专题5.4 分式的基本性质（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题5.4   分式的基本性质（专项练习）

 一、单选题

1．（2021·河南商丘市·八年级期末）下列各分式中，是最简分式的是（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·山东滨州市·八年级期末）关于分式，下列说法正确的是（   ）

A．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值也扩大2倍

B．分子、分母的中m扩大2倍，n不变，分式的值扩大2倍

C．分子、分母的中n扩大2倍，m不变，分式的值不变

D．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变

3．（2021·山东潍坊市·八年级期末）下列说法正确的是（  ）

A．分式的值为零，则的值为

B．根据分式的基本性质，可以变形为

C．分式中的都扩大倍，分式的值不变

D．分式是最简分式

4．（2021·山东济宁市·八年级期末）如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（  ）

A．扩大倍 B．扩大倍 C．缩小倍 D．不变

5．（2021·重庆北碚区·七年级期末）将的分母化为整数，得（　　　）

A． B．

C． D．

6．（2021·河南三门峡市·八年级期末）下列运算中，错误的是（    ）

A． B．

C． D．

7．（2021·湖南益阳市·八年级期末）若，则下列分式化简正确的是(      )

A． B． C． D．

8．（2021·北京西城区·八年级期末）化简分式的结果是（    ）

A． B． C． D．

9．（2020·微山县鲁桥镇第一中学八年级月考）下列各式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

10．（2021·上海宝山区·七年级期末）下列分式中，最简分式是（    ）

A． B． C． D．

11．（2020·中江县凯江中学校八年级月考）若分式中x、y的值都变为原来的3倍，则此分式的值（    ）

A．不变 B．是原来的3倍

C．是原来的 D．是原来的

12．（2021·北京朝阳区·八年级期末），，都有意义，下列等式①；②；③；④中一定不成立的是（　　）

A．②④ B．①④ C．①②③④ D．②

二、填空题

13．（2001·浙江省杭州第十中学七年级期末）如果，那么=______．

14．（2020·湖南张家界市·八年级期中）已知，则=___________．

15．（2020·宁波市惠贞书院八年级期末）已知，则________．

16．（2020·北京市昌平区第二中学八年级月考）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项系数都化成整数：=______．

17．（2020·寿光市实验中学八年级期中）小丽在化简分式时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的代数式应该是_____．

18．（2020·全国七年级专题练习）不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，则= ___________．

19．（2020·全国八年级课时练习）不改变分式的值，把的分子与分母中各项系数都化为整数为_______．

20．（2020·四川省巴中中学八年级期中）分式，,的最简公分母是_____．

21．（2020·扬州市江都区国际学校八年级期中）若，则____．

22．（2019·长春吉大附中力旺实验中学八年级月考）①约分：＝_____；

②与的最简公分母是_____；

③分式通分和约分的依据是_____．

三、解答题

23．（2021·全国八年级）我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：=

=1+．

（1）请写出分式的基本性质　　　　；

（2）下列分式中，属于真分式的是　　　　；

A．　　　　B．　　　　C．﹣　　　　D．

（3）将假分式，化成整式和真分式的形式．

24．（2020·浙江湖州市·九年级月考）小明解答“先化简，再求值：，其中”的过程如下：

解：

            ①  

                               ②

                                  ③

当时，原式

                                ④

                                   ⑤

请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．

25．（2018·河南驻马店市·八年级单元测试）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如＝1+．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：像……这样的分式是假分式；像，……这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：

