第九讲 对数与对数函数-2022年新高二年级数学暑假精品课程（人教A版2019）练习题

第九讲 对数与对数函数

【基础知识】

1.对数的概念

一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1).其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.

2.对数的性质、换底公式与运算性质

(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).

(2)对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R)；

④loga mMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).

(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).

3.对数函数及其性质

(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).

(2)对数函数的图象与性质

4.反函数

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.

【考点剖析】

考点一　对数的运算

【例1-1】 (1)计算：÷100－＝________.

(2)计算：＝________.

【解析】　(1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.

(2)原式＝

＝

＝＝＝＝1.

规律方法　1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.

2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.

3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.

考点二　对数函数的图象及应用　

【例2-1】 (1)若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是(　　)

(2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范围是(　　)

A.(0，1)    B.(1，2)

C.(1，2]    D.

【解析】　(1)由f(x)在R上是减函数，知0<a<1.

又y＝loga(|x|－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).

∴当x>1时，y＝loga(x－1)的图象由y＝logax向右平移一个单位得到.因此选项D正确.

(2)由题意，易知a>1.

在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax的图象.

若y＝logax过点(2，1)，得loga2＝1，所以a＝2.

根据题意，函数y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方.

结合图象，a的取值范围是(1，2].

考点三　对数函数的性质及应用　

【例3－1】 已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　)

A.f(x)在(0，2)上单调递增

B.f(x)在(0，2)上单调递减

C.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称

D.y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称

解析　由题意知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定义域为(0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝

ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A，B；又f(2－x)＝ln(2－x)＋ln x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，C正确，D错误.

答案　C

【例3－2】 (1)(一题多解)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)

A.a>b>c    B.b>a>c

C.c>b>a    D.c>a>b

(2)若loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是(　　)

A.(0，1)    B.

C.    D.(0，1)∪(1，＋∞)

【解析】　(1)法一　因为a＝log2e>1，b＝ln 2∈(0，1)，c＝log＝log23>log2e＝a>1，所以c>a>b.

法二　log＝log23，如图，在同一坐标系中作出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，由图知c>a>b.

(2)由题意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a，

又loga(a2＋1)<loga2a<0，所以0<a<1，

同时2a>1，∴a>.综上，a∈.

【例3－3】 已知函数f(x)＝loga(3－ax).

(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；

(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.

【解析】　(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，

则t(x)＝3－ax为减函数，

x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，

当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，

即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立.

∴3－2a>0.∴a<.

又a>0且a≠1，∴a的取值范围是(0，1)∪.

(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，

∴函数t(x)为减函数.

∵f(x)在区间[1，2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，

∴a>1，x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，

∴即

故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.

【真题演练】

1．（2021·全国高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·全国高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（）

A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6

3．（2021·全国高考真题（理））设，，．则（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·全国高三其他模拟（文））已知，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·济南市·山东省实验中学高三二模）中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变利用这个原理，解决下面问题：已知函数满足，且当时的解析式为，则函数在的图象与直线围成封闭图形的面积是（    ）

A． B． C． D．

 【过关检测】

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

2．设x，y＞1，z＞0，z为x与y的等比中项，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

3．为了测量某种海鱼死亡后新鲜度的变化.研究人员特意通过检测该海鱼死亡后体内某微量元素的含量来决定鱼的新鲜度.若海鱼的新鲜度与其死亡后时间(小时)满足的函数关系式为.若该种海鱼死亡后2小时，海鱼的新鲜度为，死亡后3小时，海鱼的新鲜度为，那么若不及时处理，这种海鱼从死亡后大约经过（    ）小时后，海鱼的新鲜度变为.(参考数据：，)

A．3.3 B．3.6 C．4 D．4.3

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

5．设函数，则函数的图象可能是（    ）

A． B． 

C． D．

6．已知，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

7．已知，若，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

8．渔民出海打鱼，为了保证运回鱼的新鲜度（以鱼肉内的三甲胺的多少来确定鱼的新鲜度，三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的，三甲胺积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质，进而腐败），负被打上船后，要在最短的时间内将其分拣，冷藏，已知某种鱼失去的新鲜度与其出海后时间(分）满足的函数关系式为，若出海后20分这种鱼失去的新鲜度为20%；出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为40%，那么若不及时处理，打上船的这种鱼大约在多长时间刚好失去50%的新鲜度（    ）考数据：

A．23分钟 B．33分钟 C．50分钟 D．56分钟

9．已知函数，若，则___________.

10．已知函数，，以下命题：

①若，则；

②若，则；

③若，则；

④若，则．

其中正确的序号是______．