专题5.5 分式的乘除法（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）学案

专题5.5  分式的乘除法（知识讲解）

 【学习目标】

1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则.

2.会分式的乘法、除法运算.

3.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算.

【要点梳理】

 要点一、分式的乘除法

    1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：，其中是整式，.

2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：，其中是整式，.

特别说明：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.

（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.

（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.

（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.

要点二、分式的乘方

分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：

（为正整数）.

特别说明：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成

        （2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.

（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.

（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如.

【典型例题】

类型一、分式的乘法 

1、（2020·朝阳区·北京工业大学附属中学八年级月考）计算．

【答案】

【分析】

根据分式的运算法则即可求解．

解：

=

=．

【点拨】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．

举一反三：

【变式】 （2020·宁波市惠贞书院七年级期中）计算．

（1）．                 （2）．

【答案】（1），（2）．

【分析】

（1）直接运用分式乘法运算法则计算即可；

（2）先对能够因式分解的部分因式分解，然后再运用分式乘法运算法则计算即可．

解：（1）；

（2）

．

【点拨】本题主要考查了分式乘法，掌握分式乘法运算法则以及因式分解是解答本题的关键．

类型二、分式的除法

 2、（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）

【答案】

【分析】先将除法转化为乘法，然后利用分式乘法法则进行计算即可．

解：原式=

=

=

=．

【点拨】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式除法的运算法则是解题的关键．

举一反三：

【变式】（2020·山东济南市·济南十四中八年级期中）化简：

（1）                 （2）．

【答案】（1）a；（2）.

【分析】

（1）将括号内的部分和分子进行因式分解，然后将除法变成乘法进行计算；

（2）先对分子进行因式分解，然后将除法变成乘法进行计算．

  解：（1）原式；

（2）原式．

【点拨】本题考查了分式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．

类型三、分式的乘除混合运算

3．（2020·全国）计算：．

佳佳的计算过程如下：

解：

=

．

请问佳佳的计算结果对吗？如果不对，请改正．

【答案】佳佳的计算结果不对，改正如下：原式．

【分析】

按照先算除法再算乘法的顺序计算即可；

【详解】

佳佳的计算结果不对，改正如下：

原式．

【点拨】本题主要考查了分式的化简，准确计算是解题的关键．

举一反三：

【变式】 （2019·上海市延安初级中学七年级期末）

【答案】

【分析】根据除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，可把除法转化成乘法，根据分式乘法法则，可得答案．

解：原式

．

【点拨】本题考查了分式的乘除法，先把除法转化成乘法，对分子分母分解因式，约掉公因式．

类型四、分式的乘方

4、（2018·全国八年级课时练习）

计算：  （1）                 （2）

（3）      （4）

【答案】(1) ；(2) ；(3)-2；(4) -

【解析】

（1）原式各项通分并利用同分母分式的加减法则计算即可；

（2）先根据负整数指数幂进行化简，再进行约分即可；

（3）先把除法转化为乘法，再进行约分即可.

（4）先算乘方，再算乘除即可.

试题解析：（1）

=

=

=；

（2）

=

=

=；

（3）

=

= -2；

（4）

=

= -.

举一反三：

【变式】 （2021·全国八年级）计算：

（1）；          （2）；

（3）•÷；   （4）．

【答案】（1）；（2）1；（3）；（4）

【分析】

（1）先计算乘方，同时将除法化为乘法，再计算乘法；

（2）先计算乘方，将除法化为乘法，再计算乘法；

（3）先将除法化为乘法，将分子与分母分解因式，再计算乘法；

（4）将分子与分母分解因式，除法化为乘法，计算乘法即可．

 解：（1）原式=）=；

（2）原式==1；

（3）原式==；

（4）原式==．

【点拨】此题考查分式的计算，掌握分式的乘方计算法则，乘除法计算法则，因式分解的方法是解题的关键．

类型五、分式的乘除法、乘方的混合运算

5、（2019·全国七年级课时练习）

【答案】

【分析】

先计算乘方，再把除法转化成乘法，再把分子、分母分解因式，然后约分得结果．

解：，

=，

=.

【点拨】本题考查了分式的乘除法，把分子分母因式分解是解决本题的关键．

举一反三：

【变式】 （2018·全国八年级专题练习）

计算：    （1）             （2）

（3）          （4）

（5）         （6）

（7）    （8）

【答案】（1）（2）（3）（4）（5）

（6）（7）（8）

【解析】【分析】根据分式混合运算的法则进行运算即可.

解：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

【点拨】考查分式的混合运算，注意先算乘方，后算乘除，最后算加减.