第七讲 幂函数和二次函数-2022年新高二年级数学暑假精品课程（人教A版2019）练习题

第七讲 幂函数和二次函数

【基础知识】

1.幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.

(2)常见的5种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式：

一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质

【考点剖析】

考点一　幂函数的图象和性质

【典例1-1】（2021·河南高三月考（文））已知，，，，则，，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

构造函数，则，

当时，，

故在上单调递减，

所以，

所以，即，

所以，

所以；

因为在上单调递增，

所以，

同理，

所以，

即.

【典例1-2】（2020·全国高三专题练习）若为幂函数，则（    ）

A． B． C．9 D．

【答案】C

【详解】

由题意 ，

解得 ，

所以 ，

所以

故选：C.

【跟踪训练1】（2020·四川眉山市·仁寿一中高三月考（文））已知()，函数为幂函数且过点，则函数的图象大致为

A． B．

C． D．

【跟踪训练2】（2021·新疆阿勒泰地区·布尔津县高级中学高三三模（理））已知，下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【跟踪训练3】（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

考点二  二次函数的解析式

【典例2-1】（2021·全国高三其他模拟（文））已知为二次函数，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

设，则，

由可得，

所以，，解得，因此，.

故选：B.

【典例2-2】（2020·麻城市第二中学高三月考（文））已知二次函数的图象的对称轴是，并且通过点，则的值分别是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

∵图象的对称轴是，

∴①，

又图象过点，∴，即②，

联立①②解得，，

故选：C.

【跟踪训练1】（2017·铜梁一中高三月考（文））如果二次函数的图象的对称轴是，并且通过点，则（    ）

A．a=2，b=4 B．a=2，b=－4 C．a=－2，b=4 D．a=－2，b=－4

【跟踪训练2】（2020·山东高三专题练习）已知二次函数的图象的顶点坐标为，且过点，则该二次函数的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【跟踪训练3】（2020·全国高三其他模拟（文））已知二次函数，且是偶函数，若满足，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C．由的范围决定 D．由，的范围共同决定

考点三  二次函数的图象及应用

【典例3-1】（2020·全国高三其他模拟）函数和函数（其中为的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（    ）

A．①④ B．②③ C．③④ D．①②③

【答案】B

【详解】

易知，则．

由①②中函数的图象得，

若，则，此时，，

又，所以的图象开口向下，此时①②均不符合要求；

若，则，此时，，

又，所以的图象开口向上，此时②符合要求，①不符合要求；

由③④中函数的图象得，

若，则，此时，，

又，所以的图象开口向下，此时③符合要求，④不符合要求；

若，则，此时，，

又，所以的图象开口向上，此时③④均不符合要求．

综上，②③符合题意，

故选：B．

【典例3-2】（2019·浙江高三专题练习）不等式的解集为，则函数的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

∵不等式的解集为，

∴，∴，

，图象开口向下，两个零点为．

故选：C．

【跟踪训练1】（2020·六安市城南中学高三月考（文））如果函数对任意的实数x，都有，那么（    ）

A． B．

C． D．

【跟踪训练2】（2019·江西省信丰中学高三月考（文））已知函数（其中的图象如图所示，则函数的图象是（    ）

A． B．

C． D．

【跟踪训练3】（2020·通辽第五中学高三月考（文））已知函数，，若方程在有四个不同的解，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

考点四  二次函数的性质

【典例3-1】（2021·安徽高三其他模拟（理））定义在的单调函数对任意恒有，且时，，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由，可知函数关于点中心对称.

因为对任意的，是单调函数，所以时，是单调的，而二次函数开口向上，对称轴为，

故当时，即，在时是单调递减的，根据对称性可知，函数在上也是单调递减的，又由，知在上是单调递减的；

当，即，在时是单调递增的，根据对称性可知，函数在上也是单调递增的，又由，知在上是单调递增的.

综上可得，实数m的取值范围是．

【典例3-2】（2021·全国高三月考（理））设，若不等式恒成立，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

令，根据题意得恒成立，即成立，因为函数的对称轴为，所以函数的最小值，解得.

故选：B.

【跟踪训练1】（2021·全国高三专题练习（文））在同一直角坐标系中，指数函数，二次函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【跟踪训练2】（2021·山西运城市·高三其他模拟（理））函数在内单调递减，则a的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【跟踪训练3】（2021·陕西安康市·高三月考（理））已知函数，则“”是“对恒成立”的（　　）

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【真题演练】

1．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知函数，其中，则下列不等式不成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

，，且，函数是开口向上的抛物线，

如图，

，，且

是点对应的函数值，一定大于，即，故正确；

设，

，，

即，即B不正确.

，

对称轴是，

与对称轴间的距离是，与对称轴间的距离是，与对称轴间的距离是，

那么比较与，的大小，即比较与自变量与对称轴间的距离，离对称轴越远，函数值越大，即， ，故CD正确.

2．（2021·浙江杭州市·杭十四中高三其他模拟）已知二次函数有两个不同的零点，若有四个不同的根，且成等差数列，则不可能是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【详解】

设的两个不同零点为m，n，且m>n，

所以，，且，

又因为有四个不同的根，

所以对应的根为，对应的根为，

所以，，

所以，

同理，

因为成等差数列，

所以，则

所以，解得，

因为m>n，所以，解得，

所以，

所以当时，有最大值，

所以不可能为3.

故选：D

3．（2021·河北衡水中学高三三模）己知，，，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由，得或，

由，得，

由，得，

∴当，，同时成立时，取交集得，

故选：A.

4．（2019·吉林高三其他模拟（理））设，，，则、、的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

因为，，，

则，，，

由于在被开方数中，的被开方数大于的被开方数，的被开方数大于的被开方数，

故有，

故选：D.

5．（2021·上海市青浦高级中学高三其他模拟）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝_____．

【答案】﹣1

【详解】

因为幂函数为奇函数，且在上单调递减，

所以为负数，

因为，

所以

 【过关检测】

1．已知实数，且，则的最小值为（    ）

A． B．2 C． D．

2．已知函数.若，都有，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．设，，若，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知，对任意的，．方程在上有解，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．已知，是区间上的任意实数，则函数在上单调递增的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．已知x，y∈R，且x＞y，则下列说法是正确的是（    ）

A． B． C． D．

7．函数，其中，，为奇数，其图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

8．已知函数，则不等式的解集为（    ）．

A． B．

C． D．

9．幂函数在为增函数，则的值是（    ）

A． B． C．或 D．或

10．已知幂函数满足，若，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．