数与一元一次不等式 

1．如图，直线y=kx+b经过点A（5，0），（1，4）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）如图，若直线y=mx+n（m＞0）与直线AB相交于点B，请直接写出关于x的不等式mx+n＜4的解．

【答案】（1）；（2）＜1．

【分析】

(1)先设出直线AB的解析式，利用待定系数法求AB的解析式即可，

(2)利用函数的增减性和x=1时的函数图像上点的位置来求即可．

解：（1）∵直线y=kx+b经过点A（5，0）、B（1，4），

∴，

解方程组得，

∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；

（2）∵直线y=mx+n（m＞0）与直线AB相交于点B（1，4），

∴当x=1时，mx+n=4，

∵m＞0，

∴函数y=mx+n随x的增大而增大，

∴关于x的不等式mx+n＜4的解集是x＜1．

【思路点拨】本题考查一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数解析式的求法，以及一次函数与一元一次不等式的关系，会求函数值，会比较函数值的大小关系是解题关键．

举一反三：

 【变式1】如图，直线与直线交于点．

（1）求点的坐标；

（2）根据图象，写出当 时，的取值范围．

【答案】（1）； （2）

【分析】

（1）联立两函数即可求解；

（2）根据函数图象即可求解．

解：（1）由于两直线相交，联立方程得：

解得：

∴点的坐标为．

（2）由图象知，当，即在时上方时，．

∴当时，的取值范围是．

【点睛】此题主要考查一次函数与二元一次方程（组）一次函数的性质，解题的关键是熟知二元一次方程组的解法．

3．如图，直线yxb与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=x交于点E，点E的横坐标为3．

（1）求点A的坐标．

（2）在x轴上有一点P（m，0），过点P作x轴的垂线，与直线y=  - x + b 交于点C，与直线y=x交于点D．若CD≥5，求m的取值范围．

【答案】（1）A点坐标为（12，0）；（2）m的取值范围为：或.

【分析】

（1）先把E点的横坐标为3代入y=x中，求出E点坐标，再把E点坐标代入yxb中，求出解析式，即可求出A点坐标；

（2）分别表示出点C、D的坐标，用含有m的的代数式表示CD的长，根据CD≥5即可求出m的取值范围.

解：（1）把E点的横坐标为3代入y=x中，得y=3，

∴E点坐标为（3，3），

把E（3，3）代入yxb中，得，

解得：b=4，

∴直线解析式为：，

令y=0，则，

解得：，

则A点坐标为（12，0）；

（2）∵P（m，0），

∴C，，

∴，

∵CD≥5，

∴，

解得：或，

则m的取值范围为：或.

【总结升华】本题考查一次函数和不等式的应用，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数的解析式，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

举一反三：

【变式1】如图，直线：与直线：相交于点．

（1）求点的坐标；

（2）若，求的取值范围；

（3）点为轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别交和于点，，当时，求的值．

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【分析】

（1）把代入的解析式可求解；

（2）由（1）可先求解的解析式，然后根据图像可进行求解；

（3）把分别代入解析式可得点E、F的坐标，然后根据两点距离公式可分当时和当时，最后求解即可．

解：（1）把代入解析式得：

，

∴．

（2）把代入解析式得：

，

∴，

∴：，

当时，，

∴当时的取值范围为．

（3）把分别代入解析式得：

和，

∴点，

∴当时，

，

∴，

当时，

，

∴．

【点拨】本题主要考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．

【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=kx-1与直线l2：y=x+2交于点A(m，1)．

（1）求m的值和直线l1的表达式；

（2）设直线l1、 l2分别与y轴交于点B、C，求ABC的面积；

（3）结合图象，直接写出不等式0<kx-1< x+2的解集．

【答案】（1）m=-2，y=-x-1；（2）3；（3）-2＜x＜-1

【分析】

（1）先把A（m，1）代入y=x+2中求出m，从而得到A（-2，1），然后把A点坐标代入y=kx-1中求出k得到直线l1的表达式；
（2）先利用两函数解析式确定C（0，2），B（0，-1），然后根据三角形面积公式计算；
（3）先确定直线y=-x-1与x轴的交点坐标为（-1，0），然后结合函数图象，写出在x轴上，且直线l1在直线l2上方所对应的自变量的范围．

解：（1）把A（m，1）代入y=x+2得m+2=1，解得m=-2，
∴A（-2，1），
把A（-2，1）代入y=kx-1得-2k-1=1，解得k=-1，
∴直线l1的表达式为y=-x-1；
（2）当x=0时，y=x+2=2，则C（0，2）；
当x=0时，y=-x-1=-1，则B（0，-1），
∴△ABC的面积=×（2+1）×2=3；
（3）当y=0时，-x-1=0，解得x=-1，
∴直线y=-x-1与x轴的交点坐标为（-1，0），
当-2＜x＜-1时，0＜kx-1＜x+2，
即不等式0＜kx-1＜x+2的解集为-2＜x＜-1．

【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：通过两个一次函数图象的位置关系去比较两函数值的大小．也考查了待定系数法求一次函数解析式．

类型二、用一次函数的性质解决不等式的实际问题

某工厂生产A、B、C三种产品，这三种产品的生产数量均为x件．它们的单件成本和固定成本如表：

（注：总成本＝单件成本×生产数量+固定成本）

（1）若产品A的总成本为yA，则yA关于x的函数表达式为　   　．

（2）当x＝1000时，产品A、B的总成本相同．

①求a；

②当x≤2000时，产品C的总成本最低，求b的取值范围．

【答案】（1）y＝0.1x+1100；（2）①400，②0＜b≤0.55

【分析】

（1）根据“总成本＝单件成本×生产数量+固定成本”即可得出产品A的总成本为yA，则yA关于x的函数表达式；

（2）①根据题意列方程解答即可；

②取x＝2000时，即可得出b的取值范围．

【详解】

（1）根据题意得：y＝0.1x+1100；

故答案为：y＝0.1x+1100．

（2）①由题意得0.8×1000+a＝0.1×1000+1100，

解得a＝400；

②当x＝2000时，yC≤yA且yC≤yB，

即2000b+200≤2000×0.8+400；2000b+200≤2000×0.1+1100，

解得：0＜b≤0.55．

【点拨】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．

8．去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．

（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？

（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；

（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？

【答案】（1）饮用水和蔬菜分别为200件和120件

（2）设计方案分别为：

①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆； ③甲车4辆，乙车4辆

（3）运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元

 解：（1）关系式为：饮用水件数+蔬菜件数=320；

（2）关系式为：40×甲货车辆数+20×乙货车辆数≥200；10×甲货车辆数+20×乙货车辆数≥120；

（3）分别计算出相应方案，比较即可．

试题解析：（1）设饮用水有x件，则蔬菜有（x﹣80）件．

x+（x﹣80）=320，

解这个方程，得x=200．

∴x﹣80=120．

答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件；

（2）设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车（8﹣m）辆．得：

，

解这个不等式组，得2≤m≤4．

∵m为正整数，

∴m=2或3或4，安排甲、乙两种货车时有3种方案．

设计方案分别为：

①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆；

（3）3种方案的运费分别为：

①2×400+6×360=2960（元）；

②3×400+5×360=3000（元）；

③4×400+4×360=3040（元）；

∴方案①运费最少，最少运费是2960元．

答：运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元．

考点：1.一元一次不等式组的应用；2.二元一次方程组的应用．