（1）分式是　   　分式（填“真”或“假”）；

（2）将分式 化成整式与真分式的和的形式；

（3）如果分式的值为整数，求x的整数值．

参考答案

1．A

【分析】

根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外没有其它的公因式，叫最简分式）逐个判断即可．

【详解】

解：A. 是最简分式，符合题意；   

B. ，故此选项不符合题意；   

C. ，故此选项不符合题意；   

D. ，故此选项不符合题意；

故选：A

【点拨】

本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．

2．D

【分析】

根据分式的基本性质即可求出答案．

【详解】

解：A、，故分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变，故该说法不符合题意；

B、，故分子、分母的中m扩大2倍，n不变，分式的值没有扩大2倍，故该说法不符合题意；

C、，故分子、分母的中n扩大2倍，m不变，分式的值发生变化，故该说法不符合题意；

D、，故分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变，此说法正确，符合题意；

故选：D．

【点拨】

本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．

3．D

【分析】

直接利用分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义分别分析得出答案．

【详解】

A、分式的值为零，则x的值为−2，故此选项错误；

B、根据分式的基本性质，等式=（x≠0），故此选项错误；

C、分式中的x，y都扩大3倍，分式的值扩大为3倍，故此选项错误；

D、分式是最简分式，正确；

故选：D．

【点拨】

此题主要考查了分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义，正确掌握相关定义和性质是解题关键．

4．D

【分析】

分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．

【详解】

解：分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，

得，

可见新分式与原分式相等．
故选：D．

【点拨】

解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．

5．D

【分析】

根据分式的基本性质求解．　　

【详解】

解：将的分母化为整数，可得．

故选：D．

【点拨】

本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键．

6．A

【分析】

根据分式的性质分别判断即可；

【详解】

没有说明c不为零，故错误；

，故正确；

，故正确；

，故正确；

故答案选A．

【点拨】

本题主要考查分式的基本性质，准确分析判断是解题的关键．

7．D

【分析】

根据分式的基本性质逐项判断即可得．

【详解】

A、分式是最简分式，不能化简，错误；

B、分式是最简分式，不能化简，错误；

C、分式是最简分式，不能化简，错误；

D、分式，即将分子分母同时乘以3即可，选项化简正确；

故选：D．

【点拨】

本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．

8．B

【分析】

先把分子因式分解，再约分即可．

【详解】

解：．

故选：B．

【点拨】

本题考查了分式的约分，解题关键是先把分子因式分解，再和分母约分．

9．B

【分析】

根据分式的性质可直接进行排除选项．

【详解】

A、，故错误；

B、，故正确；

C、，故错误；

D、，故错误；

故选B．

【点拨】

本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．

10．D

【分析】

根据最简分式的定义：在化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式，逐一判断即可．

【详解】

解：A．中，分子和分母有公因数5，不是最简分式，故本选项不符合题意；

B．中，分子和分母有公因式，不是最简分式，故本选项不符合题意；

C．中，分子和分母有公因数式，不是最简分式，故本选项不符合题意；

D．中，分子和分母没有公因式，是最简分式，故本选项符合题意．

故选D．

【点拨】

此题考查的是最简分式的判断，掌握最简分式的定义是解题关键．

11．A

【分析】

把x、y的值都变为原来的3倍后代入求解即可．

【详解】

∵分式中的 x、y 的值都变为原来的 3 倍，

∴ ，

∴此分式的值不变．

故选：A．

【点拨】

本题主要考查分式的基本性质，解题的关键是把x、y的值都变为原来的3倍后代入．

12．D

【分析】

根据题意，判断出，，，根据分式的性质逐个判断即可．

【详解】

解：∵ ，，都有意义，

∴ ，，，

①，仅需，即时成立；

②，不成立；

③，（右侧分子分母同时除以2），因此成立；

④，即，当时成立；

故仅有②一定不成立，

故选D

【点拨】

本题综合考查了分式的基本性质，解题关键是根据题意得出、和的范围．

13．

【分析】

先给的分子分母同除，然后再代入计算即可．

【详解】

解：给的分子分母同除，得=．

故答案为．

【点拨】

本题考查了代数式求值，掌握整体思想是解答本题的关键．

14．

【分析】

先根据已知等式可得，再根据分式的基本性质即可得．

【详解】

由得：，

则，

，

，

，

，

故答案为：．

【点拨】

本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．

15．

【分析】

由分式的基本性质进行化简，即可得到答案．

【详解】

解：由，得．

故答案为：．

【点拨】

本题考查了分式的性质，解题的关键是掌握分式的性质进行解题．

16．

【分析】

根据分式的基本性质本分子分母都乘以10即可．

【详解】

解：原式．

故答案为：．

【点拨】

本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不为0的数，分式的值不变．

17．x2﹣2x+1．

【分析】

利用分式的基本性质，将等号右边分子、分母同时乘以(x－1)，再与左边比照即可得到结果．

【详解】

解：∵，

∴*部分为：(x－1)2＝x2－2x+1．

故答案为：x2－2x+1．

【点拨】

本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．

18．

【分析】

不改变分式的值就是依据分式的基本性质进行变化，分子分母上同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．

