专题3.3 图形的旋转（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）学案

专题3.3  图形的旋转（知识讲解）

一、【知识回顾】角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角，所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。

二、【学习目标】

1、掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中
　 心连线所成的角彼此相等的性质；

2、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案设计.

【要点梳理】

要点一、旋转的概念

把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.

要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.

要点二、旋转的性质

(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；　　

(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　

　(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).

要点诠释：1、图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转；

2、只要旋转就产生等腰三角形，而且所有等腰三角形都相似；

3、旋转不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置，旋转前后两个图形全等。

要点三、旋转的作图

在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．

要点诠释：　

作图的步骤：

(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；

(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
　　(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
　　(4)连接所得到的各对应点.

【典型例题】

类型一、旋转的概念

1、如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．

(1)指出它的旋转中心；

(2)说出它的旋转方向和旋转角是多少度；

(3)分别写出点A，B，C的对应点．

【答案】(1)A;(2) 旋转方向为逆时针方向，旋转角是45度；(3) A，E，F.

【解析】(1)因为△ABC经过旋转后到达△AEF的位置,则A点的对应点为A,于是可判断旋转中心为点A; (2)根据旋转的性质求解; (3)根据旋转的性质求解.

解：（1）它的旋转中心为点A；

（2）它的旋转方向为逆时针方向，旋转角是45度；

（3）点A，B，C的对应点分别为点A，E，F.

举一反三

【变式】如图，是等边的边上一点．将旋转到的位置

（1）旋转中心是________点；

（2）旋转了________度；

（3）若是的中点，那么经过上述旋转变换后，点转到了什么位置？

【答案】（1）；（2）（3）若是的中点，以点为旋转中心，逆时针旋转后，点转到了的中点位置上．

【分析】根据等边三角形的性质得CA=CB,∠ACB=60,由于△ACE旋转到△BCF的位置,则可得到旋转中心为C点;旋转角度为∠ACB,利用AC与BC是对应边,若D是AC的中点,以C点为旋转中心,逆时针旋转60后,点D转到了CB的中点位置上.

解：解:(1)△ABC为等边三角形,CA=CB,

而△ACE旋转到△BCF的位置,

即CA旋转到CB,CE旋转到CF,

旋转中心为C点;

(2) △ABC为等边三角形,

∠ACB=60,

CA旋转到CB,

旋转角度为∠ACB,即旋转了60;

 (3)若D是AC的中点,以C点为旋转中心,逆时针旋转60后,点D转到了CB的中点位置上.

【点拨】本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了等边三角形的性质.

类型二、旋转的性质

2．如图，中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．

（1）求证：EF =BC；

（2）若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度数

【答案】（1）见解析；（2）78°

【分析】

（1）由旋转的性质可得，利用证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出；

（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，那么．由，得出，再根据三角形外角的性质即可求出．

 （1）证明：，

．

将线段绕点旋转到的位置，

．

在与中，

，

，

；

（2）解：，，

，

．

，

，

．

【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明是解题的关键．

举一反三

【变式】如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD＝97°．

（1）求∠ADC的大小；

（2）若∠BDC＝7°，BD＝2，CD＝4，求AD的长．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）由旋转的性质可得，再根据全等三角形的性质、等式的性质、等边三角形的性质可得，由对顶角相等可得，再根据三角形的内角和定理可得，从而可得；

（2）连接，结合（1）的结论根据等边三角形的性质、全等三角形的性质、角的和差等可求得，再利用勾股定理可求得，从而可得．

解：（1）∵将绕点按顺时针方向旋转得到

∴

∴，

∴，即

∵是等边三角形

∴

∵

∴

∴．

（2）连接，如图：

∵由（1）可知，

∴是等边三角形

∴，

∵将绕点按顺时针方向旋转得到

∴

∴

∵，，

∴

∴

∴．

【点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等，灵活运用相关定理、添加辅助线是解题的关键．

类型三、旋转的作图

3．在如图网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．

（1）试在图中作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；

（2）若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并直接写出A、C两点的坐标；

（3）根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并直接写出点A2、B2、C2的坐标．

【答案】（1）见解析；

（2）（0，1），（﹣3，1）；

（3）（0，﹣1），（3，﹣5），（3，﹣1）．

【分析】

（1）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点B1、C1即可；

（2）利用B点坐标画出直角坐标系，然后写出A、C的坐标；

（3）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．

解：（1）如图，△AB1C1为所作；

（2）如图，A点坐标为（0，1），C点的坐标为（﹣3，1）；

（3）如图，△A2B2C2为所作，点A2、B2、C2的坐标烦恼为（0，﹣1），（3，﹣5），（3，﹣1）．

【点拨】本题考查的是平面直角坐标系，需要熟练掌握旋转的性质以及平面直角坐标系中点的特征.

举一反三

【变式】如图，已知和点请画出绕点顺时针旋转后得到的

【答案】详见解析.

【分析】根据题意画出图象即可.

【详解】

如图所示: 即为所求三角形.

【点拨】本题考查作图-旋转,关键在于掌握作图技巧.