第十二讲 导数的概念及运算-2022年新高二年级数学暑假精品课程（人教A版2019）练习题

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第十二讲 导数的概念及运算【基础知识】1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率__＝l，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作f′(x0)，即 ＝f′(x0).(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于f′(x0).2.函数y＝f(x)的导函数如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导.这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x).于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)(或yx′、y′).3.导数公式表基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin xf′(x)＝cos xf(x)＝cos xf′(x)＝－sin xf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a＞0)f′(x)＝axln af(x)＝ln xf′(x)＝f(x)＝logax (a＞0，a≠1)f′(x)＝4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0).5.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.【考点剖析】考点一　导数的运算【例1－1】 分别求下列函数的导数：(1)y＝exln x；(2)y＝x；(3)f(x)＝ln .【解析】(1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋＝ex.(2)因为y＝x3＋1＋，所以y′＝3x2－.(3)因为y＝ln ＝ln，所以y′＝··(1＋2x)′＝.【例1－2】 (2019·天津河西区调研)已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln ，则f(1)＝(　　)A.－e   B.2   C.－2   D.e【解析】由已知得f′(x)＝2f′(1)－，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，则f(1)＝2f′(1)＝2.答案　B规律方法　1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.考点二　导数的几何意义　【例2－1】（2021·广西壮族自治区钦州一中高三月考（理））已知曲线在点处的切线方程为，则（  ）A． B． C． D．【解析】，将代入得，故选D．【例2－2】 （2021·梁河县第一中学高三期中（文））函数的图象存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是(　　)A． B．C． D．【答案】B【解析】函数的图象存在与直线平行的切线，即在上有解.在上有解，则.因为，所以，所以的取值范围是.【例2－3】（2021·江西省新余一中高三月考（文））设曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·x3·x4·…·x2 017＝A． B． C． D．【答案】D【解析】由f(x)＝xn＋1得f′(x)＝(n＋1)xn，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得xn＝，故x1·x2·x3·x4·…·x2 017＝.选D.规律方法　1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.【真题演练】1．（2021·全国高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知. 故选：D.2．（2021·全国高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．【答案】【详解】由题意，，则，所以点和点，,所以，所以，所以，同理,所以.3．（2021·全国高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．①；②当时，；③是奇函数．【答案】（答案不唯一，均满足）【详解】取，则，满足①，，时有，满足②，的定义域为，又，故是奇函数，满足③.故答案为：（答案不唯一，均满足）4．（2020·全国高考真题（文））设函数．若，则a=_________．【答案】1【详解】由函数的解析式可得：，则：，据此可得：，整理可得：，解得：.5．（2021·全国高考真题（理））曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【详解】由题，当时，，故点在曲线上．求导得：，所以．故切线方程为．   【过关检测】1．若过函数图象上一点的切线与直线平行，则该切线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：由题意，求导函数可得，∵切线与直线平行，∴，∴，∴切点P坐标为，∴过点P且与直线平行的切线方程为，即．故选：C．2．函数在处的切线斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，，积切线斜率为0.故选：C.3．已知函数的图象在点处的切线方程是，那么（     ）A．2 B．1 C． D．【答案】D【详解】因为，所以，因此切线方程的斜率，所以有，得，又切点在切线上，可得切点坐标为，将切点代入中，有，得，所以.故选：D.4．已知，设函数的图象在点处的切线为l，则l过定点（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，，，故过处的切线方程为：，故l过定点5．过引抛物线的切线，切点分别为A，.若的斜率等于2，则（    ）A． B． C．1 D．2【答案】C【详解】抛物线，即，则由切线斜率，设切点，则，又，所以切线方程为，即 ，同理切线方程为，两切线均过点，故，即，所以点均满足方程，即均在直线上，即直线的方程为，所以斜率为，故.故选：C.6．设曲线在点处的切线与直线平行，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】对函数求导得，由已知条件可得，所以，.故选：B.7．关于函数，下列判断错误的是（    ）A．函数的图象在处的切线方程为B．是函数的一个极值点C．当时，D．当时，不等式的解集为【答案】B【详解】对于A选项，，则，所以，，，所以，函数的图象在处的切线方程为，即，A选项正确；对于B选项，当时，对任意的，，此时函数在上单调递增，无极值，B选项错误；对于C选项，当时，，该函数的定义域为，.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增.所以，，C选项正确；对于D选项，当时，，则对任意的恒成立，所以，函数为上的增函数，由可得，所以，，解得，D选项正确.8．函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的取值范围为（    ）(为自然对数的底)A． B． C． D．【答案】C【详解】因为关于轴对称的函数为，又函数与的图象上存在关于轴的对称点，所以与的图象有交点，即方程有解，时符合题意；时转化为有解，即与的图象有交点，是过定点的直线，其斜率为，若，则函数与的图象必有交点，满足题意；若，设，相切时，切点的坐标为，则，解得，切线斜率为，由图可知，当，即时，与的图象有交点，此时，与的图象有交点，函数与的图象上存在关于轴的对称点，综上可得，实数的取值范围为.9．已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】，，设斜率为的切线在，上的切点横坐标分别为，，由题知，∴，，两点处的切线方程分别为和，故，即.故选：D.10．若定义在上的函数满足，其导函数满足，则与大小关系一定是（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】∵且，∴，即.令，得：，∴，所以.故选：C