【详解】

分式的分子分母同时乘以6，得

，

故答案为：．

【点拨】

本题考查分式的基本性质的应用，解题思路：作出分子、分母中各项系数的分母的最小公倍数，利用分式的基本性质，分式的分子、分母同乘以最小公倍数，再利用分式的符号变化法则，改变分式及分式分子的符号，结果不变．应注意：(1)分子和分母是否进行了同样的乘除；(2)所同乘以(或同除以)的数(或整式)是否确保不为0；(3)变换前后分式的值是否发生了变化，只有值不变的才可能正确．

19．．

【分析】

根据分式的基本性质进行计算即可；

【详解】

．

故答案为：．

【点拨】

本题主要考查了分式的基本性质，准确计算是解题的关键．

20．

【分析】

根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母，即可得出答案．

【详解】

解：∵三个分式的分母分别是：4a，3ab，

∴，,的最简公分母是．

故答案为：．

【点拨】

此题考查了最简公分母的应用，关键是把各个分式中分母因式分解，确定最简公分母的方法一定要掌握．

21．

【分析】

根据题意把已知两式平方后展开求出的值，把代数式化成含有上式的形式进行代入计算即可求出答案.

【详解】

解：平方后得：，

所以.

故答案为：.

【点拨】

本题考查代数式求值，熟练掌握完全平方公式以及分式的基本性质是解题的关键.

22．    y（a﹣x）    分式的基本性质   

【分析】

①先将分子、分母因式分解，再约分即可得；

②最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的乘积，据此求解可得；

③根据分式的基本性质求解可得．

【详解】

①＝＝，

故答案为：．

②与的最简公分母是y（a﹣x），

故答案为：y（a﹣x）；

③分式通分和约分的依据是分式的基本性质，

故答案为：分式的基本性质．

【点拨】

本题主要考查最简公分母，解题的关键是掌握最简公分母的确定方法和分式的约分步骤及分式的基本性质．

23．（1）分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变；（2）C；（3）=m﹣1+

【分析】

（1）根据分式的基本性质回答即可；

（2）根据分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式进行判断即可；

（3）先把转化为得到，其中前面一个分式约分后化为整式，后面一个是真分式．

【详解】

（1）分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变．

（2）根据题意得：选项C的分子次数是0，分母次数是1，分子的次数小于分母的次数是真分式．而其他选项是分子的次数均不小于分母的次数的分式，故ABD选项是假分式，

故选：C．

（3）∵=m﹣1+，

∴故答案为：m﹣1+．

【点拨】

本题考察了分式的基本性质以及未知数的次数问题，解答本题的关键是熟悉掌握未知数次数的判断以及分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变．

24．第①步，正确步骤见解析．

【分析】

根据分式的基本性质即可发现①错误．

【详解】

解：第①步

原式

当时，原式．

【点拨】

本题考查了分式的化简与分式的基本性质，掌握分式的基本性质和等式的基本性质的区别是解答本题的关键．

25．（1）是；（2）；（3）x＝0或x＝2

【解析】

【分析】

（1）根据定义即可求出答案；

（2）根据题意给出的变形方法即可求出答案；

（3）先将分式化为真分式与整式的和，然后根据题意即可求出x的值．

【详解】

解：（1）分子的次数小于分母的次数，所以是真分式；

（2）原式＝；

（3）原式＝.

由于该分式是整数，x是整数，

所以x﹣1＝±1

∴x＝0或x＝2

【点拨】本题考查了真假分式的定义，熟练掌握是解题的关键.