第十八讲 空间向量基本定理-2022年新高二年级数学暑假精品课程（人教A版2019）练习题

第十八讲 空间向量基本定理

【知识梳理】

1、共线向量定理：两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝xb.

2、共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb.

3、空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc.

【考点剖析】

考点一  共线定理、共面定理

【例1-1】已知＝(1，－2，1)，＝(－1，2，－1)，则＝（    ）

A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)

C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)

【答案】A

【详解】

解析：．

故选：A

【例1-2】如图在平行六面体中，与的交点记为．设，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

．

故选：B.

【跟踪训练1】已知三棱锥中，点为棱的中点，点为的重心，设，，，则向量（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

连接并延长交于点，连接，则为的中点，且，

，

，

为的中点，.

故选：A.

【跟踪训练2】如图所示，在正方体中，点是侧面的中心，若，求（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】C

【详解】

，

故，，，则．

故选：C.

【跟踪训练3】在空间四边形中，，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

.

故选：C.

考点二　共线定理、共面定理的应用

【例2】 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：

(1)E，F，G，H四点共面；

(2)BD∥平面EFGH.

【解析】证明　(1)连接BG，则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由共面向量定理知E，F，G，H四点共面.

(2)因为＝－＝－＝(－)＝，

因为E，H，B，D四点不共线，

所以EH∥BD.

又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，

所以BD∥平面EFGH.

规律方法　(1)证明空间三点P，A，B共线的方法

①＝λ(λ∈R)；

②对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1).

(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法

①＝x＋y；

②对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；

③∥(或∥或∥).

(3)三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明.

【过关检测】

1．如图，已知空间四边形，其对角线为分别是的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【详解】

.

因为分别为的中点，

所以

所以.

故选：A.

2．如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

，

，

，

，

故选：A.

3．已知向量，，是空间中的一个单位正交基底．规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，若向量，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：由题意得：，

故选：C．

4．在三棱锥中，，N为中点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

连接，所以，

因为，所以，

所以.

故选：B.

5．在平行六面体中，，，，E是的中点，用，，表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：如图示：

，

结合图象得：

，

故选：A.

6．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【详解】

∵，，

∴

，

又，，

∴

．

7．在正方体中，点为棱的中点，点为棱的中点，若，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

如图所示：

，

，

又因为，

所以，

所以，

故选：A

8．下列能使向量，，成为空间的一个基底的关系式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

对于A：由，可得M，A，B，C四点共面，即共面，

所以选项A无法构成基底，选项C可以构成基底；

对于B：因为，由平面向量基本定理，可得共面，无法构成基底，故B错误；

同理选项D中，共面，故D错误.

故选：C

9．如图，在三棱锥中，是的中点，若，，，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

，

因此，.

故选：C.

10．已知矩形，为平面外一点，且平面，，分别为，上的点，且，，，则的值为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

平面，且为矩形，以为空间向量的一个基底，因，，

， 又，由空间向量基本定理知，，

.

11．已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足.

（1）判断，，三个向量是否共面；

（2）判断点是否在平面内.

【详解】

（1）由题意，知：，

∴，即，

故共面得证.

（2）由（1）知：共面且过同一点.

所以四点共面，从而点在平面内.

12．如图，在三棱锥中，G是的重心（三条中线的交点），P是空间任意一点.

（1）用向量表示向量，并证明你的结论；

（2）设，请写出点P在的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）.

【详解】

解析（1）.

证明如下：

.

（2）若，点P在的内部（不包括边界），

的充分必要条件是：，且.